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Diciamo che ho un triangolo.
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Questo qui e' il mio triangolo.
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E conosco solo le lunghezze dei lati del triangolo.
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Questo lato ha lunghezza 1, questo lato ha lunghezza b e
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questo lato ha lunghezza c.
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E mi chiedono di trovare l'area di quel triangolo.
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Finora tutto quello che ho e' quest'idea che l'area,
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l'area di un triangolo e' uguale a 1/2 per la base del
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triangolo per l'altezza del triangolo.
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Quindi per come ho disegnato questo triangolo, la base di questo
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triangolo sarebbe il lato c, ma l'altezza non la conosciamo.
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L'altezza sarebbe quest h qui e non sappiamo
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nemmeno quant'e' questa h.
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Quindi questa sarebbe h.
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Quindi la domanda qui e' come calcoliamo l'area
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di questo triangolo?
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Se hai visto l'ultimo video sai che
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usi la formula di Erone.
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Ma l'idea qui e' provare a dimostrare la formula di Erone.
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Quindi proviamo a calcolare h usando solo
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il teorema di Pitagora.
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E da li', una volta che sappiamo h, possiamo applicare questa formula e
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calcolare l'area del triangolo.
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Quindi questa l'abbiamo gia' etichettata come h.
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Fammi definire un'altra variabile.
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Questo e' un trucco che vedrai spesso in geometria.
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Fammi definire questo e' x e se questo in magenta e' x allora
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in questo blu violaceo, questo sarebbe c meno x, giusto?
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Questa intera lunghezza e' c --- l'intera base e' c.
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Quindi se questa parte e' x, questa parte e' c meno x.
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Quello che potrei fare, visto che entrambi questi qui sono angoli retti,
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e lo so perche' questa e' l'altezza, posso impostare
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due equazioni col teorema di Pitagora.
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Primo, potrei fare questo lato a sinistra e posso scrivere che
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x^2 + h^2 = a^2.
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Questo e' quello che ottengo da questo triangolo a sinistra.
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Poi dal triangolo a destra ottengo
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(c - x)^2 + h^2 = b^2.
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Allora sto assumendo di conoscere a, b e c, quindi ho due equazioni
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in due incognite.
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Le incognite sono h e x.
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E ricordati, h e' quello che stiamo tentando di calcolare
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perche' c la sappiamo gia'.
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Se conosciamo h possiamo applicare la formula dell'area.
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Quindi come facciamo?
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Beh, sostituiamo la h per calcolare x.
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Quando dico questo indendo risolviamo la h^2.
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Se risolviamo la h^2 sottraiamo x^2
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da entrambi i lati.
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Possiamo scrivere che x^2 --- scusa, possiamo scrivere che
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h^2 = a^2 - x^2.
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Poi possiamo prendere questa informazione e sostituirla
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qui al posto di h^2.
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Quindi questa equazione qui sotto diventa
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(c - x)^2 + h^2.
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h^2 la conosciamo da questo lato sinistro dell'equazione.
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h^2 sara' uguale a --- allora piu', lo faccio
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in questo colore --- a^2 - x^2 = b^2.
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Ho solo sostituito il valore di questo,
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il valore di questo qui dentro.
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Ora espandiamo l'espressione.
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(c - x)^2, questo e'
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c^2 - 2cx + x^2.
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Poi abbiamo il meno --- scusa, abbiamo il piu'
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a^2 - x^2 = b^2.
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Abbiamo un x^2 e un meno x^2
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quindi questi si annullano.
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Aggiungiamo 2cx a entrambi i lati di questa equazione.
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Quindi ora l'equazione diventa
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c^2 + a^2.
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Sto sommando 2cx a entrambi i lati.
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Quindi sommi 2cx, ottieni
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0 = b^2 + 2cx.
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Tutto quello che ho fatto e' annullare la x^2 e poi
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ho sommato 2cx a entrambi i lati dei questa equazione.
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Il mio obiettivo e' risolvere x.
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Una volta risolta la x poi posso risolvere h e
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applicare quella formula.
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Ora per risolvere x sottraiamo b^2
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da entrambi i lati.
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Percio' otteniamo x^2 + a^2 - b^2
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e' uguale a 2cx.
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Poi se dividiamo entrambi i lati per 2c otteniamo c^2 + a^2
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meno b^2 su 2c uguale x.
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Abbiamo risolto x.
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Ora il nostro obiettivo e' risolvere l'altezza, in modo
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da poter applicare 1/2 per base per altezza.
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Quindi per farlo torniamo a questa equazione qui
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e risolviamo l'altezza.
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Fammi andare un po' verso il basso.
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Sappiamo che l'altezza al quadrato e' uguale a
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a^2 - x^2.
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Inveec di scrivere x^2 qui sostituiamo.
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Quindi e' -x^2 --- x e' questa cosa qui.
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Quindi c^2 + a^2 - b^2
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su 2c, al quadrato.
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Questo e' come dire x^2.
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L'abbiamo appena risolto.
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Quindi h sara' uguale alla radice quadrata di tutta questa
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faccenda qui --- cambio colore --- di
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a^2 - c^2 + a^2 - b^2 ---
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tutto al quadrato.
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Fammelo fare un po' piu' pulito di cosi' perche'
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non voglio ---
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la radice quadrata --- fammi assicurare di avere abbastanza spazio ---
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di a^2 meno tutta questa roba al quadrato --- abbiamo
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c^2 + a^2 - b^2, tutto questo su 2c.
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Questa e' l'altezza del nostro triangolo.
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Il triangolo con cui avevamo cominciato qui sopra.
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Fammi copiare e incollare cosi' ci ricordiamo
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con cosa abbiamo a che fare.
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Lo copio e poi fammi incollare qui sotto.
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L'ho incollato qui sotto.
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Percio' sappiamo quant'e' l'altezza --- e' questa grossa
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formula attorcigliata.
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L'altezza in termini di a, b e c sta qui.
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Quindi se vogliamo calcolare l'area --- l'area del nostro
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triangolo --- fammelo fare in rosa.
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L'area del triangolo sara' 1/2 per la base ---
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la base e' tutta questa lunghezza c --- per c per
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l'altezza, che e' questa espressione qui.
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Fammela copiare e incollare invece di ---
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fammi copiare e incollare.
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Quindi per l'altezza.
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Quindi adesso questa e' l'espressione per l'area.
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Quindi immediatamente dici: Gee, non sembra per niente
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la formula di Erone, e hai ragione.
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Non sembra proprio la formula di Erone, ma quello che
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ti mostrero; nel prossimo video e' che questa essenzialmente
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e' la formula di Erone.
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Questa e' una versione della formula di Erone piu' difficile da ricordare.
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Ci applichero' un sacco di calcoli algebrici essenzialmente per semplificare
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questa verso la formula di Erone.
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Ma funzionera'.
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Se potessi memorizzare questa, penso che quella di Erone sia molto
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piu' semplice da memorizzare.
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Ma se potessi memorizzare questa e conoscessi a, b e
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c, potresti applicare questa formula qui e otterresti
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l'area del triangolo.
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Beh, in realta' applichiamola giusto per mostrarti che questa
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almeno ti da; gli stessi numeri di quella di Erone.
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Quindi nell'ultimo video avevamo un triangolo che aveva lati 9, 11
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e 16 e quest'are usando la formula di Erone era uguale a 18
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per la radice quadrata di 7.
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Vediamo cosa otteniamo quando applichiamo questa formula qui.
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Quindi otteniamo che l'area e' uguale a 1/2 per 16 per
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la radice quadrata di a al quadrato.
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Quindi e' 81 meno --- vediamo, c^2 = 16, quindi e' 256.
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256 + a^2, e' 81 meno b^2,
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quindi meno 121.
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Tutto questo al quadrato.
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Tutto questo su 2 oer c --- tutto questo su 32.
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Vediamo se riusciamo a semplificare un po'.
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81 - 121, fa -40.
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Quindi diventa 216 / 32.
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Quindi l'area e' uguale a 1/2 per 8 fa 8.
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Fammi cambiare colore.
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1/2 per 16 fa 8 per la radice quadrata di 81 meno 256.
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81 meno 121 fa meno 40.
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256 - 40 fa 216.
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216 su 32 al quadrato.
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Ora, ci sono un sacco di calcoli quindi fammi tirar
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fuori la calcolatrice.
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Sto solo tentando di dimostrarti che questi due numeri
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dovrebbero darci lo stesso numero.
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Quindi se accendiamo la calcolatrice.
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Prima di tutto, vediamo quanto fa
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18 radice di 7.
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18 per la radice quadrata di 7 --- questeo e' quello che
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otteniamo usango Erone.
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Otteniamo 47,62.
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Vediamo se questo e' 47,62.
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Allora qui abbiamo 8 per la radice quadrata di 81 meno 216 diviso
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32 al quadrato e poi chiudiamo le darici quadrate.
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E otteniamo esattamente lo stesso numero.
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Ero preoccupato --- non avevo fatto questi calcoli prima
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quindi avrei potuto fare qualche errore di distrazione.
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Ma ecco qua, ottieni lo stesso identico numero.
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Quindi la formula di adesso ci ha dato esattamente lo stesso valore
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della formula di Erone.
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Ma quello che faro' nel prossimo video e' dimostrarti che
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questa puo' essere ridotta algebricamente a quella di Erone.
