Diciamo che ho un triangolo.
Questo qui e' il mio triangolo.
E conosco solo le lunghezze dei lati del triangolo.
Questo lato ha lunghezza 1, questo lato ha lunghezza b e
questo lato ha lunghezza c.
E mi chiedono di trovare l'area di quel triangolo.
Finora tutto quello che ho e' quest'idea che l'area,
l'area di un triangolo e' uguale a 1/2 per la base del
triangolo per l'altezza del triangolo.
Quindi per come ho disegnato questo triangolo, la base di questo
triangolo sarebbe il lato c, ma l'altezza non la conosciamo.
L'altezza sarebbe quest h qui e non sappiamo
nemmeno quant'e' questa h.
Quindi questa sarebbe h.
Quindi la domanda qui e' come calcoliamo l'area
di questo triangolo?
Se hai visto l'ultimo video sai che
usi la formula di Erone.
Ma l'idea qui e' provare a dimostrare la formula di Erone.
Quindi proviamo a calcolare h usando solo
il teorema di Pitagora.
E da li', una volta che sappiamo h, possiamo applicare questa formula e
calcolare l'area del triangolo.
Quindi questa l'abbiamo gia' etichettata come h.
Fammi definire un'altra variabile.
Questo e' un trucco che vedrai spesso in geometria.
Fammi definire questo e' x e se questo in magenta e' x allora
in questo blu violaceo, questo sarebbe c meno x, giusto?
Questa intera lunghezza e' c --- l'intera base e' c.
Quindi se questa parte e' x, questa parte e' c meno x.
Quello che potrei fare, visto che entrambi questi qui sono angoli retti,
e lo so perche' questa e' l'altezza, posso impostare
due equazioni col teorema di Pitagora.
Primo, potrei fare questo lato a sinistra e posso scrivere che
x^2 + h^2 = a^2.
Questo e' quello che ottengo da questo triangolo a sinistra.
Poi dal triangolo a destra ottengo
(c - x)^2 + h^2 = b^2.
Allora sto assumendo di conoscere a, b e c, quindi ho due equazioni
in due incognite.
Le incognite sono h e x.
E ricordati, h e' quello che stiamo tentando di calcolare
perche' c la sappiamo gia'.
Se conosciamo h possiamo applicare la formula dell'area.
Quindi come facciamo?
Beh, sostituiamo la h per calcolare x.
Quando dico questo indendo risolviamo la h^2.
Se risolviamo la h^2 sottraiamo x^2
da entrambi i lati.
Possiamo scrivere che x^2 --- scusa, possiamo scrivere che
h^2 = a^2 - x^2.
Poi possiamo prendere questa informazione e sostituirla
qui al posto di h^2.
Quindi questa equazione qui sotto diventa
(c - x)^2 + h^2.
h^2 la conosciamo da questo lato sinistro dell'equazione.
h^2 sara' uguale a --- allora piu', lo faccio
in questo colore --- a^2 - x^2 = b^2.
Ho solo sostituito il valore di questo,
il valore di questo qui dentro.
Ora espandiamo l'espressione.
(c - x)^2, questo e'
c^2 - 2cx + x^2.
Poi abbiamo il meno --- scusa, abbiamo il piu'
a^2 - x^2 = b^2.
Abbiamo un x^2 e un meno x^2
quindi questi si annullano.
Aggiungiamo 2cx a entrambi i lati di questa equazione.
Quindi ora l'equazione diventa
c^2 + a^2.
Sto sommando 2cx a entrambi i lati.
Quindi sommi 2cx, ottieni
0 = b^2 + 2cx.
Tutto quello che ho fatto e' annullare la x^2 e poi
ho sommato 2cx a entrambi i lati dei questa equazione.
Il mio obiettivo e' risolvere x.
Una volta risolta la x poi posso risolvere h e
applicare quella formula.
Ora per risolvere x sottraiamo b^2
da entrambi i lati.
Percio' otteniamo x^2 + a^2 - b^2
e' uguale a 2cx.
Poi se dividiamo entrambi i lati per 2c otteniamo c^2 + a^2
meno b^2 su 2c uguale x.
Abbiamo risolto x.
Ora il nostro obiettivo e' risolvere l'altezza, in modo
da poter applicare 1/2 per base per altezza.
Quindi per farlo torniamo a questa equazione qui
e risolviamo l'altezza.
Fammi andare un po' verso il basso.
Sappiamo che l'altezza al quadrato e' uguale a
a^2 - x^2.
Inveec di scrivere x^2 qui sostituiamo.
Quindi e' -x^2 --- x e' questa cosa qui.
Quindi c^2 + a^2 - b^2
su 2c, al quadrato.
Questo e' come dire x^2.
L'abbiamo appena risolto.
Quindi h sara' uguale alla radice quadrata di tutta questa
faccenda qui --- cambio colore --- di
a^2 - c^2 + a^2 - b^2 ---
tutto al quadrato.
Fammelo fare un po' piu' pulito di cosi' perche'
non voglio ---
la radice quadrata --- fammi assicurare di avere abbastanza spazio ---
di a^2 meno tutta questa roba al quadrato --- abbiamo
c^2 + a^2 - b^2, tutto questo su 2c.
Questa e' l'altezza del nostro triangolo.
Il triangolo con cui avevamo cominciato qui sopra.
Fammi copiare e incollare cosi' ci ricordiamo
con cosa abbiamo a che fare.
Lo copio e poi fammi incollare qui sotto.
L'ho incollato qui sotto.
Percio' sappiamo quant'e' l'altezza --- e' questa grossa
formula attorcigliata.
L'altezza in termini di a, b e c sta qui.
Quindi se vogliamo calcolare l'area --- l'area del nostro
triangolo --- fammelo fare in rosa.
L'area del triangolo sara' 1/2 per la base ---
la base e' tutta questa lunghezza c --- per c per
l'altezza, che e' questa espressione qui.
Fammela copiare e incollare invece di ---
fammi copiare e incollare.
Quindi per l'altezza.
Quindi adesso questa e' l'espressione per l'area.
Quindi immediatamente dici: Gee, non sembra per niente
la formula di Erone, e hai ragione.
Non sembra proprio la formula di Erone, ma quello che
ti mostrero; nel prossimo video e' che questa essenzialmente
e' la formula di Erone.
Questa e' una versione della formula di Erone piu' difficile da ricordare.
Ci applichero' un sacco di calcoli algebrici essenzialmente per semplificare
questa verso la formula di Erone.
Ma funzionera'.
Se potessi memorizzare questa, penso che quella di Erone sia molto
piu' semplice da memorizzare.
Ma se potessi memorizzare questa e conoscessi a, b e
c, potresti applicare questa formula qui e otterresti
l'area del triangolo.
Beh, in realta' applichiamola giusto per mostrarti che questa
almeno ti da; gli stessi numeri di quella di Erone.
Quindi nell'ultimo video avevamo un triangolo che aveva lati 9, 11
e 16 e quest'are usando la formula di Erone era uguale a 18
per la radice quadrata di 7.
Vediamo cosa otteniamo quando applichiamo questa formula qui.
Quindi otteniamo che l'area e' uguale a 1/2 per 16 per
la radice quadrata di a al quadrato.
Quindi e' 81 meno --- vediamo, c^2 = 16, quindi e' 256.
256 + a^2, e' 81 meno b^2,
quindi meno 121.
Tutto questo al quadrato.
Tutto questo su 2 oer c --- tutto questo su 32.
Vediamo se riusciamo a semplificare un po'.
81 - 121, fa -40.
Quindi diventa 216 / 32.
Quindi l'area e' uguale a 1/2 per 8 fa 8.
Fammi cambiare colore.
1/2 per 16 fa 8 per la radice quadrata di 81 meno 256.
81 meno 121 fa meno 40.
256 - 40 fa 216.
216 su 32 al quadrato.
Ora, ci sono un sacco di calcoli quindi fammi tirar
fuori la calcolatrice.
Sto solo tentando di dimostrarti che questi due numeri
dovrebbero darci lo stesso numero.
Quindi se accendiamo la calcolatrice.
Prima di tutto, vediamo quanto fa
18 radice di 7.
18 per la radice quadrata di 7 --- questeo e' quello che
otteniamo usango Erone.
Otteniamo 47,62.
Vediamo se questo e' 47,62.
Allora qui abbiamo 8 per la radice quadrata di 81 meno 216 diviso
32 al quadrato e poi chiudiamo le darici quadrate.
E otteniamo esattamente lo stesso numero.
Ero preoccupato --- non avevo fatto questi calcoli prima
quindi avrei potuto fare qualche errore di distrazione.
Ma ecco qua, ottieni lo stesso identico numero.
Quindi la formula di adesso ci ha dato esattamente lo stesso valore
della formula di Erone.
Ma quello che faro' nel prossimo video e' dimostrarti che
questa puo' essere ridotta algebricamente a quella di Erone.