WEBVTT 00:00:00.730 --> 00:00:03.550 Diciamo che ho un triangolo. 00:00:03.550 --> 00:00:05.900 Questo qui e' il mio triangolo. 00:00:05.900 --> 00:00:08.550 E conosco solo le lunghezze dei lati del triangolo. 00:00:08.550 --> 00:00:12.490 Questo lato ha lunghezza 1, questo lato ha lunghezza b e 00:00:12.490 --> 00:00:14.360 questo lato ha lunghezza c. 00:00:14.360 --> 00:00:17.480 E mi chiedono di trovare l'area di quel triangolo. 00:00:17.480 --> 00:00:21.870 Finora tutto quello che ho e' quest'idea che l'area, 00:00:21.870 --> 00:00:26.930 l'area di un triangolo e' uguale a 1/2 per la base del 00:00:26.930 --> 00:00:30.380 triangolo per l'altezza del triangolo. 00:00:30.380 --> 00:00:33.570 Quindi per come ho disegnato questo triangolo, la base di questo 00:00:33.570 --> 00:00:39.060 triangolo sarebbe il lato c, ma l'altezza non la conosciamo. 00:00:39.060 --> 00:00:41.900 L'altezza sarebbe quest h qui e non sappiamo 00:00:41.900 --> 00:00:43.750 nemmeno quant'e' questa h. 00:00:43.750 --> 00:00:45.200 Quindi questa sarebbe h. 00:00:45.200 --> 00:00:48.360 Quindi la domanda qui e' come calcoliamo l'area 00:00:48.360 --> 00:00:49.660 di questo triangolo? 00:00:49.660 --> 00:00:51.150 Se hai visto l'ultimo video sai che 00:00:51.150 --> 00:00:52.440 usi la formula di Erone. 00:00:52.440 --> 00:00:55.910 Ma l'idea qui e' provare a dimostrare la formula di Erone. 00:00:55.910 --> 00:00:59.530 Quindi proviamo a calcolare h usando solo 00:00:59.530 --> 00:01:00.970 il teorema di Pitagora. 00:01:00.970 --> 00:01:04.190 E da li', una volta che sappiamo h, possiamo applicare questa formula e 00:01:04.190 --> 00:01:07.100 calcolare l'area del triangolo. 00:01:07.100 --> 00:01:11.370 Quindi questa l'abbiamo gia' etichettata come h. 00:01:11.370 --> 00:01:13.120 Fammi definire un'altra variabile. 00:01:15.880 --> 00:01:19.270 Questo e' un trucco che vedrai spesso in geometria. 00:01:19.270 --> 00:01:24.990 Fammi definire questo e' x e se questo in magenta e' x allora 00:01:24.990 --> 00:01:29.990 in questo blu violaceo, questo sarebbe c meno x, giusto? 00:01:29.990 --> 00:01:33.710 Questa intera lunghezza e' c --- l'intera base e' c. 00:01:33.710 --> 00:01:37.560 Quindi se questa parte e' x, questa parte e' c meno x. 00:01:37.560 --> 00:01:41.060 Quello che potrei fare, visto che entrambi questi qui sono angoli retti, 00:01:41.060 --> 00:01:44.250 e lo so perche' questa e' l'altezza, posso impostare 00:01:44.250 --> 00:01:46.600 due equazioni col teorema di Pitagora. 00:01:46.600 --> 00:01:50.890 Primo, potrei fare questo lato a sinistra e posso scrivere che 00:01:50.890 --> 00:01:57.880 x^2 + h^2 = a^2. 00:01:57.880 --> 00:02:00.690 Questo e' quello che ottengo da questo triangolo a sinistra. 00:02:00.690 --> 00:02:05.000 Poi dal triangolo a destra ottengo 00:02:05.000 --> 00:02:14.030 (c - x)^2 + h^2 = b^2. 00:02:14.030 --> 00:02:17.760 Allora sto assumendo di conoscere a, b e c, quindi ho due equazioni 00:02:17.760 --> 00:02:18.950 in due incognite. 00:02:18.950 --> 00:02:22.290 Le incognite sono h e x. 00:02:22.290 --> 00:02:24.220 E ricordati, h e' quello che stiamo tentando di calcolare 00:02:24.220 --> 00:02:25.270 perche' c la sappiamo gia'. 00:02:25.270 --> 00:02:27.540 Se conosciamo h possiamo applicare la formula dell'area. 00:02:27.540 --> 00:02:28.900 Quindi come facciamo? 00:02:28.900 --> 00:02:32.200 Beh, sostituiamo la h per calcolare x. 00:02:32.200 --> 00:02:36.360 Quando dico questo indendo risolviamo la h^2. 00:02:36.360 --> 00:02:38.890 Se risolviamo la h^2 sottraiamo x^2 00:02:38.890 --> 00:02:40.320 da entrambi i lati. 00:02:40.320 --> 00:02:44.540 Possiamo scrivere che x^2 --- scusa, possiamo scrivere che 00:02:44.540 --> 00:02:51.720 h^2 = a^2 - x^2. 00:02:51.720 --> 00:02:53.770 Poi possiamo prendere questa informazione e sostituirla 00:02:53.770 --> 00:02:56.640 qui al posto di h^2. 00:02:56.640 --> 00:03:02.030 Quindi questa equazione qui sotto diventa 00:03:02.030 --> 00:03:04.990 (c - x)^2 + h^2. 00:03:04.990 --> 00:03:08.610 h^2 la conosciamo da questo lato sinistro dell'equazione. 00:03:08.610 --> 00:03:11.620 h^2 sara' uguale a --- allora piu', lo faccio 00:03:11.620 --> 00:03:19.160 in questo colore --- a^2 - x^2 = b^2. 00:03:19.160 --> 00:03:21.650 Ho solo sostituito il valore di questo, 00:03:21.650 --> 00:03:23.280 il valore di questo qui dentro. 00:03:23.280 --> 00:03:25.860 Ora espandiamo l'espressione. 00:03:25.860 --> 00:03:29.750 (c - x)^2, questo e' 00:03:29.750 --> 00:03:34.320 c^2 - 2cx + x^2. 00:03:34.320 --> 00:03:38.200 Poi abbiamo il meno --- scusa, abbiamo il piu' 00:03:38.200 --> 00:03:44.280 a^2 - x^2 = b^2. 00:03:47.660 --> 00:03:50.060 Abbiamo un x^2 e un meno x^2 00:03:50.060 --> 00:03:51.610 quindi questi si annullano. 00:03:54.680 --> 00:03:58.790 Aggiungiamo 2cx a entrambi i lati di questa equazione. 00:03:58.790 --> 00:04:01.930 Quindi ora l'equazione diventa 00:04:01.930 --> 00:04:04.720 c^2 + a^2. 00:04:04.720 --> 00:04:06.490 Sto sommando 2cx a entrambi i lati. 00:04:06.490 --> 00:04:10.440 Quindi sommi 2cx, ottieni 00:04:10.440 --> 00:04:13.580 0 = b^2 + 2cx. 00:04:13.580 --> 00:04:16.370 Tutto quello che ho fatto e' annullare la x^2 e poi 00:04:16.370 --> 00:04:19.600 ho sommato 2cx a entrambi i lati dei questa equazione. 00:04:19.600 --> 00:04:22.130 Il mio obiettivo e' risolvere x. 00:04:22.130 --> 00:04:24.580 Una volta risolta la x poi posso risolvere h e 00:04:24.580 --> 00:04:26.350 applicare quella formula. 00:04:26.350 --> 00:04:29.090 Ora per risolvere x sottraiamo b^2 00:04:29.090 --> 00:04:30.040 da entrambi i lati. 00:04:30.040 --> 00:04:36.200 Percio' otteniamo x^2 + a^2 - b^2 00:04:36.200 --> 00:04:41.020 e' uguale a 2cx. 00:04:41.020 --> 00:04:46.160 Poi se dividiamo entrambi i lati per 2c otteniamo c^2 + a^2 00:04:46.160 --> 00:04:52.600 meno b^2 su 2c uguale x. 00:04:52.600 --> 00:04:54.880 Abbiamo risolto x. 00:04:54.880 --> 00:04:57.290 Ora il nostro obiettivo e' risolvere l'altezza, in modo 00:04:57.290 --> 00:04:59.930 da poter applicare 1/2 per base per altezza. 00:04:59.930 --> 00:05:04.120 Quindi per farlo torniamo a questa equazione qui 00:05:04.120 --> 00:05:07.040 e risolviamo l'altezza. 00:05:07.040 --> 00:05:10.800 Fammi andare un po' verso il basso. 00:05:10.800 --> 00:05:16.290 Sappiamo che l'altezza al quadrato e' uguale a 00:05:16.290 --> 00:05:20.520 a^2 - x^2. 00:05:20.520 --> 00:05:23.330 Inveec di scrivere x^2 qui sostituiamo. 00:05:23.330 --> 00:05:27.430 Quindi e' -x^2 --- x e' questa cosa qui. 00:05:27.430 --> 00:05:32.880 Quindi c^2 + a^2 - b^2 00:05:32.880 --> 00:05:36.670 su 2c, al quadrato. 00:05:36.670 --> 00:05:39.320 Questo e' come dire x^2. 00:05:39.320 --> 00:05:41.090 L'abbiamo appena risolto. 00:05:41.090 --> 00:05:47.950 Quindi h sara' uguale alla radice quadrata di tutta questa 00:05:47.950 --> 00:05:51.610 faccenda qui --- cambio colore --- di 00:05:51.610 --> 00:06:00.070 a^2 - c^2 + a^2 - b^2 --- 00:06:00.070 --> 00:06:02.150 tutto al quadrato. 00:06:02.150 --> 00:06:04.800 Fammelo fare un po' piu' pulito di cosi' perche' 00:06:04.800 --> 00:06:06.720 non voglio --- 00:06:06.720 --> 00:06:13.980 la radice quadrata --- fammi assicurare di avere abbastanza spazio --- 00:06:13.980 --> 00:06:20.130 di a^2 meno tutta questa roba al quadrato --- abbiamo 00:06:20.130 --> 00:06:25.800 c^2 + a^2 - b^2, tutto questo su 2c. 00:06:25.800 --> 00:06:27.670 Questa e' l'altezza del nostro triangolo. 00:06:27.670 --> 00:06:30.310 Il triangolo con cui avevamo cominciato qui sopra. 00:06:30.310 --> 00:06:33.360 Fammi copiare e incollare cosi' ci ricordiamo 00:06:33.360 --> 00:06:36.070 con cosa abbiamo a che fare. 00:06:36.070 --> 00:06:41.600 Lo copio e poi fammi incollare qui sotto. 00:06:41.600 --> 00:06:43.300 L'ho incollato qui sotto. 00:06:43.300 --> 00:06:45.210 Percio' sappiamo quant'e' l'altezza --- e' questa grossa 00:06:45.210 --> 00:06:46.830 formula attorcigliata. 00:06:46.830 --> 00:06:51.180 L'altezza in termini di a, b e c sta qui. 00:06:51.180 --> 00:06:54.570 Quindi se vogliamo calcolare l'area --- l'area del nostro 00:06:54.570 --> 00:06:58.270 triangolo --- fammelo fare in rosa. 00:06:58.270 --> 00:07:03.772 L'area del triangolo sara' 1/2 per la base --- 00:07:03.772 --> 00:07:09.850 la base e' tutta questa lunghezza c --- per c per 00:07:09.850 --> 00:07:13.260 l'altezza, che e' questa espressione qui. 00:07:13.260 --> 00:07:15.680 Fammela copiare e incollare invece di --- 00:07:15.680 --> 00:07:21.390 fammi copiare e incollare. 00:07:21.390 --> 00:07:24.450 Quindi per l'altezza. 00:07:24.450 --> 00:07:27.910 Quindi adesso questa e' l'espressione per l'area. 00:07:27.910 --> 00:07:29.810 Quindi immediatamente dici: Gee, non sembra per niente 00:07:29.810 --> 00:07:32.790 la formula di Erone, e hai ragione. 00:07:32.790 --> 00:07:35.360 Non sembra proprio la formula di Erone, ma quello che 00:07:35.360 --> 00:07:37.820 ti mostrero; nel prossimo video e' che questa essenzialmente 00:07:37.820 --> 00:07:39.230 e' la formula di Erone. 00:07:39.230 --> 00:07:43.050 Questa e' una versione della formula di Erone piu' difficile da ricordare. 00:07:43.050 --> 00:07:46.000 Ci applichero' un sacco di calcoli algebrici essenzialmente per semplificare 00:07:46.000 --> 00:07:47.260 questa verso la formula di Erone. 00:07:47.260 --> 00:07:49.430 Ma funzionera'. 00:07:49.430 --> 00:07:51.520 Se potessi memorizzare questa, penso che quella di Erone sia molto 00:07:51.520 --> 00:07:53.050 piu' semplice da memorizzare. 00:07:53.050 --> 00:07:56.300 Ma se potessi memorizzare questa e conoscessi a, b e 00:07:56.300 --> 00:08:00.700 c, potresti applicare questa formula qui e otterresti 00:08:00.700 --> 00:08:04.940 l'area del triangolo. 00:08:04.940 --> 00:08:07.290 Beh, in realta' applichiamola giusto per mostrarti che questa 00:08:07.290 --> 00:08:09.710 almeno ti da; gli stessi numeri di quella di Erone. 00:08:09.710 --> 00:08:15.920 Quindi nell'ultimo video avevamo un triangolo che aveva lati 9, 11 00:08:15.920 --> 00:08:22.350 e 16 e quest'are usando la formula di Erone era uguale a 18 00:08:22.350 --> 00:08:26.290 per la radice quadrata di 7. 00:08:26.290 --> 00:08:29.780 Vediamo cosa otteniamo quando applichiamo questa formula qui. 00:08:29.780 --> 00:08:36.260 Quindi otteniamo che l'area e' uguale a 1/2 per 16 per 00:08:36.260 --> 00:08:40.300 la radice quadrata di a al quadrato. 00:08:40.300 --> 00:08:49.330 Quindi e' 81 meno --- vediamo, c^2 = 16, quindi e' 256. 00:08:49.330 --> 00:08:58.020 256 + a^2, e' 81 meno b^2, 00:08:58.020 --> 00:09:02.250 quindi meno 121. 00:09:02.250 --> 00:09:04.120 Tutto questo al quadrato. 00:09:04.120 --> 00:09:09.530 Tutto questo su 2 oer c --- tutto questo su 32. 00:09:09.530 --> 00:09:12.150 Vediamo se riusciamo a semplificare un po'. 00:09:12.150 --> 00:09:15.770 81 - 121, fa -40. 00:09:15.770 --> 00:09:18.790 Quindi diventa 216 / 32. 00:09:18.790 --> 00:09:22.470 Quindi l'area e' uguale a 1/2 per 8 fa 8. 00:09:22.470 --> 00:09:24.530 Fammi cambiare colore. 00:09:24.530 --> 00:09:38.820 1/2 per 16 fa 8 per la radice quadrata di 81 meno 256. 00:09:38.820 --> 00:09:41.370 81 meno 121 fa meno 40. 00:09:41.370 --> 00:09:43.370 256 - 40 fa 216. 00:09:43.370 --> 00:09:48.270 216 su 32 al quadrato. 00:09:48.270 --> 00:09:50.630 Ora, ci sono un sacco di calcoli quindi fammi tirar 00:09:50.630 --> 00:09:51.870 fuori la calcolatrice. 00:09:51.870 --> 00:09:54.140 Sto solo tentando di dimostrarti che questi due numeri 00:09:54.140 --> 00:09:57.440 dovrebbero darci lo stesso numero. 00:09:57.440 --> 00:10:01.290 Quindi se accendiamo la calcolatrice. 00:10:01.290 --> 00:10:02.440 Prima di tutto, vediamo quanto fa 00:10:02.440 --> 00:10:03.420 18 radice di 7. 00:10:03.420 --> 00:10:07.590 18 per la radice quadrata di 7 --- questeo e' quello che 00:10:07.590 --> 00:10:08.580 otteniamo usango Erone. 00:10:08.580 --> 00:10:11.100 Otteniamo 47,62. 00:10:11.100 --> 00:10:13.160 Vediamo se questo e' 47,62. 00:10:13.160 --> 00:10:26.700 Allora qui abbiamo 8 per la radice quadrata di 81 meno 216 diviso 00:10:26.700 --> 00:10:35.140 32 al quadrato e poi chiudiamo le darici quadrate. 00:10:35.140 --> 00:10:37.990 E otteniamo esattamente lo stesso numero. 00:10:37.990 --> 00:10:39.890 Ero preoccupato --- non avevo fatto questi calcoli prima 00:10:39.890 --> 00:10:41.580 quindi avrei potuto fare qualche errore di distrazione. 00:10:41.580 --> 00:10:43.310 Ma ecco qua, ottieni lo stesso identico numero. 00:10:43.310 --> 00:10:47.170 Quindi la formula di adesso ci ha dato esattamente lo stesso valore 00:10:47.170 --> 00:10:48.350 della formula di Erone. 00:10:48.350 --> 00:10:54.030 Ma quello che faro' nel prossimo video e' dimostrarti che 00:10:54.030 --> 00:10:57.690 questa puo' essere ridotta algebricamente a quella di Erone.