Доказателство на фундаменталната теорема на математическия анализ
-
0:01 - 0:04Дадена е функцията f,
-
0:04 - 0:09която е непрекъсната
в интервала от a до b. -
0:09 - 0:12Нека да онагледим
тази функция. -
0:12 - 0:18Това е оста у.
-
0:18 - 0:21А това тук ще бъде моята ос t.
-
0:21 - 0:23Ще запазя х за малко по-късно.
-
0:23 - 0:25Ще означа тази ос с t.
-
0:25 - 0:27Нека това ето тук
-
0:27 - 0:32да е графиката на
у равно на f от t. -
0:32 - 0:35Функцията е непрекъсната
в интервала от a до b. -
0:35 - 0:37Тази стойност е
t равно на а. -
0:37 - 0:39Тази стойност е
t равно на b. -
0:39 - 0:42Функцията е непрекъсната
-
0:42 - 0:45в целия този интервал.
-
0:45 - 0:52Сега да дефинираме
функцията главно F от х. -
0:52 - 0:54Ще го запиша със синьо.
-
0:54 - 0:59Дадено е главно F от х равно
на определен интеграл от f(t), -
0:59 - 1:05от а като долна граница, до x,
-
1:05 - 1:12интеграл от f от t, dt.
-
1:12 - 1:20х принадлежи на интервала [a;b] –
a по-малко или равно на х, -
1:20 - 1:22и х по-малко или равно на b.
-
1:22 - 1:23Това е просто начин да означим,
-
1:23 - 1:26че х се намира
в този интервал ето тук. -
1:26 - 1:29Когато видиш този израз,
може да кажеш, -
1:29 - 1:31че определеният интеграл
има връзка с диференциране, -
1:31 - 1:33примитивна функция
и всичко останало. -
1:33 - 1:34Но това все още не го знаем.
-
1:34 - 1:37Знаем само, че този израз,
-
1:37 - 1:43е равен на площта под кривата F,
между а и х. -
1:43 - 1:47Нека изберем х
да е ето тук. -
1:47 - 1:54Тогава F от х е
тази площ ето тук. -
1:54 - 1:56Това е всичко, което знаем за
функцията. -
1:56 - 1:59Все още не знаем, че има връзка
с примитивна функция. -
1:59 - 2:03Именно това ще се опитаме да докажем
в настоящия урок. -
2:03 - 2:06За по-интересно нека намерим
производната на F. -
2:06 - 2:08За да го направим,
ще използваме -
2:08 - 2:10определението за производни
-
2:10 - 2:13и да видим какво ще получим,
когато използваме -
2:13 - 2:15определението за производни.
-
2:16 - 2:21Определението гласи,
че F' от х -
2:21 - 2:25е равно на границата от,
когато ∆х клони към 0, -
2:25 - 2:31границата на главно F
от (х + ∆х) -
2:31 - 2:38минус F от х, като всичко това
е върху ∆х. -
2:38 - 2:41Това е определението
за производна. -
2:41 - 2:44На какво е равен този израз?
-
2:44 - 2:46Нека го запиша с помощта на тези
интеграли тук горе. -
2:46 - 2:56Това ще бъде равно на
границата, когато ∆x клони към 0, -
2:56 - 2:59на какво е равно
F от (х + ∆х)? -
2:59 - 3:01Когато поставим х ето тук,
-
3:01 - 3:06ще получим определен интеграл
от а до (х + ∆х), -
3:06 - 3:09от f от t, dt.
-
3:09 - 3:15От тази граница ще извадим
-
3:15 - 3:17ето този член, т.е. F от х,
-
3:17 - 3:25който вече записахме като определен
интеграл от f от t, dt, от а до х. -
3:25 - 3:33И всичко това е върху ∆х.
-
3:33 - 3:35Какво представлява този израз?
-
3:35 - 3:37Припомни си, че все още не знаем нищо
за определените интеграли, -
3:37 - 3:39или какво да правим с нещо,
-
3:39 - 3:40което има примитивна
функция и т.н. -
3:40 - 3:42Знаем само, че това е
друг начин да кажем, -
3:42 - 3:54че това е площта под кривата f
между а и (х + ∆х). -
3:54 - 4:01Това е цялата тази
площ ето тук. -
4:01 - 4:02Това е ето тази част.
-
4:02 - 4:06Вече знаем на какво е равен
ето този израз в синьо. -
4:06 - 4:09Нека го оградя със
същия син цвят. -
4:09 - 4:11Този интеграл
в синьо ето тук, -
4:11 - 4:15е равен на цялата
тази площ тук. -
4:15 - 4:17Вече защриховахме
тази площ. -
4:17 - 4:19Равно е на цялата
тази площ ето тук. -
4:19 - 4:22Ако вземем цялата
тази зелена площ, -
4:22 - 4:25която е от а до х плюс ∆х,
и от нея извадим -
4:25 - 4:26синята площ –
което е точно това, -
4:26 - 4:29което правим в числителя –
то какво ще ни остане? -
4:29 - 4:32Ще ни остане следното.
-
4:32 - 4:34Какъв цвят все още
не съм използвал? -
4:34 - 4:36Може би ще използвам
ето този розов цвят. -
4:36 - 4:38О, този вече съм използвал.
-
4:38 - 4:39Ще използвам
ето този лилав цвят. -
4:39 - 4:43Ще ни остане
тази площ ето тук. -
4:43 - 4:45Как по друг начин
да го запишем? -
4:45 - 4:48Друг начин да представим
тази площ тук, -
4:48 - 4:59е с определен интеграл от
f от t, dt, между х и (х + ∆х). -
4:59 - 5:01Може да преобразуваме целия
този израз, т.е. производната -
5:01 - 5:07от главно F от х – това е
главно F' от х – можем да запишем, -
5:07 - 5:17че е равно на границата от 1/∆х
по числителя за ∆х клонящо към 0 – -
5:17 - 5:19ние вече намерихме
числителя – -
5:19 - 5:22зелената площ минус синята площ,
е просто лилавата площ. -
5:22 - 5:25Друг начин да представим
тази площ -
5:25 - 5:27е с този израз ето тук.
-
5:27 - 5:291 върху ∆x по
определен интеграл -
5:29 - 5:38от f от t, dt,
от х до х плюс ∆х, -
5:38 - 5:41Този израз е интересен.
-
5:41 - 5:45Може би ти изглежда познат
от теоремата за крайните нараствания -
5:45 - 5:46при определените интеграли.
-
5:46 - 5:52Теоремата за крайните нараствания
при определените интеграли гласи така. -
5:52 - 5:59Теоремата за крайните нараствания
при определените интеграли -
5:59 - 6:12гласи, че съществува такова
число "с" в интервала – -
6:12 - 6:14ще го запиша
по следния начин – -
6:14 - 6:18където "а" е по-малко от
или равно на "с"... -
6:18 - 6:20Добре, нека да го изясня.
-
6:20 - 6:22Интервалът, който ни интересува,
се намира между -
6:22 - 6:27х и ∆х, където х е по-малко
-
6:27 - 6:28или равно на "с", което е по-малко
-
6:28 - 6:37или равно на (х + ∆х), така че
стойността на функцията -
6:37 - 6:41в точка "с" – ще означа
къде е "с" – -
6:41 - 6:43т.е. има едно място с ето тук
-
6:43 - 6:46и изчисляваме стойността на
функцията в "с", -
6:46 - 6:49така че това ето тук
е f от c. -
6:49 - 6:51Искаме да изчислим функцията
-
6:51 - 6:52в точка с, което
по същество -
6:52 - 6:56е височината на ето тази отсечка,
и я умножаваме по основата, -
6:56 - 6:58т.е. по ето този интервал,
-
6:58 - 7:00който е просто ∆х,
-
7:00 - 7:02защото х плюс ∆х минус х
е само ∆х. -
7:02 - 7:07Ако просто умножим височината
по основата, -
7:07 - 7:14то това ще бъде равно на
площта под кривата. -
7:14 - 7:24Тоест това е определеният интеграл
от f от t, dt в интервала от х до (х + ∆х). -
7:24 - 7:27Това ни казва теоремата
за крайните нараствания. -
7:27 - 7:29Ако f е непрекъсната,
то съществува -
7:29 - 7:34стойност "с" в интервала
между двете крайни точки, -
7:34 - 7:38където стойността
на функцията за с -
7:38 - 7:40по същество е средната
стойност на височината. -
7:40 - 7:42И ако намерим средната
стойност на функцията -
7:42 - 7:43и я умножим по основата,
-
7:43 - 7:45то ще получим площта
под кривата. -
7:45 - 7:46Друг начин
да разглеждаме това, -
7:46 - 7:50можем да кажем, че в този интервал
съществува "с" такова, че -
7:50 - 7:53f от "c" е равно на
1 върху ∆х – -
7:53 - 7:58просто разделям двете страни на ∆х –
умножено по интеграл -
7:58 - 8:03от f от t, dt
от х до (х +∆х). -
8:03 - 8:05Това често се приема като
средна стойност -
8:05 - 8:06на функцията в
дадения интервал. -
8:06 - 8:07Защо се получава така?
-
8:07 - 8:11Ето тази част тук
ни дава площта, -
8:11 - 8:13а след това разделяме
площта на основата, -
8:13 - 8:15и получаваме средната
стойност на височината. -
8:15 - 8:16Друг начин
да го формулираме, -
8:16 - 8:18е да вземем
височината ето тук, -
8:18 - 8:21да я умножим по основата,
и получаваме правоъгълник, -
8:21 - 8:25който има абсолютно същата площ
като площта под кривата. -
8:25 - 8:26Това е полезно,
-
8:26 - 8:30защото това е точно каквото получихме
за производната f' от х. -
8:30 - 8:34Следователно трябва да съществува
такова f от "c", -
8:34 - 8:35което е равно на ето този израз.
-
8:35 - 8:39Може да използваме и границата.
Нека препиша всичко това -
8:39 - 8:40сега с нов цвят.
-
8:40 - 8:48Съществува стойност
"с" в интервала -
8:48 - 8:56х до (х + ∆х), където
F' от х – което знаем, -
8:56 - 9:00че е равно на ето това – можем сега
да заявим, че е равно на границата, -
9:00 - 9:03когато ∆х клони към 0 –
-
9:03 - 9:04и вместо да записваме това,
-
9:04 - 9:07знаем, че има такова с,
което отговаря на това условие – -
9:07 - 9:10от f от c.
-
9:10 - 9:12Почти сме на финала.
-
9:12 - 9:15Просто следва да намерим каква
е границата на f от с, -
9:15 - 9:18когато ∆х клони към 0.
-
9:18 - 9:21Основното, което трябва
да осъзнаем, е тази част ето тук. -
9:21 - 9:25Знаем, че с винаги
се намира -
9:25 - 9:26между стойностите
х и (х + ∆х). -
9:26 - 9:28Интуитивно можеш
да заявиш, -
9:28 - 9:33че, когато ∆х клони към 0,
то тази зелена линия ето тук -
9:33 - 9:37се приближава все повече
и повече наляво, -
9:37 - 9:43т.е. към ето тази синя линия,
а с следва да се намира -
9:43 - 9:46между тях, така че
с клони към х. -
9:46 - 9:49Интуитивно се досещаме,
-
9:49 - 9:57че с клони към х,
когато ∆х клони към 0. -
9:57 - 10:00Друг начин да го изкажем
е, че f от c -
10:00 - 10:07клони към f от x, когато
∆х клони към 0. -
10:07 - 10:09Тогава логически
можем да заключим, -
10:09 - 10:14че този израз
ще бъде равен на f от х. -
10:14 - 10:16Може би сега си мислиш,
че това следва логически, -
10:16 - 10:19но все пак в математиката
работим с доказателства. -
10:19 - 10:21Нека със сигурност знаем,
че х клони към `с. -
10:21 - 10:24Недей просто да правиш
тази малка диаграма, -
10:24 - 10:25която показва,
че с се приближава -
10:25 - 10:27все по-близо
и по-близо до х. -
10:27 - 10:29Ако искаш да го докажеш,
то можеш просто -
10:29 - 10:31да прибегнеш до теоремата
за двамата полицаи. -
10:31 - 10:32За да използваш
теоремата за двамата полицаи, -
10:32 - 10:35то следва да приемеш,
че с е функция на ∆х. -
10:35 - 10:36И то наистина е.
-
10:36 - 10:38В зависимост от стойността на ∆х
с ще се намира повече наляво, -
10:38 - 10:39или може би надясно.
-
10:39 - 10:42Тогава мога просто
да преобразувам този израз – -
10:42 - 10:47х по-малко или равно на с,
като функция на ∆х, -
10:47 - 10:50е по-малко или равно
на х плюс ∆х. -
10:50 - 10:54Сега вече виждаш, че с винаги
е затворено между х и (х + ∆х). -
10:54 - 10:59Каква обаче е границата от х,
когато ∆х клони към 0? -
10:59 - 11:01х не зависи от ∆х
по никакъв начин, -
11:01 - 11:04така че тази граница просто
ще бъде равна на х. -
11:04 - 11:11Каква е границата на (х + ∆х),
когато ∆х клони към 0? -
11:11 - 11:12Когато ∆х клони към 0,
-
11:12 - 11:14то тази граница просто
ще бъде равна на х. -
11:14 - 11:17Границата клони към х, когато ∆х
клони към 0, -
11:17 - 11:19но е по-малка от функцията,
-
11:19 - 11:22И ако този израз клони към х,
когато ∆х клони към 0 – -
11:22 - 11:24но е винаги по-голяма
от тази стойност – -
11:24 - 11:27то от теоремата за двамата
полицаи знаем, -
11:27 - 11:31че границата на с
като функция на ∆х, -
11:31 - 11:34когато ∆х клони към 0,
-
11:34 - 11:38също ще бъде равна на х.
-
11:38 - 11:41Следва да клони към същото като
тази и тази стойност. -
11:41 - 11:43Затворена е между тях.
-
11:43 - 11:45Малко се отклонихме към
теоремата за двамата полицаи, -
11:45 - 11:47за да докажем строго,
-
11:47 - 11:49че се получава именно
този резултат. -
11:49 - 11:53Когато ∆х клони към 0,
то с клони към х. -
11:53 - 11:58Ако с клони към х, то f от c
клони към f от х. -
11:58 - 12:01И действително направихме
доказателството. -
12:01 - 12:02F е непрекъсната функция.
-
12:02 - 12:07Дефинирахме главно F
по този начин -
12:07 - 12:10и успяхме да използваме просто
определението за производна, -
12:10 - 12:16за да установим, че
производната от главно F(х), -
12:16 - 12:22е равно на f от x.
-
12:22 - 12:25И още веднъж – защо това
е толкова важно? -
12:25 - 12:28То гласи, че една
непрекъсната функция f – -
12:28 - 12:30това е, което
приемаме – -
12:30 - 12:33приемаме, че f е непрекъсната
в интервала – -
12:33 - 12:35то съществува
някаква функция – -
12:35 - 12:37която може просто
да дефинираме като площта -
12:37 - 12:41под кривата, заключена между някакви
крайни точки, тоест между началото -
12:41 - 12:43на интервала и някаква
стойност х – -
12:43 - 12:46ако дефинираме функцията така,
то производната на тази функция, -
12:46 - 12:49ще бъде равна на тази
непрекъсната функция. -
12:49 - 12:52Друг начин да го изразим е,
че винаги съществува -
12:52 - 12:54примитивна функция, т.е. всяка
непрекъсната функция -
12:54 - 12:56притежава примитивна функция.
-
12:56 - 12:58Тук има няколко хубави неща.
-
12:58 - 13:00Всяка непрекъсната функция
притежава примитивна функция. -
13:00 - 13:04Това е функцията F от x.
-
13:04 - 13:07Ето затова се нарича
фундаментална теорема на анализа. -
13:07 - 13:10Тя дава връзката между
тези две идеи. -
13:10 - 13:12Имаме диференциално смятане,
-
13:12 - 13:15имаме идеята за производна.
-
13:15 - 13:16А след това в
интегралното смятане -
13:16 - 13:18имаме понятието интеграл.
-
13:18 - 13:21Преди това доказателство
разглеждахме интеграла просто -
13:21 - 13:23като площта под кривата.
-
13:23 - 13:24Беше само начин да кажем,
-
13:24 - 13:26че това е площта под кривата.
-
13:26 - 13:29Сега обаче успяхме
да направим връзка -
13:29 - 13:32между интеграл и производна.
-
13:32 - 13:34И по-точно връзка
между интеграл -
13:34 - 13:36и примитивна функция.
-
13:36 - 13:40Свързва всичко в анализа по един
много силен начин -
13:40 - 13:42и сега, след като
вече ни е познато, -
13:42 - 13:45можем да кажем, че
това е очевидно, -
13:45 - 13:46но преди не беше очевидно.
-
13:46 - 13:47Спомни си, че винаги
разглеждахме интегралите -
13:47 - 13:49като примитивни функции.
-
13:49 - 13:50Това обаче не беше
много ясно. -
13:50 - 13:52Ако разглеждаш един интеграл
само като площ, -
13:52 - 13:53то ще трябва да преминаваш
през целия този процес. -
13:53 - 13:56Обаче това не е така!
Интегралът е свързан -
13:56 - 13:59с процеса на намиране
на производна.
- Title:
- Доказателство на фундаменталната теорема на математическия анализ
- Description:
-
Първата част на фундаменталната теорема на математическия анализ гласи, че ако дефинираме определен интеграл от функцията А от някаква константа, то тогава той е равен на примитивната функция на А. Виж защо това е така. Създадено от Сал Кан.
- Video Language:
- English
- Team:
- Khan Academy
- Duration:
- 14:00
Sevdalina Peeva edited Bulgarian subtitles for Proof of Fundamental Theorem of Calculus | ||
Sevdalina Peeva edited Bulgarian subtitles for Proof of Fundamental Theorem of Calculus | ||
Amara Bot edited Bulgarian subtitles for Proof of Fundamental Theorem of Calculus |