1
00:00:00,560 --> 00:00:03,740
Дадена е функцията f,

2
00:00:03,740 --> 00:00:09,410
която е непрекъсната 
в интервала от a до b.

3
00:00:09,410 --> 00:00:12,480
Нека да онагледим
тази функция.

4
00:00:12,480 --> 00:00:17,680
Това е оста у.

5
00:00:17,680 --> 00:00:20,600
А това тук ще бъде моята ос t.

6
00:00:20,600 --> 00:00:23,050
Ще запазя х за малко по-късно.

7
00:00:23,050 --> 00:00:24,820
Ще означа тази ос с t.

8
00:00:24,820 --> 00:00:26,720
Нека това ето тук

9
00:00:26,720 --> 00:00:31,830
да е графиката на 
у равно на f от t.

10
00:00:31,830 --> 00:00:34,670
Функцията е непрекъсната 
в интервала от a до b.

11
00:00:34,670 --> 00:00:36,880
Тази стойност е 
t равно на а.

12
00:00:36,880 --> 00:00:38,800
Тази стойност е 
t равно на b.

13
00:00:38,800 --> 00:00:42,320
Функцията е непрекъсната

14
00:00:42,320 --> 00:00:45,350
в целия този интервал.

15
00:00:45,350 --> 00:00:51,580
Сега да дефинираме 
функцията главно F от х.

16
00:00:51,580 --> 00:00:53,670
Ще го запиша със синьо.

17
00:00:53,670 --> 00:00:59,020
Дадено е главно F от х равно
на определен интеграл от f(t),

18
00:00:59,020 --> 00:01:04,970
от а като долна граница, до x,

19
00:01:04,970 --> 00:01:12,460
интеграл от f от t, dt.

20
00:01:12,460 --> 00:01:19,500
х принадлежи на интервала [a;b] –
a по-малко или равно на х,

21
00:01:19,500 --> 00:01:22,000
и х по-малко или равно на b.

22
00:01:22,000 --> 00:01:23,440
Това е просто начин да означим,

23
00:01:23,440 --> 00:01:26,380
че х се намира 
в този интервал ето тук.

24
00:01:26,380 --> 00:01:28,780
Когато видиш този израз, 
може да кажеш,

25
00:01:28,780 --> 00:01:31,017
че определеният интеграл 
има връзка с диференциране,

26
00:01:31,020 --> 00:01:32,840
примитивна функция 
и всичко останало.

27
00:01:32,840 --> 00:01:34,180
Но това все още не го знаем.

28
00:01:34,180 --> 00:01:37,300
Знаем само, че този израз,

29
00:01:37,300 --> 00:01:43,130
е равен на площта под кривата F,
между а и х.

30
00:01:43,150 --> 00:01:47,240
Нека изберем х
да е ето тук.

31
00:01:47,250 --> 00:01:53,620
Тогава F от х е 
тази площ ето тук.

32
00:01:53,620 --> 00:01:55,660
Това е всичко, което знаем за
функцията.

33
00:01:55,660 --> 00:01:58,560
Все още не знаем, че има връзка
с примитивна функция.

34
00:01:59,060 --> 00:02:02,800
Именно това ще се опитаме да докажем
в настоящия урок.

35
00:02:02,800 --> 00:02:06,312
За по-интересно нека намерим
производната на F.

36
00:02:06,320 --> 00:02:08,080
За да го направим,
ще използваме

37
00:02:08,080 --> 00:02:09,940
определението за производни

38
00:02:09,949 --> 00:02:12,520
и да видим какво ще получим,
когато използваме

39
00:02:12,520 --> 00:02:15,360
определението за производни.

40
00:02:15,940 --> 00:02:21,060
Определението гласи, 
че F' от х

41
00:02:21,060 --> 00:02:25,480
е равно на границата от, 
когато ∆х клони към 0,

42
00:02:25,480 --> 00:02:31,100
границата на главно F 
от (х + ∆х)

43
00:02:31,100 --> 00:02:37,620
минус F от х, като всичко това
е върху ∆х.

44
00:02:37,620 --> 00:02:41,450
Това е определението 
за производна.

45
00:02:41,450 --> 00:02:43,611
На какво е равен този израз?

46
00:02:43,611 --> 00:02:46,110
Нека го запиша с помощта на тези
интеграли тук горе.

47
00:02:46,110 --> 00:02:55,590
Това ще бъде равно на 
границата, когато ∆x клони към 0,

48
00:02:55,590 --> 00:02:58,790
на какво е равно 
F от (х + ∆х)?

49
00:02:58,790 --> 00:03:01,240
Когато поставим х ето тук,

50
00:03:01,240 --> 00:03:06,120
ще получим определен интеграл
от а до (х + ∆х),

51
00:03:06,120 --> 00:03:09,360
от f от t, dt.

52
00:03:09,360 --> 00:03:15,240
От тази граница ще извадим

53
00:03:15,240 --> 00:03:17,440
ето този член, т.е. F от х,

54
00:03:17,450 --> 00:03:24,870
който вече записахме като определен
интеграл от f от t, dt, от а до х.

55
00:03:24,870 --> 00:03:32,740
И всичко това е върху ∆х.

56
00:03:32,740 --> 00:03:34,866
Какво представлява този израз?

57
00:03:34,866 --> 00:03:37,240
Припомни си, че все още не знаем нищо
за определените интеграли,

58
00:03:37,240 --> 00:03:38,560
или какво да правим с нещо,

59
00:03:38,560 --> 00:03:40,060
което има примитивна 
функция и т.н.

60
00:03:40,060 --> 00:03:41,870
Знаем само, че това е
друг начин да кажем,

61
00:03:41,870 --> 00:03:53,550
че това е площта под кривата f 
между а и (х + ∆х).

62
00:03:53,630 --> 00:04:00,620
Това е цялата тази
площ ето тук.

63
00:04:00,620 --> 00:04:02,460
Това е ето тази част.

64
00:04:02,460 --> 00:04:06,090
Вече знаем на какво е равен
ето този израз в синьо.

65
00:04:06,090 --> 00:04:08,830
Нека го оградя със 
същия син цвят.

66
00:04:08,830 --> 00:04:11,420
Този интеграл 
в синьо ето тук,

67
00:04:11,420 --> 00:04:14,650
е равен на цялата 
тази площ тук.

68
00:04:14,650 --> 00:04:16,520
Вече защриховахме
тази площ.

69
00:04:16,520 --> 00:04:19,070
Равно е на цялата 
тази площ ето тук.

70
00:04:19,070 --> 00:04:22,130
Ако вземем цялата 
тази зелена площ,

71
00:04:22,130 --> 00:04:24,730
която е от а до х плюс ∆х,
и от нея извадим

72
00:04:24,730 --> 00:04:26,500
синята площ –
което е точно това,

73
00:04:26,500 --> 00:04:29,420
което правим в числителя –
то какво ще ни остане?

74
00:04:29,420 --> 00:04:32,450
Ще ни остане следното.

75
00:04:32,450 --> 00:04:34,280
Какъв цвят все още
не съм използвал?

76
00:04:34,280 --> 00:04:36,381
Може би ще използвам 
ето този розов цвят.

77
00:04:36,381 --> 00:04:37,740
О, този вече съм използвал.

78
00:04:37,740 --> 00:04:39,220
Ще използвам 
ето този лилав цвят.

79
00:04:39,220 --> 00:04:43,340
Ще ни остане 
тази площ ето тук.

80
00:04:43,340 --> 00:04:45,490
Как по друг начин 
да го запишем?

81
00:04:45,490 --> 00:04:48,450
Друг начин да представим
тази площ тук,

82
00:04:48,450 --> 00:04:58,550
е с определен интеграл от 
f от t, dt, между х и (х + ∆х).

83
00:04:58,550 --> 00:05:01,340
Може да преобразуваме целия
този израз, т.е. производната

84
00:05:01,340 --> 00:05:06,800
от главно F от х – това е
главно F' от х – можем да запишем,

85
00:05:06,800 --> 00:05:16,932
че е равно на границата от 1/∆х 
по числителя за ∆х клонящо към 0 –

86
00:05:16,932 --> 00:05:18,640
ние вече намерихме 
числителя –

87
00:05:18,640 --> 00:05:22,170
зелената площ минус синята площ,
е просто лилавата площ.

88
00:05:22,170 --> 00:05:24,510
Друг начин да представим
тази площ

89
00:05:24,510 --> 00:05:26,520
е с този израз ето тук.

90
00:05:26,520 --> 00:05:28,680
1 върху ∆x по 
определен интеграл

91
00:05:28,680 --> 00:05:38,200
от f от t, dt,
от х до х плюс ∆х,

92
00:05:38,200 --> 00:05:40,650
Този израз е интересен.

93
00:05:40,650 --> 00:05:44,820
Може би ти изглежда познат
от теоремата за крайните нараствания

94
00:05:44,820 --> 00:05:46,220
при определените интеграли.

95
00:05:46,220 --> 00:05:51,680
Теоремата за крайните нараствания
при определените интеграли гласи така.

96
00:05:51,680 --> 00:05:58,900
Теоремата за крайните нараствания
при определените интеграли

97
00:05:58,900 --> 00:06:11,670
гласи, че съществува такова
число "с" в интервала –

98
00:06:11,670 --> 00:06:13,940
ще го запиша 
по следния начин –

99
00:06:13,960 --> 00:06:18,394
където "а" е по-малко от 
или равно на "с"...

100
00:06:18,394 --> 00:06:19,810
Добре, нека да го изясня.

101
00:06:19,810 --> 00:06:21,780
Интервалът, който ни интересува,
се намира между

102
00:06:21,780 --> 00:06:26,620
х и ∆х, където х е по-малко

103
00:06:26,620 --> 00:06:28,370
или равно на "с", което е по-малко

104
00:06:28,370 --> 00:06:36,940
или равно на (х + ∆х), така че
стойността на функцията

105
00:06:36,940 --> 00:06:40,710
в точка "с" – ще означа 
къде е "с" –

106
00:06:40,710 --> 00:06:43,210
т.е. има едно място с ето тук

107
00:06:43,210 --> 00:06:46,240
и изчисляваме стойността на
функцията в "с",

108
00:06:46,240 --> 00:06:48,999
така че това ето тук
е f от c.

109
00:06:48,999 --> 00:06:50,790
Искаме да изчислим функцията

110
00:06:50,790 --> 00:06:52,206
в точка с, което 
по същество

111
00:06:52,206 --> 00:06:55,520
е височината на ето тази отсечка,
и я умножаваме по основата,

112
00:06:55,520 --> 00:06:57,960
т.е. по ето този интервал,

113
00:06:57,960 --> 00:06:59,860
който е просто ∆х,

114
00:06:59,860 --> 00:07:02,420
защото х плюс ∆х минус х
е само ∆х.

115
00:07:02,420 --> 00:07:07,140
Ако просто умножим височината
по основата,

116
00:07:07,140 --> 00:07:13,870
то това ще бъде равно на 
площта под кривата.

117
00:07:14,180 --> 00:07:24,010
Тоест това е определеният интеграл
от f от t, dt в интервала от х до (х + ∆х).

118
00:07:24,010 --> 00:07:27,320
Това ни казва теоремата 
за крайните нараствания.

119
00:07:27,320 --> 00:07:29,160
Ако f е непрекъсната,
то съществува

120
00:07:29,160 --> 00:07:34,460
стойност "с" в интервала 
между двете крайни точки,

121
00:07:34,460 --> 00:07:37,820
където стойността 
на функцията за с

122
00:07:37,820 --> 00:07:40,240
по същество е средната
стойност на височината.

123
00:07:40,240 --> 00:07:41,900
И ако намерим средната
стойност на функцията

124
00:07:41,900 --> 00:07:43,180
и я умножим по основата,

125
00:07:43,180 --> 00:07:44,810
то ще получим площта 
под кривата.

126
00:07:44,810 --> 00:07:46,184
Друг начин 
да разглеждаме това,

127
00:07:46,184 --> 00:07:49,770
можем да кажем, че в този интервал 
съществува "с" такова, че

128
00:07:49,770 --> 00:07:53,450
f от "c" е равно на
1 върху ∆х –

129
00:07:53,450 --> 00:07:57,840
просто разделям двете страни на ∆х –
умножено по интеграл

130
00:07:57,840 --> 00:08:02,530
от f от t, dt 
от х до (х +∆х).

131
00:08:02,530 --> 00:08:05,024
Това често се приема като 
средна стойност

132
00:08:05,024 --> 00:08:06,440
на функцията в 
дадения интервал.

133
00:08:06,440 --> 00:08:07,410
Защо се получава така?

134
00:08:07,410 --> 00:08:11,410
Ето тази част тук 
ни дава площта,

135
00:08:11,410 --> 00:08:13,170
а след това разделяме 
площта на основата,

136
00:08:13,170 --> 00:08:14,892
и получаваме средната 
стойност на височината.

137
00:08:14,892 --> 00:08:16,350
Друг начин 
да го формулираме,

138
00:08:16,350 --> 00:08:18,300
е да вземем 
височината ето тук,

139
00:08:18,300 --> 00:08:20,790
да я умножим по основата, 
и получаваме правоъгълник,

140
00:08:20,790 --> 00:08:24,560
който има абсолютно същата площ
като площта под кривата.

141
00:08:24,560 --> 00:08:25,890
Това е полезно,

142
00:08:25,890 --> 00:08:30,430
защото това е точно каквото получихме
за производната f' от х.

143
00:08:30,430 --> 00:08:34,330
Следователно трябва да съществува
такова f от "c",

144
00:08:34,330 --> 00:08:35,370
което е равно на ето този израз.

145
00:08:35,370 --> 00:08:38,770
Може да използваме и границата.
Нека препиша всичко това

146
00:08:38,770 --> 00:08:39,919
сега с нов цвят.

147
00:08:39,919 --> 00:08:47,640
Съществува стойност 
"с" в интервала

148
00:08:47,640 --> 00:08:56,250
х до (х + ∆х), където 
F' от х – което знаем,

149
00:08:56,250 --> 00:09:00,360
че е равно на ето това – можем сега
да заявим, че е равно на границата,

150
00:09:00,360 --> 00:09:02,920
когато ∆х клони към 0 –

151
00:09:02,920 --> 00:09:04,420
и вместо да записваме това,

152
00:09:04,420 --> 00:09:06,740
знаем, че има такова с, 
което отговаря на това условие –

153
00:09:06,740 --> 00:09:10,420
от f от c.

154
00:09:10,420 --> 00:09:12,370
Почти сме на финала.

155
00:09:12,370 --> 00:09:14,870
Просто следва да намерим каква
е границата на f от с,

156
00:09:14,870 --> 00:09:17,780
когато ∆х клони към 0.

157
00:09:17,940 --> 00:09:21,160
Основното, което трябва
да осъзнаем, е тази част ето тук.

158
00:09:21,160 --> 00:09:24,680
Знаем, че с винаги 
се намира

159
00:09:24,680 --> 00:09:26,400
между стойностите
х и (х + ∆х).

160
00:09:26,400 --> 00:09:27,750
Интуитивно можеш 
да заявиш,

161
00:09:27,750 --> 00:09:33,450
че, когато ∆х клони към 0, 
то тази зелена линия ето тук

162
00:09:33,450 --> 00:09:36,800
се приближава все повече 
и повече наляво,

163
00:09:36,800 --> 00:09:43,050
т.е. към ето тази синя линия,
а с следва да се намира

164
00:09:43,050 --> 00:09:46,280
между тях, така че
с клони към х.

165
00:09:46,280 --> 00:09:49,140
Интуитивно се досещаме,

166
00:09:49,140 --> 00:09:56,880
че с клони към х, 
когато ∆х клони към 0.

167
00:09:56,890 --> 00:10:00,120
Друг начин да го изкажем
е, че f от c

168
00:10:00,120 --> 00:10:07,200
клони към f от x, когато
∆х клони към 0.

169
00:10:07,200 --> 00:10:09,350
Тогава логически
можем да заключим,

170
00:10:09,350 --> 00:10:14,129
че този израз 
ще бъде равен на f от х.

171
00:10:14,129 --> 00:10:15,920
Може би сега си мислиш, 
че това следва логически,

172
00:10:15,920 --> 00:10:18,860
но все пак в математиката
работим с доказателства.

173
00:10:18,880 --> 00:10:21,310
Нека със сигурност знаем, 
че х клони към `с.

174
00:10:21,310 --> 00:10:23,846
Недей просто да правиш
тази малка диаграма,

175
00:10:23,846 --> 00:10:25,220
която показва, 
че с се приближава

176
00:10:25,220 --> 00:10:26,950
все по-близо 
и по-близо до х.

177
00:10:26,950 --> 00:10:28,650
Ако искаш да го докажеш,
то можеш просто

178
00:10:28,650 --> 00:10:30,640
да прибегнеш до теоремата
за двамата полицаи.

179
00:10:30,640 --> 00:10:32,160
За да използваш 
теоремата за двамата полицаи,

180
00:10:32,160 --> 00:10:34,600
то следва да приемеш, 
че с е функция на ∆х.

181
00:10:34,600 --> 00:10:35,720
И то наистина е.

182
00:10:35,720 --> 00:10:37,920
В зависимост от стойността на ∆х
с ще се намира повече наляво,

183
00:10:37,923 --> 00:10:39,470
или може би надясно.

184
00:10:39,470 --> 00:10:41,620
Тогава мога просто 
да преобразувам този израз –

185
00:10:41,620 --> 00:10:46,980
х по-малко или равно на с,
като функция на ∆х,

186
00:10:46,980 --> 00:10:50,030
е по-малко или равно
на х плюс ∆х.

187
00:10:50,030 --> 00:10:54,120
Сега вече виждаш, че с винаги
е затворено между х и (х + ∆х).

188
00:10:54,320 --> 00:10:58,775
Каква обаче е границата от х,
когато ∆х клони към 0?

189
00:10:58,775 --> 00:11:01,040
х не зависи от ∆х 
по никакъв начин,

190
00:11:01,040 --> 00:11:03,500
така че тази граница просто
ще бъде равна на х.

191
00:11:03,500 --> 00:11:10,600
Каква е границата на (х + ∆х),
когато ∆х клони към 0?

192
00:11:10,600 --> 00:11:12,200
Когато ∆х клони към 0,

193
00:11:12,200 --> 00:11:14,150
то тази граница просто 
ще бъде равна на х.

194
00:11:14,150 --> 00:11:17,370
Границата клони към х, когато ∆х
клони към 0,

195
00:11:17,370 --> 00:11:19,190
но е по-малка от функцията,

196
00:11:19,190 --> 00:11:22,080
И ако този израз клони към х, 
когато ∆х клони към 0 –

197
00:11:22,080 --> 00:11:23,950
но е винаги по-голяма 
от тази стойност –

198
00:11:23,950 --> 00:11:27,000
то от теоремата за двамата 
полицаи знаем,

199
00:11:27,000 --> 00:11:30,820
че границата на с
като функция на ∆х,

200
00:11:30,820 --> 00:11:34,180
когато ∆х клони към 0,

201
00:11:34,180 --> 00:11:38,480
също ще бъде равна на х.

202
00:11:38,480 --> 00:11:40,940
Следва да клони към същото като
тази и тази стойност.

203
00:11:40,940 --> 00:11:42,950
Затворена е между тях.

204
00:11:42,950 --> 00:11:45,160
Малко се отклонихме към 
теоремата за двамата полицаи,

205
00:11:45,160 --> 00:11:46,951
за да докажем строго,

206
00:11:46,951 --> 00:11:48,580
че се получава именно 
този резултат.

207
00:11:48,580 --> 00:11:52,820
Когато ∆х клони към 0, 
то с клони към х.

208
00:11:52,820 --> 00:11:57,910
Ако с клони към х, то f от c 
клони към f от х.

209
00:11:57,910 --> 00:12:00,850
И действително направихме
доказателството.

210
00:12:00,850 --> 00:12:02,250
F е непрекъсната функция.

211
00:12:02,250 --> 00:12:06,820
Дефинирахме главно F 
по този начин

212
00:12:06,820 --> 00:12:10,500
и успяхме да използваме просто
определението за производна,

213
00:12:10,500 --> 00:12:15,660
за да установим, че 
производната от главно F(х),

214
00:12:15,660 --> 00:12:21,500
е равно на f от x.

215
00:12:21,500 --> 00:12:25,080
И още веднъж – защо това 
е толкова важно?

216
00:12:25,080 --> 00:12:28,200
То гласи, че една
непрекъсната функция f –

217
00:12:28,200 --> 00:12:29,500
това е, което
приемаме –

218
00:12:29,500 --> 00:12:32,880
приемаме, че f е непрекъсната
в интервала –

219
00:12:32,880 --> 00:12:35,460
то съществува 
някаква функция –

220
00:12:35,460 --> 00:12:37,340
която може просто 
да дефинираме като площта

221
00:12:37,340 --> 00:12:41,170
под кривата, заключена между някакви
крайни точки, тоест между началото

222
00:12:41,170 --> 00:12:43,450
на интервала и някаква
стойност х –

223
00:12:43,450 --> 00:12:46,190
ако дефинираме функцията така,
то производната на тази функция,

224
00:12:46,190 --> 00:12:49,130
ще бъде равна на тази 
непрекъсната функция.

225
00:12:49,130 --> 00:12:51,610
Друг начин да го изразим е, 
че винаги съществува

226
00:12:51,610 --> 00:12:54,310
примитивна функция, т.е. всяка
непрекъсната функция

227
00:12:54,310 --> 00:12:56,440
притежава примитивна функция.

228
00:12:56,440 --> 00:12:58,070
Тук има няколко хубави неща.

229
00:12:58,070 --> 00:13:00,250
Всяка непрекъсната функция
притежава примитивна функция.

230
00:13:00,250 --> 00:13:03,925
Това е функцията F от x.

231
00:13:03,925 --> 00:13:06,960
Ето затова се нарича 
фундаментална теорема на анализа.

232
00:13:07,080 --> 00:13:09,500
Тя дава връзката между
тези две идеи.

233
00:13:09,500 --> 00:13:11,620
Имаме диференциално смятане,

234
00:13:11,620 --> 00:13:14,760
имаме идеята за производна.

235
00:13:14,760 --> 00:13:16,210
А след това в 
интегралното смятане

236
00:13:16,210 --> 00:13:17,910
имаме понятието интеграл.

237
00:13:17,910 --> 00:13:20,670
Преди това доказателство
разглеждахме интеграла просто

238
00:13:20,670 --> 00:13:22,596
като площта под кривата.

239
00:13:22,596 --> 00:13:24,220
Беше само начин да кажем,

240
00:13:24,220 --> 00:13:26,330
че това е площта под кривата.

241
00:13:26,330 --> 00:13:29,050
Сега обаче успяхме 
да направим връзка

242
00:13:29,050 --> 00:13:31,670
между интеграл и производна.

243
00:13:31,670 --> 00:13:33,840
И по-точно връзка 
между интеграл

244
00:13:33,840 --> 00:13:35,500
и примитивна функция.

245
00:13:35,500 --> 00:13:40,280
Свързва всичко в анализа по един
много силен начин

246
00:13:40,280 --> 00:13:42,480
и сега, след като
вече ни е познато,

247
00:13:42,490 --> 00:13:44,694
можем да кажем, че 
това е очевидно,

248
00:13:44,700 --> 00:13:45,760
но преди не беше очевидно.

249
00:13:45,760 --> 00:13:47,060
Спомни си, че винаги 
разглеждахме интегралите

250
00:13:47,060 --> 00:13:48,518
като примитивни функции.

251
00:13:48,518 --> 00:13:49,620
Това обаче не беше
много ясно.

252
00:13:49,620 --> 00:13:51,662
Ако разглеждаш един интеграл
само като площ,

253
00:13:51,662 --> 00:13:53,370
то ще трябва да преминаваш 
през целия този процес.

254
00:13:53,370 --> 00:13:56,340
Обаче това не е така! 
Интегралът е свързан

255
00:13:56,340 --> 00:13:59,440
с процеса на намиране 
на производна.