0:00:00.560,0:00:03.740
Дадена е функцията f,

0:00:03.740,0:00:09.410
която е непрекъсната [br]в интервала от a до b.

0:00:09.410,0:00:12.480
Нека да онагледим[br]тази функция.

0:00:12.480,0:00:17.680
Това е оста у.

0:00:17.680,0:00:20.600
А това тук ще бъде моята ос t.

0:00:20.600,0:00:23.050
Ще запазя х за малко по-късно.

0:00:23.050,0:00:24.820
Ще означа тази ос с t.

0:00:24.820,0:00:26.720
Нека това ето тук

0:00:26.720,0:00:31.830
да е графиката на [br]у равно на f от t.

0:00:31.830,0:00:34.670
Функцията е непрекъсната [br]в интервала от a до b.

0:00:34.670,0:00:36.880
Тази стойност е [br]t равно на а.

0:00:36.880,0:00:38.800
Тази стойност е [br]t равно на b.

0:00:38.800,0:00:42.320
Функцията е непрекъсната

0:00:42.320,0:00:45.350
в целия този интервал.

0:00:45.350,0:00:51.580
Сега да дефинираме [br]функцията главно F от х.

0:00:51.580,0:00:53.670
Ще го запиша със синьо.

0:00:53.670,0:00:59.020
Дадено е главно F от х равно[br]на определен интеграл от f(t),

0:00:59.020,0:01:04.970
от а като долна граница, до x,

0:01:04.970,0:01:12.460
интеграл от f от t, dt.

0:01:12.460,0:01:19.500
х принадлежи на интервала [a;b] –[br]a по-малко или равно на х,

0:01:19.500,0:01:22.000
и х по-малко или равно на b.

0:01:22.000,0:01:23.440
Това е просто начин да означим,

0:01:23.440,0:01:26.380
че х се намира [br]в този интервал ето тук.

0:01:26.380,0:01:28.780
Когато видиш този израз, [br]може да кажеш,

0:01:28.780,0:01:31.017
че определеният интеграл [br]има връзка с диференциране,

0:01:31.020,0:01:32.840
примитивна функция [br]и всичко останало.

0:01:32.840,0:01:34.180
Но това все още не го знаем.

0:01:34.180,0:01:37.300
Знаем само, че този израз,

0:01:37.300,0:01:43.130
е равен на площта под кривата F,[br]между а и х.

0:01:43.150,0:01:47.240
Нека изберем х[br]да е ето тук.

0:01:47.250,0:01:53.620
Тогава F от х е [br]тази площ ето тук.

0:01:53.620,0:01:55.660
Това е всичко, което знаем за[br]функцията.

0:01:55.660,0:01:58.560
Все още не знаем, че има връзка[br]с примитивна функция.

0:01:59.060,0:02:02.800
Именно това ще се опитаме да докажем[br]в настоящия урок.

0:02:02.800,0:02:06.312
За по-интересно нека намерим[br]производната на F.

0:02:06.320,0:02:08.080
За да го направим,[br]ще използваме

0:02:08.080,0:02:09.940
определението за производни

0:02:09.949,0:02:12.520
и да видим какво ще получим,[br]когато използваме

0:02:12.520,0:02:15.360
определението за производни.

0:02:15.940,0:02:21.060
Определението гласи, [br]че F' от х

0:02:21.060,0:02:25.480
е равно на границата от, [br]когато ∆х клони към 0,

0:02:25.480,0:02:31.100
границата на главно F [br]от (х + ∆х)

0:02:31.100,0:02:37.620
минус F от х, като всичко това[br]е върху ∆х.

0:02:37.620,0:02:41.450
Това е определението [br]за производна.

0:02:41.450,0:02:43.611
На какво е равен този израз?

0:02:43.611,0:02:46.110
Нека го запиша с помощта на тези[br]интеграли тук горе.

0:02:46.110,0:02:55.590
Това ще бъде равно на [br]границата, когато ∆x клони към 0,

0:02:55.590,0:02:58.790
на какво е равно [br]F от (х + ∆х)?

0:02:58.790,0:03:01.240
Когато поставим х ето тук,

0:03:01.240,0:03:06.120
ще получим определен интеграл[br]от а до (х + ∆х),

0:03:06.120,0:03:09.360
от f от t, dt.

0:03:09.360,0:03:15.240
От тази граница ще извадим

0:03:15.240,0:03:17.440
ето този член, т.е. F от х,

0:03:17.450,0:03:24.870
който вече записахме като определен[br]интеграл от f от t, dt, от а до х.

0:03:24.870,0:03:32.740
И всичко това е върху ∆х.

0:03:32.740,0:03:34.866
Какво представлява този израз?

0:03:34.866,0:03:37.240
Припомни си, че все още не знаем нищо[br]за определените интеграли,

0:03:37.240,0:03:38.560
или какво да правим с нещо,

0:03:38.560,0:03:40.060
което има примитивна [br]функция и т.н.

0:03:40.060,0:03:41.870
Знаем само, че това е[br]друг начин да кажем,

0:03:41.870,0:03:53.550
че това е площта под кривата f [br]между а и (х + ∆х).

0:03:53.630,0:04:00.620
Това е цялата тази[br]площ ето тук.

0:04:00.620,0:04:02.460
Това е ето тази част.

0:04:02.460,0:04:06.090
Вече знаем на какво е равен[br]ето този израз в синьо.

0:04:06.090,0:04:08.830
Нека го оградя със [br]същия син цвят.

0:04:08.830,0:04:11.420
Този интеграл [br]в синьо ето тук,

0:04:11.420,0:04:14.650
е равен на цялата [br]тази площ тук.

0:04:14.650,0:04:16.520
Вече защриховахме[br]тази площ.

0:04:16.520,0:04:19.070
Равно е на цялата [br]тази площ ето тук.

0:04:19.070,0:04:22.130
Ако вземем цялата [br]тази зелена площ,

0:04:22.130,0:04:24.730
която е от а до х плюс ∆х,[br]и от нея извадим

0:04:24.730,0:04:26.500
синята площ –[br]което е точно това,

0:04:26.500,0:04:29.420
което правим в числителя –[br]то какво ще ни остане?

0:04:29.420,0:04:32.450
Ще ни остане следното.

0:04:32.450,0:04:34.280
Какъв цвят все още[br]не съм използвал?

0:04:34.280,0:04:36.381
Може би ще използвам [br]ето този розов цвят.

0:04:36.381,0:04:37.740
О, този вече съм използвал.

0:04:37.740,0:04:39.220
Ще използвам [br]ето този лилав цвят.

0:04:39.220,0:04:43.340
Ще ни остане [br]тази площ ето тук.

0:04:43.340,0:04:45.490
Как по друг начин [br]да го запишем?

0:04:45.490,0:04:48.450
Друг начин да представим[br]тази площ тук,

0:04:48.450,0:04:58.550
е с определен интеграл от [br]f от t, dt, между х и (х + ∆х).

0:04:58.550,0:05:01.340
Може да преобразуваме целия[br]този израз, т.е. производната

0:05:01.340,0:05:06.800
от главно F от х – това е[br]главно F' от х – можем да запишем,

0:05:06.800,0:05:16.932
че е равно на границата от 1/∆х [br]по числителя за ∆х клонящо към 0 –

0:05:16.932,0:05:18.640
ние вече намерихме [br]числителя –

0:05:18.640,0:05:22.170
зелената площ минус синята площ,[br]е просто лилавата площ.

0:05:22.170,0:05:24.510
Друг начин да представим[br]тази площ

0:05:24.510,0:05:26.520
е с този израз ето тук.

0:05:26.520,0:05:28.680
1 върху ∆x по [br]определен интеграл

0:05:28.680,0:05:38.200
от f от t, dt,[br]от х до х плюс ∆х,

0:05:38.200,0:05:40.650
Този израз е интересен.

0:05:40.650,0:05:44.820
Може би ти изглежда познат[br]от теоремата за крайните нараствания

0:05:44.820,0:05:46.220
при определените интеграли.

0:05:46.220,0:05:51.680
Теоремата за крайните нараствания[br]при определените интеграли гласи така.

0:05:51.680,0:05:58.900
Теоремата за крайните нараствания[br]при определените интеграли

0:05:58.900,0:06:11.670
гласи, че съществува такова[br]число "с" в интервала –

0:06:11.670,0:06:13.940
ще го запиша [br]по следния начин –

0:06:13.960,0:06:18.394
където "а" е по-малко от [br]или равно на "с"...

0:06:18.394,0:06:19.810
Добре, нека да го изясня.

0:06:19.810,0:06:21.780
Интервалът, който ни интересува,[br]се намира между

0:06:21.780,0:06:26.620
х и ∆х, където х е по-малко

0:06:26.620,0:06:28.370
или равно на "с", което е по-малко

0:06:28.370,0:06:36.940
или равно на (х + ∆х), така че[br]стойността на функцията

0:06:36.940,0:06:40.710
в точка "с" – ще означа [br]къде е "с" –

0:06:40.710,0:06:43.210
т.е. има едно място с ето тук

0:06:43.210,0:06:46.240
и изчисляваме стойността на[br]функцията в "с",

0:06:46.240,0:06:48.999
така че това ето тук[br]е f от c.

0:06:48.999,0:06:50.790
Искаме да изчислим функцията

0:06:50.790,0:06:52.206
в точка с, което [br]по същество

0:06:52.206,0:06:55.520
е височината на ето тази отсечка,[br]и я умножаваме по основата,

0:06:55.520,0:06:57.960
т.е. по ето този интервал,

0:06:57.960,0:06:59.860
който е просто ∆х,

0:06:59.860,0:07:02.420
защото х плюс ∆х минус х[br]е само ∆х.

0:07:02.420,0:07:07.140
Ако просто умножим височината[br]по основата,

0:07:07.140,0:07:13.870
то това ще бъде равно на [br]площта под кривата.

0:07:14.180,0:07:24.010
Тоест това е определеният интеграл[br]от f от t, dt в интервала от х до (х + ∆х).

0:07:24.010,0:07:27.320
Това ни казва теоремата [br]за крайните нараствания.

0:07:27.320,0:07:29.160
Ако f е непрекъсната,[br]то съществува

0:07:29.160,0:07:34.460
стойност "с" в интервала [br]между двете крайни точки,

0:07:34.460,0:07:37.820
където стойността [br]на функцията за с

0:07:37.820,0:07:40.240
по същество е средната[br]стойност на височината.

0:07:40.240,0:07:41.900
И ако намерим средната[br]стойност на функцията

0:07:41.900,0:07:43.180
и я умножим по основата,

0:07:43.180,0:07:44.810
то ще получим площта [br]под кривата.

0:07:44.810,0:07:46.184
Друг начин [br]да разглеждаме това,

0:07:46.184,0:07:49.770
можем да кажем, че в този интервал [br]съществува "с" такова, че

0:07:49.770,0:07:53.450
f от "c" е равно на[br]1 върху ∆х –

0:07:53.450,0:07:57.840
просто разделям двете страни на ∆х –[br]умножено по интеграл

0:07:57.840,0:08:02.530
от f от t, dt [br]от х до (х +∆х).

0:08:02.530,0:08:05.024
Това често се приема като [br]средна стойност

0:08:05.024,0:08:06.440
на функцията в [br]дадения интервал.

0:08:06.440,0:08:07.410
Защо се получава така?

0:08:07.410,0:08:11.410
Ето тази част тук [br]ни дава площта,

0:08:11.410,0:08:13.170
а след това разделяме [br]площта на основата,

0:08:13.170,0:08:14.892
и получаваме средната [br]стойност на височината.

0:08:14.892,0:08:16.350
Друг начин [br]да го формулираме,

0:08:16.350,0:08:18.300
е да вземем [br]височината ето тук,

0:08:18.300,0:08:20.790
да я умножим по основата, [br]и получаваме правоъгълник,

0:08:20.790,0:08:24.560
който има абсолютно същата площ[br]като площта под кривата.

0:08:24.560,0:08:25.890
Това е полезно,

0:08:25.890,0:08:30.430
защото това е точно каквото получихме[br]за производната f' от х.

0:08:30.430,0:08:34.330
Следователно трябва да съществува[br]такова f от "c",

0:08:34.330,0:08:35.370
което е равно на ето този израз.

0:08:35.370,0:08:38.770
Може да използваме и границата.[br]Нека препиша всичко това

0:08:38.770,0:08:39.919
сега с нов цвят.

0:08:39.919,0:08:47.640
Съществува стойност [br]"с" в интервала

0:08:47.640,0:08:56.250
х до (х + ∆х), където [br]F' от х – което знаем,

0:08:56.250,0:09:00.360
че е равно на ето това – можем сега[br]да заявим, че е равно на границата,

0:09:00.360,0:09:02.920
когато ∆х клони към 0 –

0:09:02.920,0:09:04.420
и вместо да записваме това,

0:09:04.420,0:09:06.740
знаем, че има такова с, [br]което отговаря на това условие –

0:09:06.740,0:09:10.420
от f от c.

0:09:10.420,0:09:12.370
Почти сме на финала.

0:09:12.370,0:09:14.870
Просто следва да намерим каква[br]е границата на f от с,

0:09:14.870,0:09:17.780
когато ∆х клони към 0.

0:09:17.940,0:09:21.160
Основното, което трябва[br]да осъзнаем, е тази част ето тук.

0:09:21.160,0:09:24.680
Знаем, че с винаги [br]се намира

0:09:24.680,0:09:26.400
между стойностите[br]х и (х + ∆х).

0:09:26.400,0:09:27.750
Интуитивно можеш [br]да заявиш,

0:09:27.750,0:09:33.450
че, когато ∆х клони към 0, [br]то тази зелена линия ето тук

0:09:33.450,0:09:36.800
се приближава все повече [br]и повече наляво,

0:09:36.800,0:09:43.050
т.е. към ето тази синя линия,[br]а с следва да се намира

0:09:43.050,0:09:46.280
между тях, така че[br]с клони към х.

0:09:46.280,0:09:49.140
Интуитивно се досещаме,

0:09:49.140,0:09:56.880
че с клони към х, [br]когато ∆х клони към 0.

0:09:56.890,0:10:00.120
Друг начин да го изкажем[br]е, че f от c

0:10:00.120,0:10:07.200
клони към f от x, когато[br]∆х клони към 0.

0:10:07.200,0:10:09.350
Тогава логически[br]можем да заключим,

0:10:09.350,0:10:14.129
че този израз [br]ще бъде равен на f от х.

0:10:14.129,0:10:15.920
Може би сега си мислиш, [br]че това следва логически,

0:10:15.920,0:10:18.860
но все пак в математиката[br]работим с доказателства.

0:10:18.880,0:10:21.310
Нека със сигурност знаем, [br]че х клони към `с.

0:10:21.310,0:10:23.846
Недей просто да правиш[br]тази малка диаграма,

0:10:23.846,0:10:25.220
която показва, [br]че с се приближава

0:10:25.220,0:10:26.950
все по-близо [br]и по-близо до х.

0:10:26.950,0:10:28.650
Ако искаш да го докажеш,[br]то можеш просто

0:10:28.650,0:10:30.640
да прибегнеш до теоремата[br]за двамата полицаи.

0:10:30.640,0:10:32.160
За да използваш [br]теоремата за двамата полицаи,

0:10:32.160,0:10:34.600
то следва да приемеш, [br]че с е функция на ∆х.

0:10:34.600,0:10:35.720
И то наистина е.

0:10:35.720,0:10:37.920
В зависимост от стойността на ∆х[br]с ще се намира повече наляво,

0:10:37.923,0:10:39.470
или може би надясно.

0:10:39.470,0:10:41.620
Тогава мога просто [br]да преобразувам този израз –

0:10:41.620,0:10:46.980
х по-малко или равно на с,[br]като функция на ∆х,

0:10:46.980,0:10:50.030
е по-малко или равно[br]на х плюс ∆х.

0:10:50.030,0:10:54.120
Сега вече виждаш, че с винаги[br]е затворено между х и (х + ∆х).

0:10:54.320,0:10:58.775
Каква обаче е границата от х,[br]когато ∆х клони към 0?

0:10:58.775,0:11:01.040
х не зависи от ∆х [br]по никакъв начин,

0:11:01.040,0:11:03.500
така че тази граница просто[br]ще бъде равна на х.

0:11:03.500,0:11:10.600
Каква е границата на (х + ∆х),[br]когато ∆х клони към 0?

0:11:10.600,0:11:12.200
Когато ∆х клони към 0,

0:11:12.200,0:11:14.150
то тази граница просто [br]ще бъде равна на х.

0:11:14.150,0:11:17.370
Границата клони към х, когато ∆х[br]клони към 0,

0:11:17.370,0:11:19.190
но е по-малка от функцията,

0:11:19.190,0:11:22.080
И ако този израз клони към х, [br]когато ∆х клони към 0 –

0:11:22.080,0:11:23.950
но е винаги по-голяма [br]от тази стойност –

0:11:23.950,0:11:27.000
то от теоремата за двамата [br]полицаи знаем,

0:11:27.000,0:11:30.820
че границата на с[br]като функция на ∆х,

0:11:30.820,0:11:34.180
когато ∆х клони към 0,

0:11:34.180,0:11:38.480
също ще бъде равна на х.

0:11:38.480,0:11:40.940
Следва да клони към същото като[br]тази и тази стойност.

0:11:40.940,0:11:42.950
Затворена е между тях.

0:11:42.950,0:11:45.160
Малко се отклонихме към [br]теоремата за двамата полицаи,

0:11:45.160,0:11:46.951
за да докажем строго,

0:11:46.951,0:11:48.580
че се получава именно [br]този резултат.

0:11:48.580,0:11:52.820
Когато ∆х клони към 0, [br]то с клони към х.

0:11:52.820,0:11:57.910
Ако с клони към х, то f от c [br]клони към f от х.

0:11:57.910,0:12:00.850
И действително направихме[br]доказателството.

0:12:00.850,0:12:02.250
F е непрекъсната функция.

0:12:02.250,0:12:06.820
Дефинирахме главно F [br]по този начин

0:12:06.820,0:12:10.500
и успяхме да използваме просто[br]определението за производна,

0:12:10.500,0:12:15.660
за да установим, че [br]производната от главно F(х),

0:12:15.660,0:12:21.500
е равно на f от x.

0:12:21.500,0:12:25.080
И още веднъж – защо това [br]е толкова важно?

0:12:25.080,0:12:28.200
То гласи, че една[br]непрекъсната функция f –

0:12:28.200,0:12:29.500
това е, което[br]приемаме –

0:12:29.500,0:12:32.880
приемаме, че f е непрекъсната[br]в интервала –

0:12:32.880,0:12:35.460
то съществува [br]някаква функция –

0:12:35.460,0:12:37.340
която може просто [br]да дефинираме като площта

0:12:37.340,0:12:41.170
под кривата, заключена между някакви[br]крайни точки, тоест между началото

0:12:41.170,0:12:43.450
на интервала и някаква[br]стойност х –

0:12:43.450,0:12:46.190
ако дефинираме функцията така,[br]то производната на тази функция,

0:12:46.190,0:12:49.130
ще бъде равна на тази [br]непрекъсната функция.

0:12:49.130,0:12:51.610
Друг начин да го изразим е, [br]че винаги съществува

0:12:51.610,0:12:54.310
примитивна функция, т.е. всяка[br]непрекъсната функция

0:12:54.310,0:12:56.440
притежава примитивна функция.

0:12:56.440,0:12:58.070
Тук има няколко хубави неща.

0:12:58.070,0:13:00.250
Всяка непрекъсната функция[br]притежава примитивна функция.

0:13:00.250,0:13:03.925
Това е функцията F от x.

0:13:03.925,0:13:06.960
Ето затова се нарича [br]фундаментална теорема на анализа.

0:13:07.080,0:13:09.500
Тя дава връзката между[br]тези две идеи.

0:13:09.500,0:13:11.620
Имаме диференциално смятане,

0:13:11.620,0:13:14.760
имаме идеята за производна.

0:13:14.760,0:13:16.210
А след това в [br]интегралното смятане

0:13:16.210,0:13:17.910
имаме понятието интеграл.

0:13:17.910,0:13:20.670
Преди това доказателство[br]разглеждахме интеграла просто

0:13:20.670,0:13:22.596
като площта под кривата.

0:13:22.596,0:13:24.220
Беше само начин да кажем,

0:13:24.220,0:13:26.330
че това е площта под кривата.

0:13:26.330,0:13:29.050
Сега обаче успяхме [br]да направим връзка

0:13:29.050,0:13:31.670
между интеграл и производна.

0:13:31.670,0:13:33.840
И по-точно връзка [br]между интеграл

0:13:33.840,0:13:35.500
и примитивна функция.

0:13:35.500,0:13:40.280
Свързва всичко в анализа по един[br]много силен начин

0:13:40.280,0:13:42.480
и сега, след като[br]вече ни е познато,

0:13:42.490,0:13:44.694
можем да кажем, че [br]това е очевидно,

0:13:44.700,0:13:45.760
но преди не беше очевидно.

0:13:45.760,0:13:47.060
Спомни си, че винаги [br]разглеждахме интегралите

0:13:47.060,0:13:48.518
като примитивни функции.

0:13:48.518,0:13:49.620
Това обаче не беше[br]много ясно.

0:13:49.620,0:13:51.662
Ако разглеждаш един интеграл[br]само като площ,

0:13:51.662,0:13:53.370
то ще трябва да преминаваш [br]през целия този процес.

0:13:53.370,0:13:56.340
Обаче това не е така! [br]Интегралът е свързан

0:13:56.340,0:13:59.440
с процеса на намиране [br]на производна.