Решен пример: степенни редове за функцията cos(x)

Намиране на степенен ред, с който да представим функцията x^3cos (x^2) с помощта на реда на Маклорен за cos (x).

Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-maclaurin-series/v/evaluating-power-series-for-mystery-function?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Пропуснахте предишния урок? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-maclaurin-series/v/euler-s-formula-and-euler-s-identity?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign= APCalculusBC

Кан Академия е организация с нестопанска цел и с мисията да предоставя свободно образователни материали на световно ниво за всеки и навсякъде. Предлагаме тестове, въпроси, видео уроци и статии върху голям набор от академични дисциплини, включително математика, биология, химия, физика, история, икономика, финанси, граматика, предучилищно образование и други. Ние предоставяме на учителите инструменти и данни, така че да могат да помогнат на учениците си да развият уменията, навиците и нагласите за успех в училище и извън него. Кан Академия е преведена на дузина езици и 100 милиона души по целия свят използват платформата на Кан Академия всяка година. За повече информация, посети bg.khanacademy.org, присъедини се към нас във Фейсбук, или ни следвай в Twitter на @khanacademy. И запомни, можеш да научиш всичко.

Безплатно. За всички. Завинаги.
#YouCanLearnAnything

Абонирай се за канала на Кан Академия Математически анализ: https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия България: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademybulgarian
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Да видим дали можем да
представим като ред на Маклорен

функцията f(х) = х^3 по cos(х^2).

Насърчавам те да спреш видеото
и да опиташ самостоятелно.

Спомни си, ред на Маклорен е просто
ред на Тейлър, центриран около нула.

Да кажем, че целта ни е да намерим
първите пет члена, различни от 0,

от представянето като
ред на Маклорен

или на апроксимацията
с ред на Маклорен.

Предполагам, че спря видеото
и се опита да го решиш.

Много е вероятно това да те е
вбесило, докато го правиш,

защото за да намерим
ред на Тейлър или на Маклорен

трябва да намерим
производните на функцията,

а това тук става с много мъки.

f'(х) ще бъде, да видим,
производна от нещо на степен,

функцията е х^3 cos(х^2)

плюс х^3

по производната на това,

което става 2х по –sin(х)

– sin(x^2).

Още това е доста трудно.

И ще става още по-трудно

с втората, третата
и четвъртата производна.

Може да ни трябват и още,

защото някои от тези членове
може да са нули.

Ще ни трябват първите
пет члена, различни от нула.

Втората производна
ще е много трудна.

Това ще е мъчително.

А после и третата,
и четвъртата производна

ще са даже още по-мъчителни.

Какво да направим?

Можеш да направиш следното –

да ги сметнем за нула,

а после да ги използваме
за коефициенти,

но вероятно правилно
се досещаш,

че има и по-лесен начин.

Ще ти дам подсказка.

Знаем реда на Маклорен
за косинус от х.

Правихме го в предишното видео.

Ако искаш да го видиш пак,
има и друго видео.

Потърси "Ред на Тейлър за косинус
от нула" в Кан Академия,

и ще го намериш.

Но вече знаем от там,

и това е един най-известните
редове на Маклорен.

Знаем, че това е g(х).

g(х) е равно на cos(х).

Знаем какво представлява това.

Има приближение на това
с ред на Маклорен,

което е 1 – х^2/2!

+ х^4/4!

–х^6/6!

плюс... и можем да продължим така
до безкрайност.

Виждаш накъде отиваме.

+ х^8/8! и продължава
по този начин.

Минус, плюс, до безкрай.

Но на нас ни трябват първите пет
члена, така че това е начало.

Знам, че ни трябват
първите пет члена от това,

но следи мисълта ми.

Сега ще видим как
можем да използваме това тук.

След като ти припомних

представянето на cos(х) с
ред на Маклорен,

ще ти подскажа следното: дали
можем да използваме това,

за да представим този израз
с ред на Маклорен?

Спомни си, че това тук
е х^3 по...

Ще ти го прочета отново,

това е x^3 по g(х^2).

Това е голяма подсказка.

Насърчавам те да спреш
видеото отново

и да опиташ самостоятелно.

Ще го преработя.

Предполагам, че опита.

Ще преработя това,
което току-що написах.

Току-що ти казах, че g(х)...

или f(х)...

ако искам да го напиша като,

да го представя като функция,

или ако искам да
я конструирам, като използвам g(х),

мога да препиша това
като х^3 по...

вместо cos(х^2),

това ще бъде g(х^2).

Значи х^3 по g(х^2).

g(х) е просто косинус
от х на квадрат.

След това го умножаваме
по х^3.

Можем ли да използваме
това за апроксимацията?

Може да зададеш
този въпрос.

А аз ще ти отговоря: "Да,
можем, абсолютно."

Обърни внимание, че когато
заместваш х с x^2,

просто получаваш друг
полином.

Умножаваш по х^3,

и просто получаваш друг
полином.

Това всъщност ще е представяне
като ред на Маклорен

на това, с което започнахме.

Всъщност ще получим
представяне като ред на Маклорен

на това нещо тук.

Можем да кажем, че f(х)
е приблизително равно на

x^3 по...

Ще си оставя малко
място ето тук.

g(х^2).

Това тук е апроксимация
на g(х),

и можем да продължим
така до безкрайност,

това е представяне
на g(х).

Навсякъде, където
видим х,

можем да заместим с х^2.

Тук ще стане 1 минус...

х^2 на квадрат е x^4
върху 2!

който е равен просто на 2,
но искам да виждаме факториела,

за да се вижда
закономерността.

Плюс, ако сега нашето х
е равно на x^2,

х^2 на четвърта степен
е равно на x^8 върху 4!

минус х^2 на шеста степен,

което е x^12 върху 6!,

и после плюс (x^2)^8,

което става х^16 върху 8!,

и можем да продължим
до безкрайност по този начин,

минус, плюс. Но нас ни
интересуват само първите 5 члена,

които не са нула, и току-що
казах, че

това е апроксимация.

Така че можем да кажем,
че това ще бъде,

приблизително е равно на,

ще умножим по х^3,

ще го направя с цикламено,
просто за разнообразие,

значи умножаваме по х^3,

получаваме х^3
минус х^7 върху 2!

плюс х^11 върху 4!,

минус х^15 върху 6!

плюс х^19 върху 8!

Това са първите пет
члена, различни от нула,

и сме готови.

Като виждаш какво получихме,
ти става ясно,

че би ти отнело цяла вечност,
за да стигнеш до него

директно, с "груба сила",
ако мога да кажа така,

защото трябваше
да стигнеш до 19-а производна

на това тук.

Но когато осъзнаеш това,
сигурно ще се зачудиш

дали можеш да преработиш
тази функция

и да я представиш като

х на някаква степен
по нещо, за което

по-специално знаем, че
е ред на Маклорен,

Можеш да си го
представиш така:

Е, ако избереш да вървиш по този път...

Ще го кажа по по-малко
объркващ начин.

Ако преработим нашата
функция,

така че да е равна на...

Даже тук мога да сложа
един коефициент.

Ако е равна на някакво А
по х^n,

умножено по някаква функция...

Ще използвам нов цвят,
цикламено...

по g от b по х на
някаква друга степен,

за която мога много лесно,
без много пресмятания,

може би вече ни е известно,

да намеря ред на Маклорен, или може би той вече
ни е известен, на g(х),

ако знаем какво ще бъде g(х),

тогава ще направя точно това,
което направих в това видео.

Намираме представянето на
g като ред на Маклорен,

на всяко място, където има х,

заместваме с това ето тук,

bx^m, като m е
степенният показател.

Така ще получим друг полином,

друг степенен ред,

а после умножаваме по ax^n,

и това, отново, дава
друг степенен ред,

и това е степенният ред
за началната ни функция.

Много вълнуващо.