0:00:00.420,0:00:06.140
Да видим дали можем да[br]представим като ред на Маклорен

0:00:06.140,0:00:12.800
функцията f(х) = х^3 по cos(х^2).

0:00:12.800,0:00:14.980
Насърчавам те да спреш видеото [br]и да опиташ самостоятелно.

0:00:15.000,0:00:19.860
Спомни си, ред на Маклорен е просто [br]ред на Тейлър, центриран около нула.

0:00:19.940,0:00:23.940
Да кажем, че целта ни е да намерим[br]първите пет члена, различни от 0,

0:00:24.333,0:00:26.635
от представянето като[br]ред на Маклорен

0:00:26.640,0:00:29.840
или на апроксимацията[br]с ред на Маклорен.

0:00:29.960,0:00:33.540
Предполагам, че спря видеото[br]и се опита да го решиш.

0:00:33.600,0:00:36.820
Много е вероятно това да те е [br]вбесило, докато го правиш,

0:00:36.840,0:00:39.700
защото за да намерим[br]ред на Тейлър или на Маклорен

0:00:39.933,0:00:42.367
трябва да намерим [br]производните на функцията,

0:00:42.367,0:00:45.080
а това тук става с много мъки.

0:00:45.140,0:00:48.520
f'(х) ще бъде, да видим,[br]производна от нещо на степен,

0:00:48.640,0:00:52.800
функцията е х^3 cos(х^2)

0:00:53.335,0:00:55.366
плюс х^3

0:00:56.000,0:00:57.833
по производната на това,

0:00:57.838,0:01:02.266
което става 2х по –sin(х)

0:01:02.533,0:01:05.200
– sin(x^2).

0:01:05.300,0:01:06.566
Още това е доста трудно.

0:01:06.566,0:01:07.938
И ще става още по-трудно

0:01:07.938,0:01:10.559
с втората, третата[br]и четвъртата производна.

0:01:10.559,0:01:11.500
Може да ни трябват и още,

0:01:11.500,0:01:13.766
защото някои от тези членове[br]може да са нули.

0:01:14.233,0:01:16.066
Ще ни трябват първите[br]пет члена, различни от нула.

0:01:16.066,0:01:19.466
Втората производна[br]ще е много трудна.

0:01:20.334,0:01:22.003
Това ще е мъчително.

0:01:22.003,0:01:23.400
А после и третата,[br]и четвъртата производна

0:01:23.400,0:01:25.720
ще са даже още по-мъчителни.

0:01:25.900,0:01:26.860
Какво да направим?

0:01:26.867,0:01:27.833
Можеш да направиш следното –

0:01:27.833,0:01:29.334
да ги сметнем за нула,

0:01:29.334,0:01:31.900
а после да ги използваме[br]за коефициенти,

0:01:31.900,0:01:33.935
но вероятно правилно[br]се досещаш,

0:01:34.080,0:01:37.040
че има и по-лесен начин.

0:01:37.160,0:01:39.640
Ще ти дам подсказка.

0:01:39.640,0:01:45.600
Знаем реда на Маклорен[br]за косинус от х.

0:01:45.860,0:01:47.880
Правихме го в предишното видео.

0:01:47.880,0:01:50.260
Ако искаш да го видиш пак,[br]има и друго видео.

0:01:50.266,0:01:53.733
Потърси "Ред на Тейлър за косинус [br]от нула" в Кан Академия,

0:01:53.733,0:01:54.966
и ще го намериш.

0:01:54.966,0:01:55.966
Но вече знаем от там,

0:01:55.966,0:01:59.566
и това е един най-известните[br]редове на Маклорен.

0:01:59.566,0:02:01.866
Знаем, че това е g(х).

0:02:01.866,0:02:07.420
g(х) е равно на cos(х).

0:02:07.560,0:02:09.800
Знаем какво представлява това.

0:02:10.650,0:02:13.301
Има приближение на това[br]с ред на Маклорен,

0:02:13.301,0:02:18.680
което е 1 – х^2/2!

0:02:18.800,0:02:23.400
+ х^4/4!

0:02:24.166,0:02:28.566
–х^6/6!

0:02:28.933,0:02:30.900
плюс... и можем да продължим така[br]до безкрайност.

0:02:30.900,0:02:32.200
Виждаш накъде отиваме.

0:02:32.200,0:02:37.500
+ х^8/8! и продължава[br]по този начин.

0:02:37.640,0:02:39.620
Минус, плюс, до безкрай.

0:02:40.033,0:02:42.967
Но на нас ни трябват първите пет [br]члена, така че това е начало.

0:02:42.967,0:02:45.044
Знам, че ни трябват[br]първите пет члена от това,

0:02:45.044,0:02:45.733
но следи мисълта ми.

0:02:45.740,0:02:48.400
Сега ще видим как[br]можем да използваме това тук.

0:02:48.500,0:02:50.433
След като ти припомних

0:02:50.433,0:02:53.633
представянето на cos(х) с[br]ред на Маклорен,

0:02:54.101,0:02:56.666
ще ти подскажа следното: дали[br]можем да използваме това,

0:02:57.260,0:03:02.260
за да представим този израз[br]с ред на Маклорен?

0:03:02.440,0:03:06.405
Спомни си, че това тук[br]е х^3 по...

0:03:06.405,0:03:07.933
Ще ти го прочета отново,

0:03:07.933,0:03:12.400
това е x^3 по g(х^2).

0:03:13.219,0:03:15.833
Това е голяма подсказка.

0:03:16.366,0:03:17.733
Насърчавам те да спреш [br]видеото отново

0:03:17.733,0:03:19.633
и да опиташ самостоятелно.

0:03:21.100,0:03:22.266
Ще го преработя.

0:03:22.266,0:03:23.833
Предполагам, че опита.

0:03:23.833,0:03:25.568
Ще преработя това,[br]което току-що написах.

0:03:25.568,0:03:28.800
Току-що ти казах, че g(х)...

0:03:29.300,0:03:33.100
или f(х)...

0:03:33.100,0:03:35.780
ако искам да го напиша като,

0:03:35.920,0:03:37.640
да го представя като функция,

0:03:37.656,0:03:40.533
или ако искам да[br]я конструирам, като използвам g(х),

0:03:40.533,0:03:44.159
мога да препиша това[br]като х^3 по...

0:03:44.159,0:03:45.367
вместо cos(х^2),

0:03:45.367,0:03:47.300
това ще бъде g(х^2).

0:03:47.360,0:03:58.620
Значи х^3 по g(х^2).

0:03:58.860,0:04:02.280
g(х) е просто косинус[br]от х на квадрат.

0:04:02.460,0:04:05.440
След това го умножаваме[br]по х^3.

0:04:05.540,0:04:09.900
Можем ли да използваме[br]това за апроксимацията?

0:04:10.502,0:04:11.866
Може да зададеш [br]този въпрос.

0:04:11.933,0:04:14.900
А аз ще ти отговоря: "Да, [br]можем, абсолютно."

0:04:15.300,0:04:18.566
Обърни внимание, че когато[br]заместваш х с x^2,

0:04:18.566,0:04:20.066
просто получаваш друг[br]полином.

0:04:20.066,0:04:22.000
Умножаваш по х^3,

0:04:22.000,0:04:23.634
и просто получаваш друг[br]полином.

0:04:23.634,0:04:27.766
Това всъщност ще е представяне[br]като ред на Маклорен

0:04:27.766,0:04:29.734
на това, с което започнахме.

0:04:29.734,0:04:32.233
Всъщност ще получим[br]представяне като ред на Маклорен

0:04:32.233,0:04:34.333
на това нещо тук.

0:04:34.340,0:04:40.240
Можем да кажем, че f(х)[br]е приблизително равно на

0:04:40.440,0:04:44.520
x^3 по...

0:04:44.700,0:04:46.660
Ще си оставя малко[br]място ето тук.

0:04:47.304,0:04:49.500
g(х^2).

0:04:49.804,0:04:52.400
Това тук е апроксимация[br]на g(х),

0:04:52.400,0:04:53.873
и можем да продължим[br]така до безкрайност,

0:04:53.873,0:04:57.000
това е представяне[br]на g(х).

0:04:57.233,0:04:59.003
Навсякъде, където[br]видим х,

0:04:59.003,0:05:00.433
можем да заместим с х^2.

0:05:00.533,0:05:02.967
Тук ще стане 1 минус...

0:05:03.400,0:05:07.920
х^2 на квадрат е x^4[br]върху 2!

0:05:08.140,0:05:10.740
който е равен просто на 2,[br]но искам да виждаме факториела,

0:05:10.860,0:05:12.240
за да се вижда [br]закономерността.

0:05:12.400,0:05:15.433
Плюс, ако сега нашето х[br]е равно на x^2,

0:05:15.440,0:05:23.120
х^2 на четвърта степен[br]е равно на x^8 върху 4!

0:05:23.240,0:05:26.800
минус х^2 на шеста степен,

0:05:26.800,0:05:31.533
което е x^12 върху 6!,

0:05:32.167,0:05:34.933
и после плюс (x^2)^8,

0:05:34.933,0:05:38.268
което става х^16 върху 8!,

0:05:38.667,0:05:41.004
и можем да продължим[br]до безкрайност по този начин,

0:05:41.007,0:05:43.433
минус, плюс. Но нас ни[br]интересуват само първите 5 члена,

0:05:43.433,0:05:45.133
които не са нула, и току-що[br]казах, че

0:05:45.133,0:05:47.139
това е апроксимация.

0:05:47.139,0:05:49.333
Така че можем да кажем,[br]че това ще бъде,

0:05:49.333,0:05:50.535
приблизително е равно на,

0:05:50.535,0:05:52.000
ще умножим по х^3,

0:05:52.000,0:05:54.200
ще го направя с цикламено,[br]просто за разнообразие,

0:05:54.200,0:05:56.640
значи умножаваме по х^3,

0:05:56.700,0:06:03.440
получаваме х^3 [br]минус х^7 върху 2!

0:06:04.166,0:06:09.166
плюс х^11 върху 4!,

0:06:10.001,0:06:14.733
минус х^15 върху 6!

0:06:15.400,0:06:23.240
плюс х^19 върху 8!

0:06:23.440,0:06:25.133
Това са първите пет[br]члена, различни от нула,

0:06:25.133,0:06:26.633
и сме готови.

0:06:26.640,0:06:29.100
Като виждаш какво получихме,[br]ти става ясно,

0:06:29.100,0:06:32.220
че би ти отнело цяла вечност,[br]за да стигнеш до него

0:06:32.233,0:06:35.467
директно, с "груба сила", [br]ако мога да кажа така,

0:06:35.467,0:06:38.833
защото трябваше[br]да стигнеш до 19-а производна

0:06:38.833,0:06:40.169
на това тук.

0:06:40.169,0:06:41.533
Но когато осъзнаеш това,[br]сигурно ще се зачудиш

0:06:41.533,0:06:43.733
дали можеш да преработиш[br]тази функция

0:06:43.740,0:06:47.460
и да я представиш като

0:06:47.480,0:06:51.480
х на някаква степен[br]по нещо, за което

0:06:51.480,0:06:53.740
по-специално знаем, че[br]е ред на Маклорен,

0:06:53.840,0:06:55.067
Можеш да си го[br]представиш така:

0:06:55.067,0:06:58.000
Е, ако избереш да вървиш по този път...

0:06:58.000,0:06:59.800
Ще го кажа по по-малко[br]объркващ начин.

0:07:00.333,0:07:02.267
Ако преработим нашата[br]функция,

0:07:02.267,0:07:04.967
така че да е равна на...

0:07:04.967,0:07:06.400
Даже тук мога да сложа[br]един коефициент.

0:07:06.400,0:07:10.266
Ако е равна на някакво А[br]по х^n,

0:07:10.673,0:07:12.800
умножено по някаква функция...

0:07:13.160,0:07:16.560
Ще използвам нов цвят,[br]цикламено...

0:07:16.560,0:07:25.740
по g от b по х на[br]някаква друга степен,

0:07:26.040,0:07:29.540
за която мога много лесно,[br]без много пресмятания,

0:07:29.660,0:07:30.800
може би вече ни е известно,

0:07:30.804,0:07:34.534
да намеря ред на Маклорен, или може би той вече [br]ни е известен, на g(х),

0:07:34.867,0:07:36.600
ако знаем какво ще бъде g(х),

0:07:36.600,0:07:38.800
тогава ще направя точно това,[br]което направих в това видео.

0:07:38.800,0:07:41.233
Намираме представянето на[br]g като ред на Маклорен,

0:07:41.233,0:07:42.266
на всяко място, където има х,

0:07:42.266,0:07:44.366
заместваме с това ето тук,

0:07:44.366,0:07:47.633
bx^m, като m е [br]степенният показател.

0:07:47.933,0:07:49.567
Така ще получим друг полином,

0:07:49.567,0:07:50.833
друг степенен ред,

0:07:50.833,0:07:52.900
а после умножаваме по ax^n,

0:07:52.900,0:07:54.620
и това, отново, дава[br]друг степенен ред,

0:07:54.740,0:07:57.700
и това е степенният ред[br]за началната ни функция.

0:07:58.133,0:07:59.333
Много вълнуващо.