1
00:00:00,420 --> 00:00:06,140
Да видим дали можем да
представим като ред на Маклорен

2
00:00:06,140 --> 00:00:12,800
функцията f(х) = х^3 по cos(х^2).

3
00:00:12,800 --> 00:00:14,980
Насърчавам те да спреш видеото 
и да опиташ самостоятелно.

4
00:00:15,000 --> 00:00:19,860
Спомни си, ред на Маклорен е просто 
ред на Тейлър, центриран около нула.

5
00:00:19,940 --> 00:00:23,940
Да кажем, че целта ни е да намерим
първите пет члена, различни от 0,

6
00:00:24,333 --> 00:00:26,635
от представянето като
ред на Маклорен

7
00:00:26,640 --> 00:00:29,840
или на апроксимацията
с ред на Маклорен.

8
00:00:29,960 --> 00:00:33,540
Предполагам, че спря видеото
и се опита да го решиш.

9
00:00:33,600 --> 00:00:36,820
Много е вероятно това да те е 
вбесило, докато го правиш,

10
00:00:36,840 --> 00:00:39,700
защото за да намерим
ред на Тейлър или на Маклорен

11
00:00:39,933 --> 00:00:42,367
трябва да намерим 
производните на функцията,

12
00:00:42,367 --> 00:00:45,080
а това тук става с много мъки.

13
00:00:45,140 --> 00:00:48,520
f'(х) ще бъде, да видим,
производна от нещо на степен,

14
00:00:48,640 --> 00:00:52,800
функцията е х^3 cos(х^2)

15
00:00:53,335 --> 00:00:55,366
плюс х^3

16
00:00:56,000 --> 00:00:57,833
по производната на това,

17
00:00:57,838 --> 00:01:02,266
което става 2х по –sin(х)

18
00:01:02,533 --> 00:01:05,200
– sin(x^2).

19
00:01:05,300 --> 00:01:06,566
Още това е доста трудно.

20
00:01:06,566 --> 00:01:07,938
И ще става още по-трудно

21
00:01:07,938 --> 00:01:10,559
с втората, третата
и четвъртата производна.

22
00:01:10,559 --> 00:01:11,500
Може да ни трябват и още,

23
00:01:11,500 --> 00:01:13,766
защото някои от тези членове
може да са нули.

24
00:01:14,233 --> 00:01:16,066
Ще ни трябват първите
пет члена, различни от нула.

25
00:01:16,066 --> 00:01:19,466
Втората производна
ще е много трудна.

26
00:01:20,334 --> 00:01:22,003
Това ще е мъчително.

27
00:01:22,003 --> 00:01:23,400
А после и третата,
и четвъртата производна

28
00:01:23,400 --> 00:01:25,720
ще са даже още по-мъчителни.

29
00:01:25,900 --> 00:01:26,860
Какво да направим?

30
00:01:26,867 --> 00:01:27,833
Можеш да направиш следното –

31
00:01:27,833 --> 00:01:29,334
да ги сметнем за нула,

32
00:01:29,334 --> 00:01:31,900
а после да ги използваме
за коефициенти,

33
00:01:31,900 --> 00:01:33,935
но вероятно правилно
се досещаш,

34
00:01:34,080 --> 00:01:37,040
че има и по-лесен начин.

35
00:01:37,160 --> 00:01:39,640
Ще ти дам подсказка.

36
00:01:39,640 --> 00:01:45,600
Знаем реда на Маклорен
за косинус от х.

37
00:01:45,860 --> 00:01:47,880
Правихме го в предишното видео.

38
00:01:47,880 --> 00:01:50,260
Ако искаш да го видиш пак,
има и друго видео.

39
00:01:50,266 --> 00:01:53,733
Потърси "Ред на Тейлър за косинус 
от нула" в Кан Академия,

40
00:01:53,733 --> 00:01:54,966
и ще го намериш.

41
00:01:54,966 --> 00:01:55,966
Но вече знаем от там,

42
00:01:55,966 --> 00:01:59,566
и това е един най-известните
редове на Маклорен.

43
00:01:59,566 --> 00:02:01,866
Знаем, че това е g(х).

44
00:02:01,866 --> 00:02:07,420
g(х) е равно на cos(х).

45
00:02:07,560 --> 00:02:09,800
Знаем какво представлява това.

46
00:02:10,650 --> 00:02:13,301
Има приближение на това
с ред на Маклорен,

47
00:02:13,301 --> 00:02:18,680
което е 1 – х^2/2!

48
00:02:18,800 --> 00:02:23,400
+ х^4/4!

49
00:02:24,166 --> 00:02:28,566
–х^6/6!

50
00:02:28,933 --> 00:02:30,900
плюс... и можем да продължим така
до безкрайност.

51
00:02:30,900 --> 00:02:32,200
Виждаш накъде отиваме.

52
00:02:32,200 --> 00:02:37,500
+ х^8/8! и продължава
по този начин.

53
00:02:37,640 --> 00:02:39,620
Минус, плюс, до безкрай.

54
00:02:40,033 --> 00:02:42,967
Но на нас ни трябват първите пет 
члена, така че това е начало.

55
00:02:42,967 --> 00:02:45,044
Знам, че ни трябват
първите пет члена от това,

56
00:02:45,044 --> 00:02:45,733
но следи мисълта ми.

57
00:02:45,740 --> 00:02:48,400
Сега ще видим как
можем да използваме това тук.

58
00:02:48,500 --> 00:02:50,433
След като ти припомних

59
00:02:50,433 --> 00:02:53,633
представянето на cos(х) с
ред на Маклорен,

60
00:02:54,101 --> 00:02:56,666
ще ти подскажа следното: дали
можем да използваме това,

61
00:02:57,260 --> 00:03:02,260
за да представим този израз
с ред на Маклорен?

62
00:03:02,440 --> 00:03:06,405
Спомни си, че това тук
е х^3 по...

63
00:03:06,405 --> 00:03:07,933
Ще ти го прочета отново,

64
00:03:07,933 --> 00:03:12,400
това е x^3 по g(х^2).

65
00:03:13,219 --> 00:03:15,833
Това е голяма подсказка.

66
00:03:16,366 --> 00:03:17,733
Насърчавам те да спреш 
видеото отново

67
00:03:17,733 --> 00:03:19,633
и да опиташ самостоятелно.

68
00:03:21,100 --> 00:03:22,266
Ще го преработя.

69
00:03:22,266 --> 00:03:23,833
Предполагам, че опита.

70
00:03:23,833 --> 00:03:25,568
Ще преработя това,
което току-що написах.

71
00:03:25,568 --> 00:03:28,800
Току-що ти казах, че g(х)...

72
00:03:29,300 --> 00:03:33,100
или f(х)...

73
00:03:33,100 --> 00:03:35,780
ако искам да го напиша като,

74
00:03:35,920 --> 00:03:37,640
да го представя като функция,

75
00:03:37,656 --> 00:03:40,533
или ако искам да
я конструирам, като използвам g(х),

76
00:03:40,533 --> 00:03:44,159
мога да препиша това
като х^3 по...

77
00:03:44,159 --> 00:03:45,367
вместо cos(х^2),

78
00:03:45,367 --> 00:03:47,300
това ще бъде g(х^2).

79
00:03:47,360 --> 00:03:58,620
Значи х^3 по g(х^2).

80
00:03:58,860 --> 00:04:02,280
g(х) е просто косинус
от х на квадрат.

81
00:04:02,460 --> 00:04:05,440
След това го умножаваме
по х^3.

82
00:04:05,540 --> 00:04:09,900
Можем ли да използваме
това за апроксимацията?

83
00:04:10,502 --> 00:04:11,866
Може да зададеш 
този въпрос.

84
00:04:11,933 --> 00:04:14,900
А аз ще ти отговоря: "Да, 
можем, абсолютно."

85
00:04:15,300 --> 00:04:18,566
Обърни внимание, че когато
заместваш х с x^2,

86
00:04:18,566 --> 00:04:20,066
просто получаваш друг
полином.

87
00:04:20,066 --> 00:04:22,000
Умножаваш по х^3,

88
00:04:22,000 --> 00:04:23,634
и просто получаваш друг
полином.

89
00:04:23,634 --> 00:04:27,766
Това всъщност ще е представяне
като ред на Маклорен

90
00:04:27,766 --> 00:04:29,734
на това, с което започнахме.

91
00:04:29,734 --> 00:04:32,233
Всъщност ще получим
представяне като ред на Маклорен

92
00:04:32,233 --> 00:04:34,333
на това нещо тук.

93
00:04:34,340 --> 00:04:40,240
Можем да кажем, че f(х)
е приблизително равно на

94
00:04:40,440 --> 00:04:44,520
x^3 по...

95
00:04:44,700 --> 00:04:46,660
Ще си оставя малко
място ето тук.

96
00:04:47,304 --> 00:04:49,500
g(х^2).

97
00:04:49,804 --> 00:04:52,400
Това тук е апроксимация
на g(х),

98
00:04:52,400 --> 00:04:53,873
и можем да продължим
така до безкрайност,

99
00:04:53,873 --> 00:04:57,000
това е представяне
на g(х).

100
00:04:57,233 --> 00:04:59,003
Навсякъде, където
видим х,

101
00:04:59,003 --> 00:05:00,433
можем да заместим с х^2.

102
00:05:00,533 --> 00:05:02,967
Тук ще стане 1 минус...

103
00:05:03,400 --> 00:05:07,920
х^2 на квадрат е x^4
върху 2!

104
00:05:08,140 --> 00:05:10,740
който е равен просто на 2,
но искам да виждаме факториела,

105
00:05:10,860 --> 00:05:12,240
за да се вижда 
закономерността.

106
00:05:12,400 --> 00:05:15,433
Плюс, ако сега нашето х
е равно на x^2,

107
00:05:15,440 --> 00:05:23,120
х^2 на четвърта степен
е равно на x^8 върху 4!

108
00:05:23,240 --> 00:05:26,800
минус х^2 на шеста степен,

109
00:05:26,800 --> 00:05:31,533
което е x^12 върху 6!,

110
00:05:32,167 --> 00:05:34,933
и после плюс (x^2)^8,

111
00:05:34,933 --> 00:05:38,268
което става х^16 върху 8!,

112
00:05:38,667 --> 00:05:41,004
и можем да продължим
до безкрайност по този начин,

113
00:05:41,007 --> 00:05:43,433
минус, плюс. Но нас ни
интересуват само първите 5 члена,

114
00:05:43,433 --> 00:05:45,133
които не са нула, и току-що
казах, че

115
00:05:45,133 --> 00:05:47,139
това е апроксимация.

116
00:05:47,139 --> 00:05:49,333
Така че можем да кажем,
че това ще бъде,

117
00:05:49,333 --> 00:05:50,535
приблизително е равно на,

118
00:05:50,535 --> 00:05:52,000
ще умножим по х^3,

119
00:05:52,000 --> 00:05:54,200
ще го направя с цикламено,
просто за разнообразие,

120
00:05:54,200 --> 00:05:56,640
значи умножаваме по х^3,

121
00:05:56,700 --> 00:06:03,440
получаваме х^3 
минус х^7 върху 2!

122
00:06:04,166 --> 00:06:09,166
плюс х^11 върху 4!,

123
00:06:10,001 --> 00:06:14,733
минус х^15 върху 6!

124
00:06:15,400 --> 00:06:23,240
плюс х^19 върху 8!

125
00:06:23,440 --> 00:06:25,133
Това са първите пет
члена, различни от нула,

126
00:06:25,133 --> 00:06:26,633
и сме готови.

127
00:06:26,640 --> 00:06:29,100
Като виждаш какво получихме,
ти става ясно,

128
00:06:29,100 --> 00:06:32,220
че би ти отнело цяла вечност,
за да стигнеш до него

129
00:06:32,233 --> 00:06:35,467
директно, с "груба сила", 
ако мога да кажа така,

130
00:06:35,467 --> 00:06:38,833
защото трябваше
да стигнеш до 19-а производна

131
00:06:38,833 --> 00:06:40,169
на това тук.

132
00:06:40,169 --> 00:06:41,533
Но когато осъзнаеш това,
сигурно ще се зачудиш

133
00:06:41,533 --> 00:06:43,733
дали можеш да преработиш
тази функция

134
00:06:43,740 --> 00:06:47,460
и да я представиш като

135
00:06:47,480 --> 00:06:51,480
х на някаква степен
по нещо, за което

136
00:06:51,480 --> 00:06:53,740
по-специално знаем, че
е ред на Маклорен,

137
00:06:53,840 --> 00:06:55,067
Можеш да си го
представиш така:

138
00:06:55,067 --> 00:06:58,000
Е, ако избереш да вървиш по този път...

139
00:06:58,000 --> 00:06:59,800
Ще го кажа по по-малко
объркващ начин.

140
00:07:00,333 --> 00:07:02,267
Ако преработим нашата
функция,

141
00:07:02,267 --> 00:07:04,967
така че да е равна на...

142
00:07:04,967 --> 00:07:06,400
Даже тук мога да сложа
един коефициент.

143
00:07:06,400 --> 00:07:10,266
Ако е равна на някакво А
по х^n,

144
00:07:10,673 --> 00:07:12,800
умножено по някаква функция...

145
00:07:13,160 --> 00:07:16,560
Ще използвам нов цвят,
цикламено...

146
00:07:16,560 --> 00:07:25,740
по g от b по х на
някаква друга степен,

147
00:07:26,040 --> 00:07:29,540
за която мога много лесно,
без много пресмятания,

148
00:07:29,660 --> 00:07:30,800
може би вече ни е известно,

149
00:07:30,804 --> 00:07:34,534
да намеря ред на Маклорен, или може би той вече 
ни е известен, на g(х),

150
00:07:34,867 --> 00:07:36,600
ако знаем какво ще бъде g(х),

151
00:07:36,600 --> 00:07:38,800
тогава ще направя точно това,
което направих в това видео.

152
00:07:38,800 --> 00:07:41,233
Намираме представянето на
g като ред на Маклорен,

153
00:07:41,233 --> 00:07:42,266
на всяко място, където има х,

154
00:07:42,266 --> 00:07:44,366
заместваме с това ето тук,

155
00:07:44,366 --> 00:07:47,633
bx^m, като m е 
степенният показател.

156
00:07:47,933 --> 00:07:49,567
Така ще получим друг полином,

157
00:07:49,567 --> 00:07:50,833
друг степенен ред,

158
00:07:50,833 --> 00:07:52,900
а после умножаваме по ax^n,

159
00:07:52,900 --> 00:07:54,620
и това, отново, дава
друг степенен ред,

160
00:07:54,740 --> 00:07:57,700
и това е степенният ред
за началната ни функция.

161
00:07:58,133 --> 00:07:59,333
Много вълнуващо.