-
Hajde da naučimo matrice. Dakle šta su, šta to meni znači kad kažem matrice?
-
Pa prvo, "Matrice" je množina od reči "Matrica".
-
To je verovatno reč koja vam je poznatija zbog Holivuda nego
zbog matematike.
-
Dakle, šta je matrica? Pa to je zapravo
vrlo jednostavna zamisao.
-
To je samo tabela brojeva i to je sve.
-
Nacrtaću vam jednu matricu.
-
Ne volim ovu plavu boju zubne paste,
dozvolite da izaberem drugu boju.
-
Ovo je primer matrice. Ako bih rekao...
neznam, izabraću neke nasumične brojeve...
-
Pet, jedan, dva, tri, nula, minus pet.
Ovo je matrica.
-
To je sve što matrica pretstavlja, tablicu brojeva i
često kada želite promenljivu za matricu
-
koristite veliko slovo. Pa možete koristiti veliko 'A'.
-
U nekim knjigama ih pretstavljaju zadebljanim slovima.
Znači zadebljano 'A' moglo bi pretstavljati matricu.
-
I još nešto o oznakama. Ovako bi označili matricu.
Ili bi je označili
-
ovako, čisto prema usvojenim pravilima, ovo bi
nazvali dva sa tri matricom.
-
I ponekad bi zapravo pisalo 2 sa 3 ispod podebljane
oznake koja pretstavlja matricu.
-
Šta pretstavlja dva? A šta tri?
-
Dva je broj redova. Imamo ovde jedan, dva reda.
Ovo je red i ovo je red.
-
Imamo tri kolone: jedan, dva, tri.
-
Dakle zato se zove 2 sa tri matrica.
-
Kada bismo rekli, kada bih rekao da je B...
zadebljaću ga dodatno.
-
Ako je B pet sa dva matrica, znači da bi B trebala imati... napraviću jednu.
-
Samo da unesem brojeve, nula, minus pet, deset.
-
Dakle ima pet redova i dve kolone.
-
Imaćemo još jednu kolonu ovde. Da vidimo,
minus deset, tri
-
Samo unosim nasumične brojeve ovde. Sedam, dva, pi.
-
Ovo je matrica pet sa dva.
-
Dakle mislim da sada imate način pretstavljanja koji
govori da je matrica samo
-
tablica brojeva. Možete je prikazati kada je koristite
u formi promenljive
-
podebljanim velikim slovom.
Ponekad bi ste upisali dva sa tri ovde.
-
Na taj način vi zapravo ukazujete na pojam matrice.
-
U ovom primeru, na vrhu gde imamo matricu A
-
Šta ako bi neko želeo da ukaže na, recimo ovaj i ovaj
element matrice?
-
Dakle šta je to? U drugom je redu. U redu dva.
-
Udrugoj koloni. Zar ne?
-
Ovo je kolona jedan, ovo je kolona dva.
Red jedan, red dva.
-
Znači u drugom redu, druga kolona.
-
Ponekad će ljudi zapisati ono A, a zatim će zapisati
-
dva zarez dva je jednako nula.
-
Ili će možda pisati malim slovom 'a',
-
dva zarez dva jednako nula.
-
Šta je 'A'? Ovo je opet ista stvar.
-
Radim ovo samo da bih vas upoznao sa označavanjem
-
jer je dosta toga samo u oznakama.
-
Šta je onda 'a' jedan zarez tri?
-
To znači da smo u prvom redu i trećoj koloni.
-
Prvi red, jedan dva, tri. To je ova vrednost ovde.
-
Znači taj element ima vrednost dva.
-
Ovo je dakle sve što pretstavlja označavanje matrice,
-
to je tabela brojeva, može biti pretstavljena i ovako
-
Možemo pretstaviti njene različite elemente
na ovaj način.
-
Možda se pitate
-
"Sal sve je to u redu, tablica brojeva sa fensi
-
rečima i fensi oznakama. Ali čemu to sve služi?"
-
E u tome je stvar interesantna.
-
Matrica je samo prikaz podataka. Samo način
zapisa podataka.
-
To je sve. Tablica brojeva.
-
Ali može se koristiti za prikaz celog skupa fenomena.
-
I ako ovo radite iz Algebre 1 ili predmeta Algebra 2
-
verovatno ovo koristite za prikaz linearnih jednačina.
-
Ali naučićemo kasnije, a uradiću ceo komplet
videa
-
na temu primene matrica za hrpu različitih stvari.
-
Ali moguće je pretstaviti, veoma moćno ako se
bavite
-
računarskom grafikom, pomuću matrica... Elementi
mogu pretstavljati piksele vaših ekrana,
-
mogu pretstavljati tačke u koordinatnom sistemu,
-
mogu pretstavljati... Ko to zna!
-
Postoji izobilje stvari koje mogu pretstaviti.
-
Ali bitna stvar je shvatiti da matrica
-
nije prirodni fenomen.
-
Nije kao gomila matematičkih koncepata
koje smo gledali.
-
To je način za prikaz matematičkog koncepta.
-
Ili način za pretstavljanje vrednosti.
Ali potrebno je da
-
definišete šta pretstavlja.
-
Ali hajde da ostavimo sa strane na momenat
-
pojam šta ona stvarno pretstavlja.
-
I, hmm moja žena je ovde. Treba joj naš ormarić za fajlove.
-
Kako god, vratimo se poslu.
-
Stavili smo sa strane ono što matrica
-
zapravo pretstavlja. Hajde da naučimo sporazum.
-
Jer mislim, bar u početku to zna da bude
-
najteži deo. Kako da sabirate matrice?
-
Kako da množite matrice? Kako dobijate inverznu matricu?
-
Kako da nađete determinantu matrice?
-
Znam da sve ove reči mogu zvučati nepoznato.
Osim
-
ako se već niste njima zbunjivali na
časovima algebre.
-
Dakle ja ću vas sad naučiti svim tim stvarima.
-
To su sve zapravo sporazumi koje su ljudi utvrdili.
-
Nakon toga, kasnije napraviću gomilu videa
o intuiciji koja stoji iza njih,
-
i šta ti sporazumi pretstavljaju.
Hajde da počnemo.
-
Recimo da želimo da saberemo ove dve matrice.
-
Recimo prva, da promenim boje. Recimo,
-
napraviću relativno male čisto da ne trošim prostor.
-
Imate matricu: tri, minus jedan, nemam pojma,
-
dva, nula. Neznam, nayovimo je A, velikim slovom.
-
I imamo matricu B, opet lupam brojeve.
-
Matrica B jednaka je: minus sedam, dva, tri, pet.
-
Moje pitanje za vas je: Šta je A...
-
podebljavam da izgleda kao iz knjiga, plus
-
matrica B? Dakle sabram dve matrice.
I opet
-
ovo je ljudski sporazum. Neko jedefinisao
kako se označava sabiranje.
-
Mogli su definisati i drugačije. Ali rekli su:
-
Napravićemo da se matrice dodaju ovako kao
što ću vam ja
-
upravo pokazati jer je to korisno za ceo spektar
ovog fenomena.
-
Dakle kada sabirate dve matrice vi u suštini samo sabirate
-
njihove odgovarajuće elemente. Kako to radi?
-
Pa, saberete element u redu jedan kolone jedan sa
-
elementom u redu jedan kolone jedan. U redu to je
-
tri plus minus sedam. Dakle tri plus minus sedam.
-
To bi bio jedan element. Zatim element iz reda jedan
u koloni jedan
-
to je minus jedan plus dva.
-
Stavite zagrade oko njih da bi znali da su to
-
odvojeni elementi. I možete lako pogoditi kako se
ovo nastavlja.
-
Ovaj element će biti dva plus tri. Ovaj element,
poslednji element če biti nula plus pet.
-
Dakle to je jednako čemu? Tri plus minus sedam,
to je minus četiri.
-
Minus jedan plus dva, biće jedan. Dva plus tri
je pet
-
i nula plus pet je pet. Dakle to je to, tako smo mi
ljudi definisali sabiranje dve matrice.
-
I prema definiciji možete pretpostaviti da će ovo
biti ista stvar
-
kao B plus A. Zar ne? Zapamtite ovo je
nešto o čemu moramo razmisliti
-
jer mi ne sabiramo više brojeve. Znate da je
jedan plus dva isto što i
-
dva plus jedan. Tako je sa bilo koja dva broja,
nema veze koim redom
-
ih sabirate. Ali matrice, nije baš potpuno
očigledno. Ali kada ih definišete ovako
-
nema veze da li je A plus B ili B plus A.
Zar ne?
-
Da smo stavili B plus A, ovo bi samo bilo
minus sedam plus tri.
-
Ovo bi samo bilo dva plus minus jedan. Sve bi
se svelo na iste vrednosti.
-
To je sabiranje matrice.
-
Možete zamisliti, oduzimanje matrice je
u suštini ista stvar.
-
Mi bismo... zapravo bolje da vam pokažem.
Šta bi bilo A minus B?
-
Možete videti, ovo je veliko B, to je matrica
-
zato je podebljavam dodatno. No to je
ista stvar kao
-
A plus minus jedan puta B. Šta je B?
B je
-
minus sedam, dva, tri, pet. Zatim množimo
-
skalarno, kada množite broj sa matricom
-
samo množite taj broj sa svakim od elemenata
matrice.
-
To je A, matrica A plus matrica, množimo
-
minus jedan sa svakim elementom iz B. Znači
sedam
-
minus dva, minus tri, pet. A zatim možemo uraditi
-
isto što smo ovde gore. Znamo šta je A.
-
Ovo bi bilo jednako, da vidimo. Tri plus
-
sedam je deset, minus jedan plus negativno dva je minus tri,
-
dva plus minus tri je minus jedan
i nula plus pet je pet.
-
Niste ni morali proći kroz ovu vežbu.
-
Mogli ste bukvalno samo oduzeti ove
od ovih elemenata
-
i dobili biste iste vrednosti.
-
Uradio sam ovo da bih vam pokazao da množenje
-
matrice sa skalarom, tj sa vrednošću ili brojem
-
je ništa drugo do množenje tog broja
sa svakim od elemenata matrice.
-
I šta... prema ovoj definiciji sabiranja matrica
šta saznajemo?
-
Pa saznajemo da obe matrice moraju biti iste
veličine,
-
definicijom načina na koji sabiramo. Dakle za primer
-
možete sabrati ove dve matrice. Možete sabrati,
nemam pojma,
-
jedan, dva, tri, četiri, pet, šest, sedam, osam, devet
ove matrice
-
sa neznam, minus deset, minus sto, minus
hiljadu.
-
Lupam brojeve. Jedan, nula, nula, jedan, nula, jedan.
-
Možete sabrati ove dve matrice zar ne?
-
Jer imaju isti broj redova i kolona.
-
Pa na primer ako bismo ih sabrali, prvi
izraz ovde bi bio jedan plus minus deset,
-
pa bi to bilo minus deset. Dva plus minus sto,
minus devedeset i osam.
-
Mislim da kapirate.l Imali biste tačno devet
elemenata, tj tri reda od po tri kolone.
-
Ali ne možete sabrati ove dve matrice.
Ne možete sabrati babe i žabe...
-
Da obojim ovo drugačije, samo da prikažem
kao različito,
-
Ne možete sabrati ovo plavo, ne možete sabrati
ovu matricu
-
minus tri dva sa matricom, nemam pojma,
devet, sedam
-
A zašto ih ne možete sabrati?
-
Pa nemaju odgovarajući broj elemenata da bi se
sabrale.
-
Ova je jedan red sa dve kolone, jedan sa dva
-
a ova je dva sa jedan. Dakle nisu istih
DIMENZIJA
-
pa ne možemo sabrati ove dve matrice.
-
I još nešto usput, kada matrica ima...
kada je jedna od njenih
-
dimenzija jedan. Pa na primer ovde
imate jedan red
-
i više kolona. Ovo se zapravo zove redni vektor.
-
Vektor je u suštini jednodimenzionalna matrica,
gde je jedna
-
od dimenzija jednaka jedan. Tako je ovo redni vektor
i slično,
-
Ovo je vektor kolona. To je samo dodatna
terminologija
-
koju trebate znati. Ako uzmete linearnu
algebru i račun
-
vaš profesor može koristiti slične termine i
dobro je biti
-
upoznat sa njima. U svakom slučaju guram ovo već
11 minuta pa ću nastaviti u sledećem videu.
Vidimo se uskoro.