0:00:01.300,0:00:06.800
Hajde da naučimo matrice. Dakle šta su, šta to meni znači kad kažem matrice?

0:00:06.800,0:00:10.400
Pa prvo, "Matrice" je množina od reči "Matrica".

0:00:10.400,0:00:15.700
To je verovatno reč koja vam je poznatija zbog Holivuda nego[br]zbog matematike.

0:00:15.700,0:00:20.900
Dakle, šta je matrica? Pa to je zapravo[br]vrlo jednostavna zamisao.

0:00:20.900,0:00:24.500
To je samo tabela brojeva i to je sve.

0:00:24.500,0:00:27.800
Nacrtaću vam jednu matricu.

0:00:27.800,0:00:30.300
Ne volim ovu plavu boju zubne paste, [br]dozvolite da izaberem drugu boju.

0:00:30.300,0:00:37.600
Ovo je primer matrice. Ako bih rekao... [br]neznam, izabraću neke nasumične brojeve...

0:00:37.600,0:00:46.000
Pet, jedan, dva, tri, nula, minus pet.[br]Ovo je matrica.

0:00:46.000,0:00:51.500
To je sve što matrica pretstavlja, tablicu brojeva i[br]često kada želite promenljivu za matricu

0:00:51.500,0:00:54.600
koristite veliko slovo. Pa možete koristiti veliko 'A'.

0:00:54.600,0:01:00.100
U nekim knjigama ih pretstavljaju zadebljanim slovima.[br]Znači zadebljano 'A' moglo bi pretstavljati matricu.

0:01:00.100,0:01:04.500
I još nešto o oznakama. Ovako bi označili matricu.[br]Ili bi je označili

0:01:04.500,0:01:10.100
ovako, čisto prema usvojenim pravilima, ovo bi [br]nazvali dva sa tri matricom.

0:01:10.100,0:01:16.500
I ponekad bi zapravo pisalo 2 sa 3 ispod podebljane[br]oznake koja pretstavlja matricu.

0:01:16.500,0:01:18.400
Šta pretstavlja dva? A šta tri?

0:01:18.400,0:01:23.200
Dva je broj redova. Imamo ovde jedan, dva reda.[br]Ovo je red i ovo je red.

0:01:23.200,0:01:26.300
Imamo tri kolone: jedan, dva, tri.

0:01:26.300,0:01:28.500
Dakle zato se zove 2 sa tri matrica.

0:01:28.500,0:01:34.200
Kada bismo rekli, kada bih rekao da je B... [br]zadebljaću ga dodatno.

0:01:34.200,0:01:42.677
Ako je B pet sa dva matrica, znači da bi B trebala imati... napraviću jednu.

0:01:42.677,0:01:46.892
Samo da unesem brojeve, nula, minus pet, deset.

0:01:49.300,0:01:52.600
Dakle ima pet redova i dve kolone.

0:01:52.600,0:01:56.000
Imaćemo još jednu kolonu ovde. Da vidimo,[br]minus deset, tri

0:01:56.000,0:02:04.100
Samo unosim nasumične brojeve ovde. Sedam, dva, pi.

0:02:04.100,0:02:07.000
Ovo je matrica pet sa dva.

0:02:07.000,0:02:11.700
Dakle mislim da sada imate način pretstavljanja koji [br]govori da je matrica samo

0:02:11.700,0:02:15.000
tablica brojeva. Možete je prikazati kada je koristite [br]u formi promenljive

0:02:15.000,0:02:19.100
podebljanim velikim slovom.[br]Ponekad bi ste upisali dva sa tri ovde.

0:02:19.100,0:02:22.700
Na taj način vi zapravo ukazujete na pojam matrice.

0:02:22.700,0:02:26.300
U ovom primeru, na vrhu gde imamo matricu A

0:02:26.300,0:02:32.600
Šta ako bi neko želeo da ukaže na, recimo ovaj i ovaj[br]element matrice?

0:02:32.600,0:02:37.400
Dakle šta je to? U drugom je redu. U redu dva.

0:02:37.400,0:02:39.100
Udrugoj koloni. Zar ne?

0:02:39.100,0:02:42.500
Ovo je kolona jedan, ovo je kolona dva. [br]Red jedan, red dva.

0:02:42.500,0:02:45.100
Znači u drugom redu, druga kolona.

0:02:45.100,0:02:51.900
Ponekad će ljudi zapisati ono A, a zatim će zapisati

0:02:51.900,0:02:58.500
dva zarez dva je jednako nula.

0:02:58.500,0:03:02.100
Ili će možda pisati malim slovom 'a',

0:03:02.100,0:03:07.100
dva zarez dva jednako nula.

0:03:07.100,0:03:11.700
Šta je 'A'? Ovo je opet ista stvar.

0:03:11.700,0:03:14.200
Radim ovo samo da bih vas upoznao sa označavanjem

0:03:14.200,0:03:16.100
jer je dosta toga samo u oznakama.

0:03:16.100,0:03:21.800
Šta je onda 'a' jedan zarez tri?

0:03:21.800,0:03:24.600
To znači da smo u prvom redu i trećoj koloni.

0:03:24.600,0:03:27.600
Prvi red, jedan dva, tri. To je ova vrednost ovde.

0:03:27.600,0:03:29.200
Znači taj element ima vrednost dva.

0:03:29.200,0:03:32.100
Ovo je dakle sve što pretstavlja označavanje matrice,

0:03:32.100,0:03:34.100
to je tabela brojeva, može biti pretstavljena i ovako

0:03:34.100,0:03:37.000
Možemo pretstaviti njene različite elemente[br]na ovaj način.

0:03:37.000,0:03:38.300
Možda se pitate

0:03:38.300,0:03:41.600
"Sal sve je to u redu, tablica brojeva sa fensi

0:03:41.600,0:03:44.200
rečima i fensi oznakama. Ali čemu to sve služi?"

0:03:44.212,0:03:46.100
E u tome je stvar interesantna.

0:03:46.100,0:03:51.600
Matrica je samo prikaz podataka. Samo način[br]zapisa podataka.

0:03:51.600,0:03:53.600
To je sve. Tablica brojeva.

0:03:53.600,0:03:57.800
Ali može se koristiti za prikaz celog skupa fenomena.

0:03:57.800,0:04:01.500
I ako ovo radite iz Algebre 1 ili predmeta Algebra 2

0:04:01.500,0:04:03.600
verovatno ovo koristite za prikaz linearnih jednačina.

0:04:03.600,0:04:07.854
Ali naučićemo kasnije, a uradiću ceo komplet[br]videa

0:04:07.869,0:04:10.600
na temu primene matrica za hrpu različitih stvari.

0:04:10.600,0:04:14.500
Ali moguće je pretstaviti, veoma moćno ako se[br]bavite

0:04:14.500,0:04:19.100
računarskom grafikom, pomuću matrica... Elementi[br]mogu pretstavljati piksele vaših ekrana,

0:04:19.100,0:04:21.400
mogu pretstavljati tačke u koordinatnom sistemu,

0:04:21.400,0:04:23.000
mogu pretstavljati... Ko to zna!

0:04:23.000,0:04:24.900
Postoji izobilje stvari koje mogu pretstaviti.

0:04:24.900,0:04:27.600
Ali bitna stvar je shvatiti da matrica

0:04:27.600,0:04:30.500
nije prirodni fenomen.

0:04:30.500,0:04:34.700
Nije kao gomila matematičkih koncepata [br]koje smo gledali.

0:04:34.700,0:04:37.700
To je način za prikaz matematičkog koncepta.

0:04:37.700,0:04:40.400
Ili način za pretstavljanje vrednosti.[br]Ali potrebno je da

0:04:40.400,0:04:43.000
definišete šta pretstavlja.

0:04:43.000,0:04:44.700
Ali hajde da ostavimo sa strane na momenat

0:04:44.700,0:04:48.300
pojam šta ona stvarno pretstavlja.

0:04:48.300,0:04:52.200
I, hmm moja žena je ovde. Treba joj naš ormarić za fajlove.

0:04:52.200,0:04:54.500
Kako god, vratimo se poslu.

0:04:54.500,0:04:57.100
Stavili smo sa strane ono što matrica

0:04:57.100,0:04:59.400
zapravo pretstavlja. Hajde da naučimo sporazum.

0:04:59.400,0:05:02.200
Jer mislim, bar u početku to zna da bude

0:05:02.200,0:05:04.015
najteži deo. Kako da sabirate matrice?

0:05:04.015,0:05:06.408
Kako da množite matrice? Kako dobijate inverznu matricu?

0:05:06.408,0:05:09.069
Kako da nađete determinantu matrice?

0:05:09.069,0:05:11.400
Znam da sve ove reči mogu zvučati nepoznato.[br]Osim

0:05:11.400,0:05:13.700
ako se već niste njima zbunjivali na[br]časovima algebre.

0:05:13.700,0:05:15.900
Dakle ja ću vas sad naučiti svim tim stvarima.

0:05:15.900,0:05:18.400
To su sve zapravo sporazumi koje su ljudi utvrdili.

0:05:18.400,0:05:22.700
Nakon toga, kasnije napraviću gomilu videa [br]o intuiciji koja stoji iza njih,

0:05:22.700,0:05:26.700
i šta ti sporazumi pretstavljaju. [br]Hajde da počnemo.

0:05:26.700,0:05:29.700
Recimo da želimo da saberemo ove dve matrice.

0:05:29.700,0:05:33.600
Recimo prva, da promenim boje. Recimo,

0:05:33.600,0:05:37.700
napraviću relativno male čisto da ne trošim prostor.

0:05:37.700,0:05:42.500
Imate matricu: tri, minus jedan, nemam pojma,

0:05:42.500,0:05:49.100
dva, nula. Neznam, nayovimo je A, velikim slovom.

0:05:49.100,0:05:54.400
I imamo matricu B, opet lupam brojeve.

0:05:54.400,0:06:06.300
Matrica B jednaka je: minus sedam, dva, tri, pet.

0:06:06.300,0:06:14.000
Moje pitanje za vas je: Šta je A...

0:06:14.000,0:06:16.300
podebljavam da izgleda kao iz knjiga, plus

0:06:16.300,0:06:21.700
matrica B? Dakle sabram dve matrice.[br]I opet

0:06:21.700,0:06:25.700
ovo je ljudski sporazum. Neko jedefinisao[br]kako se označava sabiranje.

0:06:25.700,0:06:27.500
Mogli su definisati i drugačije. Ali rekli su:

0:06:27.500,0:06:29.846
Napravićemo da se matrice dodaju ovako kao[br]što ću vam ja

0:06:29.846,0:06:32.500
upravo pokazati jer je to korisno za ceo spektar[br]ovog fenomena.

0:06:32.500,0:06:35.000
Dakle kada sabirate dve matrice vi u suštini samo sabirate

0:06:35.000,0:06:40.000
njihove odgovarajuće elemente. Kako to radi?

0:06:40.000,0:06:43.000
Pa, saberete element u redu jedan kolone jedan sa

0:06:43.000,0:06:46.100
elementom u redu jedan kolone jedan. U redu to je

0:06:46.100,0:06:50.500
tri plus minus sedam. Dakle tri plus minus sedam.

0:06:50.500,0:06:55.000
To bi bio jedan element. Zatim element iz reda jedan[br]u koloni jedan

0:06:55.000,0:06:58.608
to je minus jedan plus dva.

0:06:58.608,0:07:01.700
Stavite zagrade oko njih da bi znali da su to

0:07:01.700,0:07:05.400
odvojeni elementi. I možete lako pogoditi kako se[br]ovo nastavlja.

0:07:05.400,0:07:20.700
Ovaj element će biti dva plus tri. Ovaj element,[br]poslednji element če biti nula plus pet.

0:07:20.700,0:07:26.700
Dakle to je jednako čemu? Tri plus minus sedam,[br]to je minus četiri.

0:07:26.700,0:07:32.000
Minus jedan plus dva, biće jedan. Dva plus tri[br]je pet

0:07:32.000,0:07:39.800
i nula plus pet je pet. Dakle to je to, tako smo mi[br]ljudi definisali sabiranje dve matrice.

0:07:39.800,0:07:43.200
I prema definiciji možete pretpostaviti da će ovo [br]biti ista stvar

0:07:43.200,0:07:49.100
kao B plus A. Zar ne? Zapamtite ovo je [br]nešto o čemu moramo razmisliti

0:07:49.100,0:07:53.000
jer mi ne sabiramo više brojeve. Znate da je[br]jedan plus dva isto što i

0:07:53.000,0:07:56.700
dva plus jedan. Tako je sa bilo koja dva broja,[br]nema veze koim redom

0:07:56.700,0:07:59.900
ih sabirate. Ali matrice, nije baš potpuno[br]očigledno. Ali kada ih definišete ovako

0:07:59.900,0:08:03.700
nema veze da li je A plus B ili B plus A.[br]Zar ne?

0:08:03.700,0:08:06.600
Da smo stavili B plus A, ovo bi samo bilo[br]minus sedam plus tri.

0:08:06.600,0:08:10.100
Ovo bi samo bilo dva plus minus jedan. Sve bi [br]se svelo na iste vrednosti.

0:08:10.100,0:08:11.900
To je sabiranje matrice.

0:08:11.900,0:08:15.300
Možete zamisliti, oduzimanje matrice je [br]u suštini ista stvar.

0:08:15.300,0:08:21.592
Mi bismo... zapravo bolje da vam pokažem.[br]Šta bi bilo A minus B?

0:08:27.038,0:08:32.300
Možete videti, ovo je veliko B, to je matrica

0:08:32.300,0:08:34.800
zato je podebljavam dodatno. No to je [br]ista stvar kao

0:08:34.800,0:08:42.800
A plus minus jedan puta B. Šta je B? [br]B je

0:08:42.800,0:08:47.800
minus sedam, dva, tri, pet. Zatim množimo

0:08:47.800,0:08:50.400
skalarno, kada množite broj sa matricom

0:08:50.400,0:08:52.700
samo množite taj broj sa svakim od elemenata [br]matrice.

0:08:52.700,0:08:58.400
To je A, matrica A plus matrica, množimo

0:08:58.400,0:09:02.400
minus jedan sa svakim elementom iz B. Znači[br]sedam

0:09:02.400,0:09:08.400
minus dva, minus tri, pet. A zatim možemo uraditi

0:09:08.400,0:09:11.700
isto što smo ovde gore. Znamo šta je A.

0:09:11.700,0:09:15.800
Ovo bi bilo jednako, da vidimo. Tri plus

0:09:15.800,0:09:21.200
sedam je deset, minus jedan plus negativno dva je minus tri,

0:09:21.200,0:09:28.900
dva plus minus tri je minus jedan [br]i nula plus pet je pet.

0:09:28.900,0:09:31.600
Niste ni morali proći kroz ovu vežbu.

0:09:31.600,0:09:33.800
Mogli ste bukvalno samo oduzeti ove[br]od ovih elemenata

0:09:33.800,0:09:35.200
i dobili biste iste vrednosti.

0:09:35.200,0:09:38.500
Uradio sam ovo da bih vam pokazao da množenje

0:09:38.500,0:09:41.300
matrice sa skalarom, tj sa vrednošću ili brojem

0:09:41.300,0:09:46.600
je ništa drugo do množenje tog broja[br]sa svakim od elemenata matrice.

0:09:46.600,0:09:50.900
I šta... prema ovoj definiciji sabiranja matrica[br]šta saznajemo?

0:09:50.900,0:09:54.200
Pa saznajemo da obe matrice moraju biti iste [br]veličine,

0:09:54.200,0:09:58.700
definicijom načina na koji sabiramo. Dakle za primer

0:09:58.700,0:10:01.100
možete sabrati ove dve matrice. Možete sabrati,[br]nemam pojma,

0:10:01.100,0:10:08.500
jedan, dva, tri, četiri, pet, šest, sedam, osam, devet[br]ove matrice

0:10:08.500,0:10:14.500
sa neznam, minus deset, minus sto, minus[br]hiljadu.

0:10:14.500,0:10:20.100
Lupam brojeve. Jedan, nula, nula, jedan, nula, jedan.

0:10:20.100,0:10:21.800
Možete sabrati ove dve matrice zar ne?

0:10:21.800,0:10:24.900
Jer imaju isti broj redova i kolona.

0:10:24.900,0:10:30.400
Pa na primer ako bismo ih sabrali, prvi [br]izraz ovde bi bio jedan plus minus deset,

0:10:30.400,0:10:34.400
pa bi to bilo minus deset. Dva plus minus sto,[br]minus devedeset i osam.

0:10:34.400,0:10:39.500
Mislim da kapirate.l Imali biste tačno devet [br]elemenata, tj tri reda od po tri kolone.

0:10:39.500,0:10:44.800
Ali ne možete sabrati ove dve matrice.[br]Ne možete sabrati babe i žabe...

0:10:44.800,0:10:48.600
Da obojim ovo drugačije, samo da prikažem[br]kao različito,

0:10:48.600,0:10:52.500
Ne možete sabrati ovo plavo, ne možete sabrati [br]ovu matricu

0:10:52.500,0:11:03.400
minus tri dva sa matricom, nemam pojma,[br]devet, sedam

0:11:03.400,0:11:05.100
A zašto ih ne možete sabrati?

0:11:05.100,0:11:07.700
Pa nemaju odgovarajući broj elemenata da bi se[br]sabrale.

0:11:07.700,0:11:11.600
Ova je jedan red sa dve kolone, jedan sa dva

0:11:11.600,0:11:15.800
a ova je dva sa jedan. Dakle nisu istih[br]DIMENZIJA

0:11:15.800,0:11:18.700
pa ne možemo sabrati ove dve matrice.

0:11:18.700,0:11:22.300
I još nešto usput, kada matrica ima...[br]kada je jedna od njenih

0:11:22.300,0:11:26.800
dimenzija jedan. Pa na primer ovde[br]imate jedan red

0:11:26.800,0:11:30.200
i više kolona. Ovo se zapravo zove redni vektor.

0:11:30.200,0:11:32.500
Vektor je u suštini jednodimenzionalna matrica,[br]gde je jedna

0:11:32.500,0:11:35.700
od dimenzija jednaka jedan. Tako je ovo redni vektor [br]i slično,

0:11:35.700,0:11:38.800
Ovo je vektor kolona. To je samo dodatna [br]terminologija

0:11:38.800,0:11:41.400
koju trebate znati. Ako uzmete linearnu[br]algebru i račun

0:11:41.400,0:11:44.200
vaš profesor može koristiti slične termine i [br]dobro je biti

0:11:44.200,0:11:49.015
upoznat sa njima. U svakom slučaju guram ovo već [br]11 minuta pa ću nastaviti u sledećem videu.[br]Vidimo se uskoro.