1 00:00:01,300 --> 00:00:06,800 Hajde da naučimo matrice. Dakle šta su, šta to meni znači kad kažem matrice? 2 00:00:06,800 --> 00:00:10,400 Pa prvo, "Matrice" je množina od reči "Matrica". 3 00:00:10,400 --> 00:00:15,700 To je verovatno reč koja vam je poznatija zbog Holivuda nego zbog matematike. 4 00:00:15,700 --> 00:00:20,900 Dakle, šta je matrica? Pa to je zapravo vrlo jednostavna zamisao. 5 00:00:20,900 --> 00:00:24,500 To je samo tabela brojeva i to je sve. 6 00:00:24,500 --> 00:00:27,800 Nacrtaću vam jednu matricu. 7 00:00:27,800 --> 00:00:30,300 Ne volim ovu plavu boju zubne paste, dozvolite da izaberem drugu boju. 8 00:00:30,300 --> 00:00:37,600 Ovo je primer matrice. Ako bih rekao... neznam, izabraću neke nasumične brojeve... 9 00:00:37,600 --> 00:00:46,000 Pet, jedan, dva, tri, nula, minus pet. Ovo je matrica. 10 00:00:46,000 --> 00:00:51,500 To je sve što matrica pretstavlja, tablicu brojeva i često kada želite promenljivu za matricu 11 00:00:51,500 --> 00:00:54,600 koristite veliko slovo. Pa možete koristiti veliko 'A'. 12 00:00:54,600 --> 00:01:00,100 U nekim knjigama ih pretstavljaju zadebljanim slovima. Znači zadebljano 'A' moglo bi pretstavljati matricu. 13 00:01:00,100 --> 00:01:04,500 I još nešto o oznakama. Ovako bi označili matricu. Ili bi je označili 14 00:01:04,500 --> 00:01:10,100 ovako, čisto prema usvojenim pravilima, ovo bi nazvali dva sa tri matricom. 15 00:01:10,100 --> 00:01:16,500 I ponekad bi zapravo pisalo 2 sa 3 ispod podebljane oznake koja pretstavlja matricu. 16 00:01:16,500 --> 00:01:18,400 Šta pretstavlja dva? A šta tri? 17 00:01:18,400 --> 00:01:23,200 Dva je broj redova. Imamo ovde jedan, dva reda. Ovo je red i ovo je red. 18 00:01:23,200 --> 00:01:26,300 Imamo tri kolone: jedan, dva, tri. 19 00:01:26,300 --> 00:01:28,500 Dakle zato se zove 2 sa tri matrica. 20 00:01:28,500 --> 00:01:34,200 Kada bismo rekli, kada bih rekao da je B... zadebljaću ga dodatno. 21 00:01:34,200 --> 00:01:42,677 Ako je B pet sa dva matrica, znači da bi B trebala imati... napraviću jednu. 22 00:01:42,677 --> 00:01:46,892 Samo da unesem brojeve, nula, minus pet, deset. 23 00:01:49,300 --> 00:01:52,600 Dakle ima pet redova i dve kolone. 24 00:01:52,600 --> 00:01:56,000 Imaćemo još jednu kolonu ovde. Da vidimo, minus deset, tri 25 00:01:56,000 --> 00:02:04,100 Samo unosim nasumične brojeve ovde. Sedam, dva, pi. 26 00:02:04,100 --> 00:02:07,000 Ovo je matrica pet sa dva. 27 00:02:07,000 --> 00:02:11,700 Dakle mislim da sada imate način pretstavljanja koji govori da je matrica samo 28 00:02:11,700 --> 00:02:15,000 tablica brojeva. Možete je prikazati kada je koristite u formi promenljive 29 00:02:15,000 --> 00:02:19,100 podebljanim velikim slovom. Ponekad bi ste upisali dva sa tri ovde. 30 00:02:19,100 --> 00:02:22,700 Na taj način vi zapravo ukazujete na pojam matrice. 31 00:02:22,700 --> 00:02:26,300 U ovom primeru, na vrhu gde imamo matricu A 32 00:02:26,300 --> 00:02:32,600 Šta ako bi neko želeo da ukaže na, recimo ovaj i ovaj element matrice? 33 00:02:32,600 --> 00:02:37,400 Dakle šta je to? U drugom je redu. U redu dva. 34 00:02:37,400 --> 00:02:39,100 Udrugoj koloni. Zar ne? 35 00:02:39,100 --> 00:02:42,500 Ovo je kolona jedan, ovo je kolona dva. Red jedan, red dva. 36 00:02:42,500 --> 00:02:45,100 Znači u drugom redu, druga kolona. 37 00:02:45,100 --> 00:02:51,900 Ponekad će ljudi zapisati ono A, a zatim će zapisati 38 00:02:51,900 --> 00:02:58,500 dva zarez dva je jednako nula. 39 00:02:58,500 --> 00:03:02,100 Ili će možda pisati malim slovom 'a', 40 00:03:02,100 --> 00:03:07,100 dva zarez dva jednako nula. 41 00:03:07,100 --> 00:03:11,700 Šta je 'A'? Ovo je opet ista stvar. 42 00:03:11,700 --> 00:03:14,200 Radim ovo samo da bih vas upoznao sa označavanjem 43 00:03:14,200 --> 00:03:16,100 jer je dosta toga samo u oznakama. 44 00:03:16,100 --> 00:03:21,800 Šta je onda 'a' jedan zarez tri? 45 00:03:21,800 --> 00:03:24,600 To znači da smo u prvom redu i trećoj koloni. 46 00:03:24,600 --> 00:03:27,600 Prvi red, jedan dva, tri. To je ova vrednost ovde. 47 00:03:27,600 --> 00:03:29,200 Znači taj element ima vrednost dva. 48 00:03:29,200 --> 00:03:32,100 Ovo je dakle sve što pretstavlja označavanje matrice, 49 00:03:32,100 --> 00:03:34,100 to je tabela brojeva, može biti pretstavljena i ovako 50 00:03:34,100 --> 00:03:37,000 Možemo pretstaviti njene različite elemente na ovaj način. 51 00:03:37,000 --> 00:03:38,300 Možda se pitate 52 00:03:38,300 --> 00:03:41,600 "Sal sve je to u redu, tablica brojeva sa fensi 53 00:03:41,600 --> 00:03:44,200 rečima i fensi oznakama. Ali čemu to sve služi?" 54 00:03:44,212 --> 00:03:46,100 E u tome je stvar interesantna. 55 00:03:46,100 --> 00:03:51,600 Matrica je samo prikaz podataka. Samo način zapisa podataka. 56 00:03:51,600 --> 00:03:53,600 To je sve. Tablica brojeva. 57 00:03:53,600 --> 00:03:57,800 Ali može se koristiti za prikaz celog skupa fenomena. 58 00:03:57,800 --> 00:04:01,500 I ako ovo radite iz Algebre 1 ili predmeta Algebra 2 59 00:04:01,500 --> 00:04:03,600 verovatno ovo koristite za prikaz linearnih jednačina. 60 00:04:03,600 --> 00:04:07,854 Ali naučićemo kasnije, a uradiću ceo komplet videa 61 00:04:07,869 --> 00:04:10,600 na temu primene matrica za hrpu različitih stvari. 62 00:04:10,600 --> 00:04:14,500 Ali moguće je pretstaviti, veoma moćno ako se bavite 63 00:04:14,500 --> 00:04:19,100 računarskom grafikom, pomuću matrica... Elementi mogu pretstavljati piksele vaših ekrana, 64 00:04:19,100 --> 00:04:21,400 mogu pretstavljati tačke u koordinatnom sistemu, 65 00:04:21,400 --> 00:04:23,000 mogu pretstavljati... Ko to zna! 66 00:04:23,000 --> 00:04:24,900 Postoji izobilje stvari koje mogu pretstaviti. 67 00:04:24,900 --> 00:04:27,600 Ali bitna stvar je shvatiti da matrica 68 00:04:27,600 --> 00:04:30,500 nije prirodni fenomen. 69 00:04:30,500 --> 00:04:34,700 Nije kao gomila matematičkih koncepata koje smo gledali. 70 00:04:34,700 --> 00:04:37,700 To je način za prikaz matematičkog koncepta. 71 00:04:37,700 --> 00:04:40,400 Ili način za pretstavljanje vrednosti. Ali potrebno je da 72 00:04:40,400 --> 00:04:43,000 definišete šta pretstavlja. 73 00:04:43,000 --> 00:04:44,700 Ali hajde da ostavimo sa strane na momenat 74 00:04:44,700 --> 00:04:48,300 pojam šta ona stvarno pretstavlja. 75 00:04:48,300 --> 00:04:52,200 I, hmm moja žena je ovde. Treba joj naš ormarić za fajlove. 76 00:04:52,200 --> 00:04:54,500 Kako god, vratimo se poslu. 77 00:04:54,500 --> 00:04:57,100 Stavili smo sa strane ono što matrica 78 00:04:57,100 --> 00:04:59,400 zapravo pretstavlja. Hajde da naučimo sporazum. 79 00:04:59,400 --> 00:05:02,200 Jer mislim, bar u početku to zna da bude 80 00:05:02,200 --> 00:05:04,015 najteži deo. Kako da sabirate matrice? 81 00:05:04,015 --> 00:05:06,408 Kako da množite matrice? Kako dobijate inverznu matricu? 82 00:05:06,408 --> 00:05:09,069 Kako da nađete determinantu matrice? 83 00:05:09,069 --> 00:05:11,400 Znam da sve ove reči mogu zvučati nepoznato. Osim 84 00:05:11,400 --> 00:05:13,700 ako se već niste njima zbunjivali na časovima algebre. 85 00:05:13,700 --> 00:05:15,900 Dakle ja ću vas sad naučiti svim tim stvarima. 86 00:05:15,900 --> 00:05:18,400 To su sve zapravo sporazumi koje su ljudi utvrdili. 87 00:05:18,400 --> 00:05:22,700 Nakon toga, kasnije napraviću gomilu videa o intuiciji koja stoji iza njih, 88 00:05:22,700 --> 00:05:26,700 i šta ti sporazumi pretstavljaju. Hajde da počnemo. 89 00:05:26,700 --> 00:05:29,700 Recimo da želimo da saberemo ove dve matrice. 90 00:05:29,700 --> 00:05:33,600 Recimo prva, da promenim boje. Recimo, 91 00:05:33,600 --> 00:05:37,700 napraviću relativno male čisto da ne trošim prostor. 92 00:05:37,700 --> 00:05:42,500 Imate matricu: tri, minus jedan, nemam pojma, 93 00:05:42,500 --> 00:05:49,100 dva, nula. Neznam, nayovimo je A, velikim slovom. 94 00:05:49,100 --> 00:05:54,400 I imamo matricu B, opet lupam brojeve. 95 00:05:54,400 --> 00:06:06,300 Matrica B jednaka je: minus sedam, dva, tri, pet. 96 00:06:06,300 --> 00:06:14,000 Moje pitanje za vas je: Šta je A... 97 00:06:14,000 --> 00:06:16,300 podebljavam da izgleda kao iz knjiga, plus 98 00:06:16,300 --> 00:06:21,700 matrica B? Dakle sabram dve matrice. I opet 99 00:06:21,700 --> 00:06:25,700 ovo je ljudski sporazum. Neko jedefinisao kako se označava sabiranje. 100 00:06:25,700 --> 00:06:27,500 Mogli su definisati i drugačije. Ali rekli su: 101 00:06:27,500 --> 00:06:29,846 Napravićemo da se matrice dodaju ovako kao što ću vam ja 102 00:06:29,846 --> 00:06:32,500 upravo pokazati jer je to korisno za ceo spektar ovog fenomena. 103 00:06:32,500 --> 00:06:35,000 Dakle kada sabirate dve matrice vi u suštini samo sabirate 104 00:06:35,000 --> 00:06:40,000 njihove odgovarajuće elemente. Kako to radi? 105 00:06:40,000 --> 00:06:43,000 Pa, saberete element u redu jedan kolone jedan sa 106 00:06:43,000 --> 00:06:46,100 elementom u redu jedan kolone jedan. U redu to je 107 00:06:46,100 --> 00:06:50,500 tri plus minus sedam. Dakle tri plus minus sedam. 108 00:06:50,500 --> 00:06:55,000 To bi bio jedan element. Zatim element iz reda jedan u koloni jedan 109 00:06:55,000 --> 00:06:58,608 to je minus jedan plus dva. 110 00:06:58,608 --> 00:07:01,700 Stavite zagrade oko njih da bi znali da su to 111 00:07:01,700 --> 00:07:05,400 odvojeni elementi. I možete lako pogoditi kako se ovo nastavlja. 112 00:07:05,400 --> 00:07:20,700 Ovaj element će biti dva plus tri. Ovaj element, poslednji element če biti nula plus pet. 113 00:07:20,700 --> 00:07:26,700 Dakle to je jednako čemu? Tri plus minus sedam, to je minus četiri. 114 00:07:26,700 --> 00:07:32,000 Minus jedan plus dva, biće jedan. Dva plus tri je pet 115 00:07:32,000 --> 00:07:39,800 i nula plus pet je pet. Dakle to je to, tako smo mi ljudi definisali sabiranje dve matrice. 116 00:07:39,800 --> 00:07:43,200 I prema definiciji možete pretpostaviti da će ovo biti ista stvar 117 00:07:43,200 --> 00:07:49,100 kao B plus A. Zar ne? Zapamtite ovo je nešto o čemu moramo razmisliti 118 00:07:49,100 --> 00:07:53,000 jer mi ne sabiramo više brojeve. Znate da je jedan plus dva isto što i 119 00:07:53,000 --> 00:07:56,700 dva plus jedan. Tako je sa bilo koja dva broja, nema veze koim redom 120 00:07:56,700 --> 00:07:59,900 ih sabirate. Ali matrice, nije baš potpuno očigledno. Ali kada ih definišete ovako 121 00:07:59,900 --> 00:08:03,700 nema veze da li je A plus B ili B plus A. Zar ne? 122 00:08:03,700 --> 00:08:06,600 Da smo stavili B plus A, ovo bi samo bilo minus sedam plus tri. 123 00:08:06,600 --> 00:08:10,100 Ovo bi samo bilo dva plus minus jedan. Sve bi se svelo na iste vrednosti. 124 00:08:10,100 --> 00:08:11,900 To je sabiranje matrice. 125 00:08:11,900 --> 00:08:15,300 Možete zamisliti, oduzimanje matrice je u suštini ista stvar. 126 00:08:15,300 --> 00:08:21,592 Mi bismo... zapravo bolje da vam pokažem. Šta bi bilo A minus B? 127 00:08:27,038 --> 00:08:32,300 Možete videti, ovo je veliko B, to je matrica 128 00:08:32,300 --> 00:08:34,800 zato je podebljavam dodatno. No to je ista stvar kao 129 00:08:34,800 --> 00:08:42,800 A plus minus jedan puta B. Šta je B? B je 130 00:08:42,800 --> 00:08:47,800 minus sedam, dva, tri, pet. Zatim množimo 131 00:08:47,800 --> 00:08:50,400 skalarno, kada množite broj sa matricom 132 00:08:50,400 --> 00:08:52,700 samo množite taj broj sa svakim od elemenata matrice. 133 00:08:52,700 --> 00:08:58,400 To je A, matrica A plus matrica, množimo 134 00:08:58,400 --> 00:09:02,400 minus jedan sa svakim elementom iz B. Znači sedam 135 00:09:02,400 --> 00:09:08,400 minus dva, minus tri, pet. A zatim možemo uraditi 136 00:09:08,400 --> 00:09:11,700 isto što smo ovde gore. Znamo šta je A. 137 00:09:11,700 --> 00:09:15,800 Ovo bi bilo jednako, da vidimo. Tri plus 138 00:09:15,800 --> 00:09:21,200 sedam je deset, minus jedan plus negativno dva je minus tri, 139 00:09:21,200 --> 00:09:28,900 dva plus minus tri je minus jedan i nula plus pet je pet. 140 00:09:28,900 --> 00:09:31,600 Niste ni morali proći kroz ovu vežbu. 141 00:09:31,600 --> 00:09:33,800 Mogli ste bukvalno samo oduzeti ove od ovih elemenata 142 00:09:33,800 --> 00:09:35,200 i dobili biste iste vrednosti. 143 00:09:35,200 --> 00:09:38,500 Uradio sam ovo da bih vam pokazao da množenje 144 00:09:38,500 --> 00:09:41,300 matrice sa skalarom, tj sa vrednošću ili brojem 145 00:09:41,300 --> 00:09:46,600 je ništa drugo do množenje tog broja sa svakim od elemenata matrice. 146 00:09:46,600 --> 00:09:50,900 I šta... prema ovoj definiciji sabiranja matrica šta saznajemo? 147 00:09:50,900 --> 00:09:54,200 Pa saznajemo da obe matrice moraju biti iste veličine, 148 00:09:54,200 --> 00:09:58,700 definicijom načina na koji sabiramo. Dakle za primer 149 00:09:58,700 --> 00:10:01,100 možete sabrati ove dve matrice. Možete sabrati, nemam pojma, 150 00:10:01,100 --> 00:10:08,500 jedan, dva, tri, četiri, pet, šest, sedam, osam, devet ove matrice 151 00:10:08,500 --> 00:10:14,500 sa neznam, minus deset, minus sto, minus hiljadu. 152 00:10:14,500 --> 00:10:20,100 Lupam brojeve. Jedan, nula, nula, jedan, nula, jedan. 153 00:10:20,100 --> 00:10:21,800 Možete sabrati ove dve matrice zar ne? 154 00:10:21,800 --> 00:10:24,900 Jer imaju isti broj redova i kolona. 155 00:10:24,900 --> 00:10:30,400 Pa na primer ako bismo ih sabrali, prvi izraz ovde bi bio jedan plus minus deset, 156 00:10:30,400 --> 00:10:34,400 pa bi to bilo minus deset. Dva plus minus sto, minus devedeset i osam. 157 00:10:34,400 --> 00:10:39,500 Mislim da kapirate.l Imali biste tačno devet elemenata, tj tri reda od po tri kolone. 158 00:10:39,500 --> 00:10:44,800 Ali ne možete sabrati ove dve matrice. Ne možete sabrati babe i žabe... 159 00:10:44,800 --> 00:10:48,600 Da obojim ovo drugačije, samo da prikažem kao različito, 160 00:10:48,600 --> 00:10:52,500 Ne možete sabrati ovo plavo, ne možete sabrati ovu matricu 161 00:10:52,500 --> 00:11:03,400 minus tri dva sa matricom, nemam pojma, devet, sedam 162 00:11:03,400 --> 00:11:05,100 A zašto ih ne možete sabrati? 163 00:11:05,100 --> 00:11:07,700 Pa nemaju odgovarajući broj elemenata da bi se sabrale. 164 00:11:07,700 --> 00:11:11,600 Ova je jedan red sa dve kolone, jedan sa dva 165 00:11:11,600 --> 00:11:15,800 a ova je dva sa jedan. Dakle nisu istih DIMENZIJA 166 00:11:15,800 --> 00:11:18,700 pa ne možemo sabrati ove dve matrice. 167 00:11:18,700 --> 00:11:22,300 I još nešto usput, kada matrica ima... kada je jedna od njenih 168 00:11:22,300 --> 00:11:26,800 dimenzija jedan. Pa na primer ovde imate jedan red 169 00:11:26,800 --> 00:11:30,200 i više kolona. Ovo se zapravo zove redni vektor. 170 00:11:30,200 --> 00:11:32,500 Vektor je u suštini jednodimenzionalna matrica, gde je jedna 171 00:11:32,500 --> 00:11:35,700 od dimenzija jednaka jedan. Tako je ovo redni vektor i slično, 172 00:11:35,700 --> 00:11:38,800 Ovo je vektor kolona. To je samo dodatna terminologija 173 00:11:38,800 --> 00:11:41,400 koju trebate znati. Ako uzmete linearnu algebru i račun 174 00:11:41,400 --> 00:11:44,200 vaš profesor može koristiti slične termine i dobro je biti 175 00:11:44,200 --> 00:11:49,015 upoznat sa njima. U svakom slučaju guram ovo već 11 minuta pa ću nastaviti u sledećem videu. Vidimo se uskoro.