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Median Centroid Right Triangle Example

  • 0:00 - 0:05
    我們已知邊AE等於12
  • 0:05 - 0:11
    邊EC等於18
  • 0:11 - 0:14
    所有的中性線都已畫出
  • 0:14 - 0:15
    我們看得出來是中性線
  • 0:15 - 0:17
    它們與對邊相交的交點
  • 0:17 - 0:20
    把對邊平分
  • 0:20 - 0:24
    這邊ED和CB分別與DC和BA相等
  • 0:24 - 0:28
    AF等於EF 所以F B D是中間點
  • 0:28 - 0:30
    G就是質量中心
  • 0:30 - 0:32
    質量中心就是中性線的交點
  • 0:32 - 0:38
    有關質量中心的第一個問題就是
  • 0:38 - 0:42
    這個三角形BGC的面積是多少
  • 0:42 - 0:46
    要算出三角形的面積
  • 0:46 - 0:50
    我們來回想一下質量中心的定義
  • 0:50 - 0:53
    質量中心是三角形三條中性線的交點
  • 0:53 - 0:55
    它把三角形分成六個面積相等的小三角形
  • 0:55 - 0:57
    所以我們只要知道整個三角形的面積
  • 0:57 - 0:59
    就能算出小三角形的面積
  • 0:59 - 1:01
    我們來看看這個直角三角形
  • 1:01 - 1:05
    AE等於12
  • 1:05 - 1:08
    我們要用它乘以另一個直角邊
  • 1:08 - 1:12
    EC等於18
  • 1:12 - 1:19
    所以三角形AEC的面積就是
  • 1:19 - 1:24
    1/2乘以底18和高12
  • 1:24 - 1:30
    得出結果是108
  • 1:30 - 1:34
    這就是整個大直角三角形AEC的面積
  • 1:34 - 1:36
    要得出小三角形BGC的面積
  • 1:36 - 1:40
    或者是任意一個小三角形的
  • 1:40 - 1:42
    或者更準確地說
  • 1:42 - 1:44
    由中性線分割出來的任意一個小三角形
  • 1:44 - 1:47
    我們只要把整個三角形的面積除以6
  • 1:47 - 1:50
    因爲我們之前已經證明過這六個三角形面積相等
  • 1:50 - 1:56
    所以三角形BGC的面積等於三角形AEC的1/6
  • 1:56 - 2:01
    就是108除以6
  • 2:01 - 2:06
    十位爲1還余48
  • 2:06 - 2:09
    最終結果是18
  • 2:09 - 2:15
    驗證一下18乘以6確實是108
  • 2:15 - 2:18
    所以我們知道這一部分面積是18
  • 2:18 - 2:20
    我們也可以知道
  • 2:20 - 2:23
    所有以中性線爲邊的小三角形
  • 2:23 - 2:26
    都有同樣的面積18
  • 2:26 - 2:30
    例如三角形FGE面積即是18
  • 2:30 - 2:32
    我們完成了三角形面積的計算
  • 2:32 - 2:38
    現在讓我們看看下個問題
  • 2:38 - 2:43
    這條中性線上較長的一邊AG的長度是多少
  • 2:43 - 2:47
    我們先來回顧一下定義
  • 2:47 - 2:49
    三角形的質量中心是三條中性線的交點
  • 2:49 - 2:52
    它是中性線的一個三等分點
  • 2:52 - 2:55
    它把中性線分爲兩條線段
  • 2:55 - 2:57
    這兩條線段的比例是2:1
  • 2:57 - 2:59
    要求出AG的長度
  • 2:59 - 3:01
    我們只需要求出整條中性線的長度
  • 3:01 - 3:04
    然後乘以2/3就行了
  • 3:04 - 3:07
    這裡我們已經知道這是一個直角三角形
  • 3:07 - 3:10
    F和D是中間點
  • 3:10 - 3:13
    我們已經知道AE等於12
  • 3:13 - 3:16
    這邊調整了顏色的線段ED
  • 3:16 - 3:22
    長度就是18乘以1/2等於9
  • 3:22 - 3:25
    我們將要用這個ED來求中性線的長度
  • 3:25 - 3:28
    根據勾股定理
  • 3:28 - 3:32
    AD是直角三角形的斜邊
  • 3:32 - 3:35
    我們現在來看三角形AED
  • 3:35 - 3:37
    讓我用筆來計算
  • 3:37 - 3:43
    我們知道
  • 3:43 - 3:48
    AD的平方等於
  • 3:48 - 3:54
    9的平方加上12的平方
  • 3:54 - 4:02
    12的平方144加上9的平方81
  • 4:02 - 4:05
    等於225
  • 4:05 - 4:08
    等於AD的平方
  • 4:08 - 4:15
    AD的平方爲225
  • 4:15 - 4:19
    所以我們知道
  • 4:19 - 4:22
    AD等於15
  • 4:22 - 4:24
    因爲我們要求的是邊的長度
  • 4:24 - 4:27
    我們不考慮負數
  • 4:27 - 4:28
    所以我們只取正的平方根
  • 4:28 - 4:32
    AD只能等於15
  • 4:32 - 4:34
    這條邊是15
  • 4:34 - 4:37
    我們之前已經證明過
  • 4:37 - 4:39
    三角形的質量中心是三條中性線的交點
  • 4:39 - 4:41
    它把三條中性線三等分
  • 4:41 - 4:43
    這裡AG是中性線上較長的一段
  • 4:43 - 4:46
    AG的長度就是AD的2/3
  • 4:46 - 4:51
    AG等於15乘以2/3
  • 4:51 - 4:53
    最後結果是10
  • 4:53 - 4:58
    AG的長度就是10
  • 4:58 - 5:02
    第二個問題就這樣解決了
  • 5:02 - 5:09
    現在來看第三個問題
  • 5:09 - 5:11
    我們要求出這個加深顏色的三角FGH的面積
  • 5:11 - 5:18
    要求出三角形FGH的面積
  • 5:18 - 5:22
    我們只需要知道HG和FH的長度
  • 5:22 - 5:25
    這裡我們可以用很多種方法
  • 5:25 - 5:26
    來求出HG和FH的長度
  • 5:26 - 5:31
    我們首先來回顧一下
  • 5:31 - 5:35
    HG是三角形FGE的高
  • 5:35 - 5:43
    HG也是三角形AFG的高
  • 5:43 - 5:46
    這兩個三角形的底都是6
  • 5:46 - 5:48
    兩個三角形底都是6
  • 5:48 - 5:51
    這條邊和這條邊是6
  • 5:51 - 5:54
    他們都有高GH
  • 5:54 - 5:55
    我們早已經知道三角形的面積
  • 5:55 - 5:58
    這個三角形的面積爲18
  • 5:58 - 6:02
    我們就用這邊這個三角形AFG爲例
  • 6:02 - 6:06
    我們知道三角形的面積
  • 6:06 - 6:10
    等於底邊和高相乘除以2
  • 6:10 - 6:15
    這邊這個三角形AFG的面積
  • 6:15 - 6:17
    我們就可以用GH乘以AF
  • 6:17 - 6:19
    再除以2
  • 6:19 - 6:22
    最後得出的面積一定是18
  • 6:22 - 6:25
    通過計算得出
  • 6:25 - 6:28
    3乘以GH等於18
  • 6:28 - 6:31
    等式兩邊同除以3
  • 6:31 - 6:35
    得出GH等於6
  • 6:35 - 6:40
    這是一種方法來求邊GH
  • 6:40 - 6:42
    我們也可以用同樣的方法
  • 6:42 - 6:45
    只不過換一個三角形
  • 6:45 - 6:48
    我們來看這個大一點的三角形
  • 6:48 - 6:52
    這條邊是斜邊
  • 6:52 - 6:53
    它的長度是整條線段的2/3
  • 6:53 - 6:55
    這條邊的長度就是9乘以2/3等於6
  • 6:55 - 6:57
    這是另外一種方法求GH
  • 6:57 - 6:59
    無論什麽方法我們都得出GH等於6
  • 6:59 - 7:02
    我們現在來求FH的長度
  • 7:02 - 7:08
    我們只需知道AH的長度就可以得出FH的長度
  • 7:08 - 7:12
    我們已經知道AF等於6
  • 7:12 - 7:16
    FH就等於AH減去AF
  • 7:16 - 7:18
    所以我們要先求出AH長度
  • 7:18 - 7:20
    我們可以用與上面相同的方法來求AH
  • 7:20 - 7:22
    我們用嚴謹的方式來求AH
  • 7:22 - 7:26
    這個大的三角形和這個小的三角形
  • 7:26 - 7:30
    都有個直角
  • 7:30 - 7:32
    他們也有一個同樣的非直角
  • 7:32 - 7:33
    他們有兩個相同的角
  • 7:33 - 7:36
    所以他們是相似三角形
  • 7:36 - 7:41
    我們要求這兩個三角形的相似比
  • 7:41 - 7:46
    AH比上AE等於AG比上AD
  • 7:46 - 7:55
    AE等於12 AG等於10
  • 7:55 - 7:57
    AD等於15
  • 7:57 - 8:01
    直接可以看出AH等於12的2/3
  • 8:01 - 8:02
    我們通過計算來演示一遍
  • 8:02 - 8:04
    運用相似三角形的性質
  • 8:04 - 8:07
    等號右邊是2/3
  • 8:07 - 8:10
    兩邊同時乘以12
  • 8:10 - 8:14
    右邊等於4
  • 8:14 - 8:22
    AH等於8 AF等於6
  • 8:22 - 8:27
    所以這裡的FH等於2
  • 8:27 - 8:29
    現在我們有了足夠的信息
  • 8:29 - 8:31
    用這些信息我們就可以求出三角形FGH的面積
  • 8:31 - 8:34
    讓我寫下來算
  • 8:34 - 8:38
    三角形FGH的面積等於
  • 8:38 - 8:40
    1/2乘以底FH再乘以高
  • 8:40 - 8:44
    我也可以用別的邊做底
  • 8:44 - 8:47
    1/2乘以2乘以6
  • 8:47 - 8:51
    最後結果是6
  • 8:52 - 8:53
    運用這些方法
  • 8:53 - 8:56
    我們可以通過計算
  • 8:56 - 8:57
    算出幾乎所有線段的長度
  • 8:57 - 8:58
    也可以用不同的方法
  • 8:58 - 9:00
    算出每一個區域的面積
Title:
Median Centroid Right Triangle Example
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:01

Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles

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