< Return to Video

Median Centroid Right Triangle Example

  • 0:00 - 0:05
    我们已知边AE等于12
  • 0:05 - 0:11
    边EC等于18
  • 0:11 - 0:14
    所有的中线都已画出
  • 0:14 - 0:15
    我们看得出来是中线
  • 0:15 - 0:17
    它们与对边相交的交点
  • 0:17 - 0:20
    把对边平分
  • 0:20 - 0:24
    这边ED和CB分别与DC和BA相等
  • 0:24 - 0:28
    AF等于EF 所以F B D是中点
  • 0:28 - 0:30
    G就是质心
  • 0:30 - 0:32
    质心就是中线的交点
  • 0:32 - 0:38
    有关质心的第一个问题就是
  • 0:38 - 0:42
    这个三角形BGC的面积是多少
  • 0:42 - 0:46
    要算出三角形的面积
  • 0:46 - 0:50
    我们来回想一下质心的定义
  • 0:50 - 0:53
    质心是三角形三条中线的交点
  • 0:53 - 0:55
    它把三角形分成六个面积相等的小三角形
  • 0:55 - 0:57
    所以我们只要知道整个三角形的面积
  • 0:57 - 0:59
    就能算出小三角形的面积
  • 0:59 - 1:01
    我们来看看这个直角三角形
  • 1:01 - 1:05
    AE等于12
  • 1:05 - 1:08
    我们要用它乘以另一个直角边
  • 1:08 - 1:12
    EC等于18
  • 1:12 - 1:19
    所以三角形AEC的面积就是
  • 1:19 - 1:24
    1/2乘以底18和高12
  • 1:24 - 1:30
    得出结果是108
  • 1:30 - 1:34
    这就是整个大直角三角形AEC的面积
  • 1:34 - 1:36
    要得出小三角形BGC的面积
  • 1:36 - 1:40
    或者是任意一个小三角形的
  • 1:40 - 1:42
    或者更准确地说
  • 1:42 - 1:44
    由中线分割出来的任意一个小三角形
  • 1:44 - 1:47
    我们只要把整个三角形的面积除以6
  • 1:47 - 1:50
    因为我们之前已经证明过这六个三角形面积相等
  • 1:50 - 1:56
    所以三角形BGC的面积等于三角形AEC的1/6
  • 1:56 - 2:01
    就是108除以6
  • 2:01 - 2:06
    十位为1还余48
  • 2:06 - 2:09
    最终结果是18
  • 2:09 - 2:15
    验证一下18乘以6确实是108
  • 2:15 - 2:18
    所以我们知道这一部分面积是18
  • 2:18 - 2:20
    我们也可以知道
  • 2:20 - 2:23
    所有以中线为边的小三角形
  • 2:23 - 2:26
    都有同样的面积18
  • 2:26 - 2:30
    例如三角形FGE面积即是18
  • 2:30 - 2:32
    我们完成了三角形面积的计算
  • 2:32 - 2:38
    现在让我们看看下个问题
  • 2:38 - 2:43
    这条中线上较长的一边AG的长度是多少
  • 2:43 - 2:47
    我们先来回顾一下定义
  • 2:47 - 2:49
    三角形的质心是三条中线的交点
  • 2:49 - 2:52
    它是中线的一个三等分点
  • 2:52 - 2:55
    它把中线分为两条线段
  • 2:55 - 2:57
    这两条线段的比例是2:1
  • 2:57 - 2:59
    要求出AG的长度
  • 2:59 - 3:01
    我们只需要求出整条中线的长度
  • 3:01 - 3:04
    然后乘以2/3就行了
  • 3:04 - 3:07
    这里我们已经知道这是一个直角三角形
  • 3:07 - 3:10
    F和D是中点
  • 3:10 - 3:13
    我们已经知道AE等于12
  • 3:13 - 3:16
    这边调整了颜色的线段ED
  • 3:16 - 3:22
    长度就是18乘以1/2等于9
  • 3:22 - 3:25
    我们将要用这个ED来求中线的长度
  • 3:25 - 3:28
    根据勾股定理
  • 3:28 - 3:32
    AD是直角三角形的斜边
  • 3:32 - 3:35
    我们现在来看三角形AED
  • 3:35 - 3:37
    让我用笔来计算
  • 3:37 - 3:43
    我们知道
  • 3:43 - 3:48
    AD的平方等于
  • 3:48 - 3:54
    9的平方加上12的平方
  • 3:54 - 4:02
    12的平方144加上9的平方81
  • 4:02 - 4:05
    等于225
  • 4:05 - 4:08
    等于AD的平方
  • 4:08 - 4:15
    AD的平方为225
  • 4:15 - 4:19
    所以我们知道
  • 4:19 - 4:22
    AD等于15
  • 4:22 - 4:24
    因为我们要求的是边的长度
  • 4:24 - 4:27
    我们不考虑负数
  • 4:27 - 4:28
    所以我们只取正的平方根
  • 4:28 - 4:32
    AD只能等于15
  • 4:32 - 4:34
    这条边是15
  • 4:34 - 4:37
    我们之前已经证明过
  • 4:37 - 4:39
    三角形的质心是三条中线的交点
  • 4:39 - 4:41
    它把三条中线三等分
  • 4:41 - 4:43
    这里AG是中线上较长的一段
  • 4:43 - 4:46
    AG的长度就是AD的2/3
  • 4:46 - 4:51
    AG等于15乘以2/3
  • 4:51 - 4:53
    最后结果是10
  • 4:53 - 4:58
    AG的长度就是10
  • 4:58 - 5:02
    第二个问题就这样解决了
  • 5:02 - 5:09
    现在来看第三个问题
  • 5:09 - 5:11
    我们要求出这个加深颜色的三角FGH的面积
  • 5:11 - 5:18
    要求出三角形FGH的面积
  • 5:18 - 5:22
    我们只需要知道HG和FH的长度
  • 5:22 - 5:25
    这里我们可以用很多种方法
  • 5:25 - 5:26
    来求出HG和FH的长度
  • 5:26 - 5:31
    我们首先来回顾一下
  • 5:31 - 5:35
    HG是三角形FGE的高
  • 5:35 - 5:43
    HG也是三角形AFG的高
  • 5:43 - 5:46
    这两个三角形的底都是6
  • 5:46 - 5:48
    两个三角形底都是6
  • 5:48 - 5:51
    这条边和这条边是6
  • 5:51 - 5:54
    他们都有高GH
  • 5:54 - 5:55
    我们早已经知道三角形的面积
  • 5:55 - 5:58
    这个三角形的面积为18
  • 5:58 - 6:02
    我们就用这边这个三角形AFG为例
  • 6:02 - 6:06
    我们知道三角形的面积
  • 6:06 - 6:10
    等于底边和高相乘除以2
  • 6:10 - 6:15
    这边这个三角形AFG的面积
  • 6:15 - 6:17
    我们就可以用GH乘以AF
  • 6:17 - 6:19
    再除以2
  • 6:19 - 6:22
    最后得出的面积一定是18
  • 6:22 - 6:25
    通过计算得出
  • 6:25 - 6:28
    3乘以GH等于18
  • 6:28 - 6:31
    等式两边同除以3
  • 6:31 - 6:35
    得出GH等于6
  • 6:35 - 6:40
    这是一种方法来求边GH
  • 6:40 - 6:42
    我们也可以用同样的方法
  • 6:42 - 6:45
    只不过换一个三角形
  • 6:45 - 6:48
    我们来看这个大一点的三角形
  • 6:48 - 6:52
    这条边是斜边
  • 6:52 - 6:53
    它的长度是整条线段的2/3
  • 6:53 - 6:55
    这条边的长度就是9乘以2/3等于6
  • 6:55 - 6:57
    这是另外一种方法求GH
  • 6:57 - 6:59
    无论什么方法我们都得出GH等于6
  • 6:59 - 7:02
    我们现在来求FH的长度
  • 7:02 - 7:08
    我们只需知道AH的长度就可以得出FH的长度
  • 7:08 - 7:12
    我们已经知道AF等于6
  • 7:12 - 7:16
    FH就等于AH减去AF
  • 7:16 - 7:18
    所以我们要先求出AH长度
  • 7:18 - 7:20
    我们可以用与上面相同的方法来求AH
  • 7:20 - 7:22
    我们用严谨的方式来求AH
  • 7:22 - 7:26
    这个大的三角形和这个小的三角形
  • 7:26 - 7:30
    都有个直角
  • 7:30 - 7:32
    他们也有一个同样的非直角
  • 7:32 - 7:33
    他们有两个相同的角
  • 7:33 - 7:36
    所以他们是相似三角形
  • 7:36 - 7:41
    我们要求这两个三角形的相似比
  • 7:41 - 7:46
    AH比上AE等于AG比上AD
  • 7:46 - 7:55
    AE等于12 AG等于10
  • 7:55 - 7:57
    AD等于15
  • 7:57 - 8:01
    直接可以看出AH等于12的2/3
  • 8:01 - 8:02
    我们通过计算来演示一遍
  • 8:02 - 8:04
    运用相似三角形的性质
  • 8:04 - 8:07
    等号右边是2/3
  • 8:07 - 8:10
    两边同时乘以12
  • 8:10 - 8:14
    右边等于4
  • 8:14 - 8:22
    AH等于8 AF等于6
  • 8:22 - 8:27
    所以这里的FH等于2
  • 8:27 - 8:29
    现在我们有了足够的信息
  • 8:29 - 8:31
    用这些信息我们就可以求出三角形FGH的面积
  • 8:31 - 8:34
    让我写下来算
  • 8:34 - 8:38
    三角形FGH的面积等于
  • 8:38 - 8:40
    1/2乘以底FH再乘以高
  • 8:40 - 8:44
    我也可以用别的边做底
  • 8:44 - 8:47
    1/2乘以2乘以6
  • 8:47 - 8:51
    最后结果是6
  • 8:52 - 8:53
    运用这些方法
  • 8:53 - 8:56
    我们可以通过计算
  • 8:56 - 8:57
    算出几乎所有线段的长度
  • 8:57 - 8:58
    也可以用不同的方法
  • 8:58 - 9:00
    算出每一个区域的面积
Title:
Median Centroid Right Triangle Example
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:01

Chinese, Simplified subtitles

Incomplete

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.