Median Centroid Right Triangle Example

Vi ved, at AE er lig med 12. Det er den her side.

EC er lig med 18.

Der er allerede tegnet en masse medianer.

Det er medianer,

fordi de halverer den modstående side.

De her 2 længder er lige store.

ED er lig med DC, og CB er lig med BA.

AF er lig med F. B og D er midtpunkterne.

G er det geometriske tyngdepunkt,

hvor medianerne krydser hinanden.

Hvad er arealet af BGC?

BGC er den her trekant.

Vi skal huske på,

at de 3 medianer i en trekant deler

trekanten op i 6 mindre trekanter

med lige store arealer.

Hvis vi kan udregne hele trekantens areal,

kan vi finde arealet af BGC.

Det er en retvinklet trekant.

AE er den her længde.

Den er 12.

Hele den her længde er 18.

Hvad er arealet af AEC så?

En halv gange grundlinje gange højde. Grundlinjen er 18, og højden er 12.

Det er altså en halv gange 18 gange 12, som er 108.

Det er arealet af hele trekant AEC.

Hvis vi vil finde arealet af BGC,

der er dannet af medianerne,

skal vi dividere hele trekantens areal med 6.

.

De har jo alle lige store arealer.

Arealet af BGC er lig med arealet af AEC over 6.

Det er 108 divideret med 6.

Hvad er det?

Det er 18.

108 er det samme som 18 gange 6.

Det er altså den første del af opgaven. Arealet her er 18.

Enhver af de trekanter, der er dannet af medianerne,

har et areal på 18.

Det her er 18, og det her er 18.

FGE-trekanten er 18.

Nu bliver vi spurgt,

hvad længden af AG er.

AG er den lange del af den her median.

For at finde ud af længden skal vi huske på,

at det geometriske tyngdepunkt altid er

2 tredjedele langs medianen.

Det deler medianen op i 2 linjestykker,

der har et længdeforhold på 2 til 1.

Hvis vi kender hele medianens længde,

kan vi altså tage 2 tredjedele af det.

Så vil vi få AG's længde.

Heldigvis er det en retvinklet trekant,

og vi ved, at F og D er midtpunkter.

Vi ved for eksempel, at AE er 12.

ED er det halve af 18.

ED er altså 9.

.

Vi kan nu bruge Pythagoras læresætning til at regne AD ud.

AD er hypotenusen i den retvinklede trekant AED.

.

Vi ved,

at 12 i anden plus 9 i anden

er lig med AD i anden.

12 i anden er 144.

144 plus 81.

144 plus 81 er lig med AD i anden.

Det er 225.

225 er lig med AD i anden.

225 er lig med 15 i anden,

så AD er lig med 15.

Vi kan tage den positive kvadratrod af 225.

Vi arbejder med sidelængder,

så vi vil ikke have negative tal.

AD er lig med 15.

Den her længde er altså 15.

AG er lig med 2 tredjedele af AD.

.

Vi har i en anden video vist,

at det geometriske tyngdepunkt er 2 tredjedele langs

en hvilken som helst median.

Den er lig med 2/3 gange 15.

Det er lig med 10.

AG her er altså lig med 10.

Nu har vi løst anden del.

Hvad er arealet af FGH?

Hvis vi kendte længden af HG og FH,

kunne vi nemt udregne,

hvad arealet er.

Der er flere måder at gøre det på.

.

En måde at finde længden af HG på

er at huske,

at HG er højden på enten trekant FGE eller trekant AFG.

De har begge en grundlinje på 6.

Det her er 6,

og det her er 6.

De har en højde lig med HG.

Vi kender allerede arealet.

Det er lig med 18.

.

Vi snakker om arealet af trekant AFG.

Vi ved, at det er en halv gange grundlinjen,

som er 6, gange højden, som er HG.

En halv gange grundlinje gange højde

er lig med arealet af trekanten.

Det er lig med 18.

.

Det her er 3 gange HG er lig med 18.

Hvis vi dividerer begge sider med 3,

er HG lig med 6.

HG er lig med 6.

Vi kan også bruge et argument om ligedannethed.

Vi kan kigge på den her trekant,

som er ligedannet med den her trekant.

Den her hypotenuse er 2/3 af længden

af det hele.

Den er altså 2/3 af 9.

Det er igen 6.

Lige meget hvilken måde vi bruger, får vi 6.

Nu skal vi regne ud, hvad FH er.

Hvis vi kender AH, kan vi udregne FH.

Vi kender AH, fordi vi ved, at A til F er 6.

FH er altså AH minus AF.

Hvad er AH?

Igen kan vi bruge et argument om ligedannethed.

Vi kan se,

at begge de store trekanter

og den her lille trekant har en vinkel på 90 grader.

De har alle sammen den her vinkel tilfælles.

De har altså 2 vinkler tilfælles,

så de er helt sikkert ligedannede.

Vi ved,

at forholdet mellem AH og AE, som er 12,

er lig med forholdet mellem AG, som er 10, og AD,

som er 15.

H er altså 2/3 af 12.

Nu kan vi se på matematikken

ved at bruge de ligedannede trekanter.

Den her side er 2/3.

Vi ganger begge sider med 12.

AH er lig med 2/3 gange 12.

AH er altså 8, og AF er 6.

FH er lig med 2.

Nu har vi nok information

til at udregne arealet af FHG.

.

Det er en halv gange grundlinjen,

som er FH, gange højden.

.

En halv gange 2 gange 6.

Det er lig med 6.

Vi kan fortsætte på den måde

og finde alle linjestykkernes længde

ved at bruge de her metoder.

Vi har allerede udregnet de fleste arealer.

Vi er nu færdige.