< Return to Video

Уравнения с модулем

  • 0:01 - 0:04
    Давайте решим несколько уравнений с модулями
  • 0:04 - 0:05
    Для начала вспомним,
  • 0:05 - 0:08
    когда вы берете модуль числа.
  • 0:08 - 0:11
    Скажем, я беру модуль от -1.
  • 0:11 - 0:12
    Что вы на самом деле делаете?
  • 0:12 - 0:16
    Вы говорите, как далеко это число находится от 0?
  • 0:16 - 0:21
    И в случае -1, если мым нарисуем числовую прямую,
  • 0:21 - 0:23
    это очень плохо нарисованная числовая прямая.
  • 0:23 - 0:26
    Если мы нарисуем числовую прямую, это 0.
  • 0:26 - 0:28
    Здесь будет -1.
  • 0:28 - 0:30
    Это на расстоянии 1 от 0.
  • 0:30 - 0:33
    Таким образом, модуль -1 это 1.
  • 0:33 - 0:39
    И модуль 1 - тоже на расстоянии 1 от 0.
  • 0:39 - 0:41
    Он равен 1.
  • 0:41 - 0:44
    Таким образом, модуль числа - это расстояние от нуля.
  • 0:44 - 0:46
    Иначе, я думаю так проще,
  • 0:46 - 0:49
    это всегда положительная версия числа.
  • 0:49 - 0:59
    Модуль -7346 равен 7346.
  • 0:59 - 1:01
    Помня об этом, давайте попробуем
  • 1:01 - 1:05
    решить несколько уравнений с модулями.
  • 1:05 - 1:07
    Скажем, у меня естьуравнение
  • 1:07 - 1:14
    модуль х-5 равно 10.
  • 1:14 - 1:16
    И если интерпретировать это первым способом,
  • 1:16 - 1:18
    и я хочу, чтобы вы подумали над этим, это говорит,
  • 1:18 - 1:23
    что расстояние между x и 5 равно 10.
  • 1:23 - 1:27
    Так сколько чисел находятся на расстоянии ровно 10 от 5.
  • 1:27 - 1:29
    И вы можете уже решить это уравнение,
  • 1:29 - 1:32
    но я покажу вам алгоритм решения таких уравнений.
  • 1:32 - 1:37
    Это может быть правдой в двух случаях.
  • 1:37 - 1:42
    Либо х-5 равно +10.
  • 1:42 - 1:45
    Если это равно +10,
  • 1:45 - 1:47
    то когда вы возьмете модуль,
  • 1:47 - 1:48
    вы получите +10.
  • 1:48 - 1:53
    Или же х-5 равно -10.
  • 1:53 - 1:59
    Если х-5 равно -10, когда вы возьмете модуль,
  • 1:59 - 2:00
    вы опять получите 10.
  • 2:00 - 2:04
    Таким образом, х-5 также может быть равным -10.
  • 2:04 - 2:08
    Оба этих случая будут удовлетворять условиям уравнения.
  • 2:08 - 2:09
    Теперь, чтобы решить это уравнение,
  • 2:09 - 2:12
    добавим 5 к обоим частям этого уравнения.
  • 2:12 - 2:14
    Вы получаете х равно 15.
  • 2:14 - 2:18
    Чтобы решить это уравнение, добавьте 5 к обеим частям уравнения.
  • 2:18 - 2:21
    х равно -5.
  • 2:21 - 2:22
    То есть наше решение
  • 2:22 - 2:25
    содержит два х, которые удовлетворяют этому уравнению.
  • 2:25 - 2:27
    х может быть 15.
  • 2:27 - 2:30
    15-5 это 10, возьмите модуль,
  • 2:30 - 2:33
    и вы получите 10, или х может быть -5.
  • 2:33 - 2:36
    -5 минус 5 это -10.
  • 2:36 - 2:39
    Возьмите модуль, вы получите 10.
  • 2:39 - 2:42
    Добавлю, что оба этих числа
  • 2:42 - 2:46
    находятся на расстоянии ровно 10 от числа 5.
  • 2:46 - 2:48
    Давайте решим еще одно подобное.
  • 2:48 - 2:51
    Давайте решим еще одно.
  • 2:51 - 2:52
    Скажем, у нас есть
  • 2:52 - 2:59
    модуль х + 2 равно 6.
  • 2:59 - 3:00
    О чем это говорит нам?
  • 3:00 - 3:03
    Это значит, что либо х + 2,
  • 3:03 - 3:07
    то, что написано внутри модуля, равно 6.
  • 3:07 - 3:10
    Или выражение под знаком модуля,
  • 3:10 - 3:12
    х + 2, может также быть -6.
  • 3:12 - 3:14
    Если все это равно -6,
  • 3:14 - 3:16
    вы возьмете модуль и получите 6.
  • 3:16 - 3:20
    То есть, или х + 3 может быть равно 6.
  • 3:20 - 3:23
    И затем, если вы вычтете 2 из обеих частей этого уравнения,
  • 3:23 - 3:26
    вы получите, что х может быть равно 4.
  • 3:26 - 3:30
    Если вы вычтете 2 из обеих частей этого уравнения,
  • 3:30 - 3:34
    вы получите, что х может быть равно -8.
  • 3:34 - 3:37
    Таким образом, мы имеем два решения уравнения.
  • 3:37 - 3:40
    И чтобы понять результат, вспомним, что
  • 3:40 - 3:42
    модуль можно рассматривать как расстояние,
  • 3:42 - 3:44
    и вы можете переписать эту задачу
  • 3:44 - 3:50
    как модуль х минус -2 равно 6.
  • 3:50 - 3:53
    То здесь нужно узнать,
  • 3:53 - 3:58
    какие значения х находятся на расстоянии ровно 6 от -2.
  • 3:58 - 3:59
    Помните, здесь выше мы говорили,
  • 3:59 - 4:04
    какие значения х находятся на расстоянии 10 от +5?
  • 4:04 - 4:06
    Из какого бы числа вы ни вычитали +5,
  • 4:06 - 4:09
    они оба на расстоянии 10 от +5.
  • 4:09 - 4:10
    Это спрашивает,
  • 4:10 - 4:13
    что находится на расстоянии 6 от -2?
  • 4:13 - 4:16
    И это будут 4 или -8.
  • 4:16 - 4:18
    Вы можете проверить эти числа самостоятельно.
  • 4:18 - 4:20
    Давайте решим еще одно подобное уравнение.
  • 4:20 - 4:25
    Давайте решим еще одно, и мы напишем его фиолетовым.
  • 4:25 - 4:30
    Скажем, у нас есть модуль 4х.
  • 4:30 - 4:31
    Я немного изменю его.
  • 4:31 - 4:33
    4х -1.
  • 4:33 - 4:37
    Модуль 4х -1 равен...
  • 4:37 - 4:40
    пусть будет... равен 10.
  • 4:40 - 4:42
    Как и в предыдущих уравнениях,
  • 4:42 - 4:48
    4х -1 может быть равен 19.
  • 4:48 - 4:52
    Или 4х - 1 может быть равен -19.
  • 4:52 - 4:53
    Потому что когда вы возьмете модуль,
  • 4:53 - 4:55
    вы получите 19.
  • 4:55 - 4:59
    Или 4х -й может быть равно -19.
  • 4:59 - 5:01
    Потом вы просто решаете эти два уравнения.
  • 5:01 - 5:03
    Прибавим 1 к обеим частям этого уравнения.
  • 5:03 - 5:04
    мы даже можем решать их одновременно.
  • 5:04 - 5:09
    Добавьте 1 к обеим частям этого, вы получите 4х = 10.
  • 5:09 - 5:11
    Добавьте 1 к обеим частям этого уравнения,
  • 5:11 - 5:15
    вы получите 4х = -18.
  • 5:15 - 5:20
    Разделите обе части этого на 4, вы получите х равно 5.
  • 5:20 - 5:24
    Поделите обе части этого на 4, вы получите х равно -18/4,
  • 5:24 - 5:32
    что равно -9/2.
  • 5:32 - 5:36
    Оба этих значения х удовлетворяют уравнению.
  • 5:36 - 5:37
    Проверьте.
  • 5:37 - 5:40
    -9/2 умножить на 4.
  • 5:40 - 5:42
    Это будет -18.
  • 5:42 - 5:44
    -18 минус 1 равно -19.
  • 5:44 - 5:47
    Возьмите модуль, вы получите 19.
  • 5:47 - 5:50
    Возьмите 5 здесь, 4 умножить на равно 20.
  • 5:50 - 5:52
    Минус 1 это +19.
  • 5:52 - 5:53
    Возьмите модуль.
  • 5:53 - 5:56
    И опять вы получите 19.
  • 5:56 - 5:59
    Давайте попробуем нарисовать это, ради интереса.
  • 5:59 - 5:59
    Скажем
  • 5:59 - 6:05
    У меня есть у = модулю х +3.
  • 6:05 - 6:08
    То есть это функция
  • 6:08 - 6:09
    с модулем в ней.
  • 6:09 - 6:12
    Давайте подумаем о двух случаях.
  • 6:12 - 6:13
    Вот один случай,
  • 6:13 - 6:16
    когда выражение под модулем положительное.
  • 6:16 - 6:19
    Это случай, когда х + 3
  • 6:19 - 6:23
    Я напишу это здесь: х + 3 > 0.
  • 6:23 - 6:29
    И еще один случай, когда х + 3 < 0.
  • 6:29 - 6:33
    Если х + 3 > 0,
  • 6:33 - 6:36
    этот график, или эта линия... или я думаю мы не можем назвать это линией...
  • 6:36 - 6:42
    эта функция , это то же самое, что у = х + 3.
  • 6:42 - 6:44
    Если это выражение > 0,
  • 6:44 - 6:47
    тогда знак модуля не имеет значения.
  • 6:47 - 6:49
    То есть, тогда это то же самое,
  • 6:49 - 6:50
    что у = х + 3.
  • 6:50 - 6:53
    Но когда х + 3 > 0?
  • 6:53 - 6:56
    Ну, если вы вычтите 3 из обеих частей,
  • 6:56 - 7:00
    вы получите х > -3.
  • 7:00 - 7:02
    То есть, если х > -3,
  • 7:02 - 7:08
    то этот график будет выглядеть, как график у = х + 3.
  • 7:08 - 7:12
    Теперь, когда х + 3 < 0.
  • 7:12 - 7:13
    Это случай, когда это выражение
  • 7:13 - 7:17
    под модулем имеет отрицательное значение,
  • 7:17 - 7:20
    в такой ситуации неравенство будет таким
  • 7:20 - 7:26
    у = - (х + 3).
  • 7:26 - 7:28
    Как это понимать?
  • 7:28 - 7:31
    Посмотите, если это будет отрицательным числом,
  • 7:31 - 7:33
    если х плюс 3 будет отрицательным числом, что мы имеем здесь,
  • 7:33 - 7:36
    если это будет отрицательным числом,
  • 7:36 - 7:38
    тогда если вы возьмете модуль отрицательного числа,
  • 7:38 - 7:40
    вы получите положительное.
  • 7:40 - 7:43
    Это как умножить его на минус 1.
  • 7:43 - 7:46
    Как вы знаете, когда вы берете модуль отричательного числа,
  • 7:46 - 7:49
    это как умножить его на минус 1,
  • 7:49 - 7:51
    потому что вы делаете его положительным.
  • 7:51 - 7:54
    И это будет случай
  • 7:54 - 7:56
    х плюс 3 меньше 0.
  • 7:56 - 8:00
    Если мы вычтем 3 из обеих частей, когда х меньше чем
  • 8:00 - 8:01
    - 3.
  • 8:01 - 8:04
    То есть, когда х меньше -3, график будет выглядеть
  • 8:04 - 8:05
    вот так.
  • 8:05 - 8:08
    Когда х больше -3, график
  • 8:08 - 8:10
    будет выглядеть вот так.
  • 8:10 - 8:11
    Давайте посмотрим, как же будет
  • 8:11 - 8:14
    выглядеть весь график.
  • 8:14 - 8:22
    Давайте, я нарисую систему координат.
  • 8:22 - 8:26
    Это Ось х, это Ось у.
  • 8:26 - 8:29
    Давайте, я перемножу это, чтобы представить это
  • 8:29 - 8:30
    в форме mх + b.
  • 8:30 - 8:36
    Это равно -х -3.
  • 8:36 - 8:37
    Давайте представим, какэтот график
  • 8:37 - 8:39
    будет выглядеть в целом.
  • 8:39 - 8:42
    -х -3.
  • 8:42 - 8:47
    Он пересекает Ось у в точке -3, так 1, 2, 3.
  • 8:47 - 8:51
    А -х, значит что он низходящий,
  • 8:51 - 8:52
    имеет наклон вниз, с коэффициентом 1.
  • 8:52 - 8:54
    Это будет выглядеть так.
  • 8:57 - 9:03
    Пересекает Ось х в точке...
  • 9:03 - 9:08
    Если у равен 0, это случится, если х
  • 9:08 - 9:09
    равен -3.
  • 9:09 - 9:10
    То есть он пройдет через эту линию,
  • 9:10 - 9:12
    эту точку, вот здесь.
  • 9:12 - 9:14
    И график, если он не ограничен здесь,
  • 9:14 - 9:16
    будет выглядеть вот так.
  • 9:20 - 9:23
    Это если мы не ограничиваем его определенным интервалос
  • 9:23 - 9:24
    на оси х.
  • 9:24 - 9:27
    А теперь этот график, как он будет выглядеть?
  • 9:27 - 9:27
    Давайте посмотрим.
  • 9:27 - 9:32
    Он пересекает Ось у в точке +3.
  • 9:32 - 9:33
    Вот так.
  • 9:33 - 9:35
    А где он пересекает Ось х?
  • 9:35 - 9:38
    Если у равен 0, х = -3.
  • 9:38 - 9:40
    То есть он тоже проходит, через эту точку, и
  • 9:40 - 9:41
    имеет коэффициент наклона 1.
  • 9:41 - 9:44
    То есть он будет выглядеть как-то так.
  • 9:44 - 9:45
    Вот как он будет выглядеть.
  • 9:45 - 9:48
    Теперь мы можем представить, что эта функция с модулем,
  • 9:48 - 9:52
    выглядит как этот фиолетовый график, когда х меньше
  • 9:52 - 9:54
    -3.
  • 9:54 - 9:57
    Если х меньше -3... вот здесь х равен
  • 9:57 - 10:00
    -3... когда х меньше
  • 10:00 - 10:03
    -3, он выглядит, как этот фиолетовый график.
  • 10:03 - 10:05
    Вот здесь.
  • 10:05 - 10:07
    Это когда х меньше -3.
  • 10:07 - 10:11
    Но если х больше -3, он выглядит, как
  • 10:11 - 10:12
    зеленый график.
  • 10:12 - 10:15
    Он выглядит вот так.
  • 10:15 - 10:17
    То есть этот график выглядит, как эта странная буква V.
  • 10:17 - 10:21
    Когда х больше -3, он положительный.
  • 10:21 - 10:25
    Поэтому у нас график с положительным наклоном.
  • 10:25 - 10:28
    Но когда х меньше -3, по существу
  • 10:28 - 10:31
    мы берем противоположную функцию, если посмотреть с этой стороны,
  • 10:31 - 10:32
    и поэтому у нас отрицательный наклон.
  • 10:32 - 10:35
    У вас получается V-образная функциия,
  • 10:35 - 10:38
    этот V-образный график, указывающий
  • 10:38 - 10:40
    на фнкцию с модулем.
Title:
Уравнения с модулем
Description:

Уравнения с модулем

more » « less
Video Language:
English
Duration:
10:41
Olga Shalina added a translation

Russian subtitles

Revisions