Уравнения с модулем

Уравнения с модулем

Давайте решим несколько уравнений с модулями

Для начала вспомним,

когда вы берете модуль числа.

Скажем, я беру модуль от -1.

Что вы на самом деле делаете?

Вы говорите, как далеко это число находится от 0?

И в случае -1, если мым нарисуем числовую прямую,

это очень плохо нарисованная числовая прямая.

Если мы нарисуем числовую прямую, это 0.

Здесь будет -1.

Это на расстоянии 1 от 0.

Таким образом, модуль -1 это 1.

И модуль 1 - тоже на расстоянии 1 от 0.

Он равен 1.

Таким образом, модуль числа - это расстояние от нуля.

Иначе, я думаю так проще,

это всегда положительная версия числа.

Модуль -7346 равен 7346.

Помня об этом, давайте попробуем

решить несколько уравнений с модулями.

Скажем, у меня естьуравнение

модуль х-5 равно 10.

И если интерпретировать это первым способом,

и я хочу, чтобы вы подумали над этим, это говорит,

что расстояние между x и 5 равно 10.

Так сколько чисел находятся на расстоянии ровно 10 от 5.

И вы можете уже решить это уравнение,

но я покажу вам алгоритм решения таких уравнений.

Это может быть правдой в двух случаях.

Либо х-5 равно +10.

Если это равно +10,

то когда вы возьмете модуль,

вы получите +10.

Или же х-5 равно -10.

Если х-5 равно -10, когда вы возьмете модуль,

вы опять получите 10.

Таким образом, х-5 также может быть равным -10.

Оба этих случая будут удовлетворять условиям уравнения.

Теперь, чтобы решить это уравнение,

добавим 5 к обоим частям этого уравнения.

Вы получаете х равно 15.

Чтобы решить это уравнение, добавьте 5 к обеим частям уравнения.

х равно -5.

То есть наше решение

содержит два х, которые удовлетворяют этому уравнению.

х может быть 15.

15-5 это 10, возьмите модуль,

и вы получите 10, или х может быть -5.

-5 минус 5 это -10.

Возьмите модуль, вы получите 10.

Добавлю, что оба этих числа

находятся на расстоянии ровно 10 от числа 5.

Давайте решим еще одно подобное.

Давайте решим еще одно.

Скажем, у нас есть

модуль х + 2 равно 6.

О чем это говорит нам?

Это значит, что либо х + 2,

то, что написано внутри модуля, равно 6.

Или выражение под знаком модуля,

х + 2, может также быть -6.

Если все это равно -6,

вы возьмете модуль и получите 6.

То есть, или х + 3 может быть равно 6.

И затем, если вы вычтете 2 из обеих частей этого уравнения,

вы получите, что х может быть равно 4.

Если вы вычтете 2 из обеих частей этого уравнения,

вы получите, что х может быть равно -8.

Таким образом, мы имеем два решения уравнения.

И чтобы понять результат, вспомним, что

модуль можно рассматривать как расстояние,

и вы можете переписать эту задачу

как модуль х минус -2 равно 6.

То здесь нужно узнать,

какие значения х находятся на расстоянии ровно 6 от -2.

Помните, здесь выше мы говорили,

какие значения х находятся на расстоянии 10 от +5?

Из какого бы числа вы ни вычитали +5,

они оба на расстоянии 10 от +5.

Это спрашивает,

что находится на расстоянии 6 от -2?

И это будут 4 или -8.

Вы можете проверить эти числа самостоятельно.

Давайте решим еще одно подобное уравнение.

Давайте решим еще одно, и мы напишем его фиолетовым.

Скажем, у нас есть модуль 4х.

Я немного изменю его.

4х -1.

Модуль 4х -1 равен...

пусть будет... равен 10.

Как и в предыдущих уравнениях,

4х -1 может быть равен 19.

Или 4х - 1 может быть равен -19.

Потому что когда вы возьмете модуль,

вы получите 19.

Или 4х -й может быть равно -19.

Потом вы просто решаете эти два уравнения.

Прибавим 1 к обеим частям этого уравнения.

мы даже можем решать их одновременно.

Добавьте 1 к обеим частям этого, вы получите 4х = 10.

Добавьте 1 к обеим частям этого уравнения,

вы получите 4х = -18.

Разделите обе части этого на 4, вы получите х равно 5.

Поделите обе части этого на 4, вы получите х равно -18/4,

что равно -9/2.

Оба этих значения х удовлетворяют уравнению.

Проверьте.

-9/2 умножить на 4.

Это будет -18.

-18 минус 1 равно -19.

Возьмите модуль, вы получите 19.

Возьмите 5 здесь, 4 умножить на равно 20.

Минус 1 это +19.

Возьмите модуль.

И опять вы получите 19.

Давайте попробуем нарисовать это, ради интереса.

Скажем

У меня есть у = модулю х +3.

То есть это функция

с модулем в ней.

Давайте подумаем о двух случаях.

Вот один случай,

когда выражение под модулем положительное.

Это случай, когда х + 3

Я напишу это здесь: х + 3 > 0.

И еще один случай, когда х + 3 < 0.

Если х + 3 > 0,

этот график, или эта линия... или я думаю мы не можем назвать это линией...

эта функция , это то же самое, что у = х + 3.

Если это выражение > 0,

тогда знак модуля не имеет значения.

То есть, тогда это то же самое,

что у = х + 3.

Но когда х + 3 > 0?

Ну, если вы вычтите 3 из обеих частей,

вы получите х > -3.

То есть, если х > -3,

то этот график будет выглядеть, как график у = х + 3.

Теперь, когда х + 3 < 0.

Это случай, когда это выражение

под модулем имеет отрицательное значение,

в такой ситуации неравенство будет таким

у = - (х + 3).

Как это понимать?

Посмотите, если это будет отрицательным числом,

если х плюс 3 будет отрицательным числом, что мы имеем здесь,

если это будет отрицательным числом,

тогда если вы возьмете модуль отрицательного числа,

вы получите положительное.

Это как умножить его на минус 1.

Как вы знаете, когда вы берете модуль отричательного числа,

это как умножить его на минус 1,

потому что вы делаете его положительным.

И это будет случай

х плюс 3 меньше 0.

Если мы вычтем 3 из обеих частей, когда х меньше чем

- 3.

То есть, когда х меньше -3, график будет выглядеть

вот так.

Когда х больше -3, график

будет выглядеть вот так.

Давайте посмотрим, как же будет

выглядеть весь график.

Давайте, я нарисую систему координат.

Это Ось х, это Ось у.

Давайте, я перемножу это, чтобы представить это

в форме mх + b.

Это равно -х -3.

Давайте представим, какэтот график

будет выглядеть в целом.

-х -3.

Он пересекает Ось у в точке -3, так 1, 2, 3.

А -х, значит что он низходящий,

имеет наклон вниз, с коэффициентом 1.

Это будет выглядеть так.

Пересекает Ось х в точке...

Если у равен 0, это случится, если х

равен -3.

То есть он пройдет через эту линию,

эту точку, вот здесь.

И график, если он не ограничен здесь,

будет выглядеть вот так.

Это если мы не ограничиваем его определенным интервалос

на оси х.

А теперь этот график, как он будет выглядеть?

Давайте посмотрим.

Он пересекает Ось у в точке +3.

Вот так.

А где он пересекает Ось х?

Если у равен 0, х = -3.

То есть он тоже проходит, через эту точку, и

имеет коэффициент наклона 1.

То есть он будет выглядеть как-то так.

Вот как он будет выглядеть.

Теперь мы можем представить, что эта функция с модулем,

выглядит как этот фиолетовый график, когда х меньше

-3.

Если х меньше -3... вот здесь х равен

-3... когда х меньше

-3, он выглядит, как этот фиолетовый график.

Вот здесь.

Это когда х меньше -3.

Но если х больше -3, он выглядит, как

зеленый график.

Он выглядит вот так.

То есть этот график выглядит, как эта странная буква V.

Когда х больше -3, он положительный.

Поэтому у нас график с положительным наклоном.

Но когда х меньше -3, по существу

мы берем противоположную функцию, если посмотреть с этой стороны,

и поэтому у нас отрицательный наклон.

У вас получается V-образная функциия,

этот V-образный график, указывающий

на фнкцию с модулем.