Absolute Value Equations

우리 절댓값을 갖는 방정식 문제를 풀어보자

그리고 복습으로서,

네가 어느 수에 절댓값을 씌운다면

내가 절댓값 -1을 한다고 하자

네가 실제로 하는 것은

그 수가 0에서 얼마나 떨어져 있을까?

-1의 경우, 우리가 여기에 수직선을 그린다면

수직선 되게 못그렸다

우리가 여기에 수직선을 그리면, 그건 0이야

저기에 -1이 있고

그건 0에서 1 떨어진 값이야

그러므로 절댓값 -1은 1이야

그리고 절댓값 1은 0에서 1만큼 떨어져 있지

이것 또한 1과 같아

그래서 어느 정도, 절대값은 0에서부터의 거리야

그러나, 나는 그걸 생각하는 더 간단한 방법을 고안했어

절댓값은 항상 그 수의 양수가 돼

-7.346의 절댓값은 7.346이야

그럼, 우리

절대값이 있는 몇몇 문제들을 풀어보자

그럼 내가 절댓값 x-5는 10이다라는

방정식이 있다고 쳐

네가 그걸 해석할 수 있는 한 가지 방법은,

그리고 난 네가 이것에 대해 생각하기를 원해, 이건

사실 x와 5의 거리가 10과 같다는 말이야.

그럼 5에서 정확히 10만큼 떨어진 숫자가 몇개나 있을까?

그리고 너는 이 방정식에 대한 해답을 이미 생각할 수 있지만,

내가 이걸 조직적으로 해결하는 방법을 알려줄게

이것은 두 가지 조건에서 참이야

x-5가 +10이거나

만일 이것이 +10으로 나온다면

그리고 네가 그것의 절댓값을 갖는다면

너는 +10을 얻게 돼

아니면 x-5가 -10이 될 수도 있어

만일 x-5가 -10이 나온다면, 그것의 절댓값을 구하면,

너는 또 10을 얻을거야

그러므로 x-5는 -10도 될 수 있어

둘 다 이 방정식을 만족해

그럼, 이 문제를 해결하기 위해서는

방정식 양쪽에 5를 더해

너는 x는 15라는 답을 얻어

이 문제를 해결하려면, 방정식 양쪽에 5를 더해

x는 -5야

그래서 우리의 해결책은,

이 방정식을 만족시키는 x가 2가지 있다는 거야

x는 15일 수 있어

15-5는 10, 절댓값을 취하면

너는 10을 얻고, 아니면 x는 -5가 될 수 있어

-5 빼기 5는 -10

절댓값을 취하면, 너는 10을 얻어

그리고 이 두 숫자들은

정확히 5에서 10만큼 떨어져 있어

이런거 또 해보자

다른 문제

우리가 절댓값 x+2는 6이다라는

식이 있다고 치자

그럼 이건 무엇을 보여줄까?

이건 절댓값 x+2가

6이 될수도 있다는 것과

절댓값 x+2가

-6이 될 수도 있다는 것을 보여줘.

이 모든게 -6으로 나왔다면

너는 절댓값을 취하고, 6을 얻어

아니면 x+2가 -6이 될 수도 있어

그리고 네가 이 방정식 양쪽에서 2를 빼면

너는 x가 4와 같다는 것을 얻어

네가 이 방정식 양쪽에서 2를 빼면,

넌 x가 -8이라는 답을 얻어

이것들은 방정식에 대한 두 해답이야

그리고 네 머릿속에 기억되기 위해

절댓값은 거리로 볼 수도 있고

너는 이 문제를 다시 쓸 수도 있어

절댓값 x-2는 6과 같다고

그래서 이건 나한테

-2에서 정확히 6만큼 떨어진 x들은 뭐지? 라고 묻는 거야

기억해, 위에서 우리는

5에서 정확히 10 떨어진 x들은 뭘까라고 했어

너가 5에서 무슨 수를 빼든,

이것들은 둘다 +5에서 10만큼 떨어져 있어

이것은

-2에서 6만큼 떨어진 게 뭐지? 라고 묻는 거야

그리고 그건 4나 -8이 되겠지

너는 그런 수를 직접 대입해 볼 수 있어

이건 것 또 해보자

이번에는 보라색으로 할게

우리에게 절댓값 4x가 있다고 하자

나는 이 문제를 조금 바꿀거야

4x -1.

절댓값 4x-1은

19야

마지막 몇 문제처럼,

4x-1이 19가 되거나

-19가 될 수 있어

네가 절댓값을 씌우면

다시 19를 얻어

아니면 4x-1은 -19가 될 수 있어

그럼 넌 이 두 문제를 막 풀었어

방정식 양쪽에 1을 더해

심지어, 동시에 할 수 있어

양쪽에 1을 더하면, 4x는 20과 같아

이 방정식에 1을 더하면,

너는 4x는 -18을 얻어

이걸 4로 나누면, x는 5가 돼

이걸 4로 나누면, x는 -18/4가 돼

그건 -9/2와 같아

그래서 두 x값 모두 이 방정식을 만족해

시도해봐

-9/2 x 4.

이건 -18이 돼

-18 빼기 1은 -19

절댓값을 취하고, 넌 19를 얻게 돼

여기에 5를 넣어, 4x5는 20이야

빼기 1은 19야

절댓값을 취해

또 19가 나올거야

재미로 이걸 그래프로 그려보자

내가

y는 절댓값 x+3과 같다는 그래프가 있다고 하지

이건 함수 또는 그래프야

절댓값이 포함되어 있지

우리 2가지 시나리오에 대해 생각해보자

한 시나리오는

절댓값 안에 있는게 양수라는 시나리오야

그래서 x+3이

여기에 쓸게 x+3>0이다

그리고 x+3<0인 시나리오도 있어

x +3 > 0일때,

이 그래프 아니면 이 선-내 생각에는 이걸 선이라고 하지 않아-

이 함수는 y는 x+3과 같아

여기 있는게 >0이면,

절댓값 표시는 무관해

그럼 이건

y는 x+3과 같아

그러나 x+3>0일때는 언제일까?

네가 양쪽에서 3을 빼면

너는 x>-3을 얻게 돼

x>-3일 때,

이 그래프는 y는 x+3과 같게 보일거야

x +3 이 < 0일 때,

절댓값 표시 안이 음수인

상황일 때

이 상황에서 이 방정식은

y는 x+3의 음수와 같아

내가 어떻게 그렇게 말하냐고?

봐, 이게 음수가 된다면,

x+3이 음수가 된다면 우리가 여기서 가정하는 것

만을 이것이 음수가 된다면

그런 뒤, 네가 음수의 절댓값을 취하면,

너는 양수로 만들수 있어

그건 -1을 곱하는 것과 같아

네가 음수의 절댓값을 취한다는 것을 알고 있으면,

-1을 곱한다는 것과 같은 거야

왜냐하면 너는 양수로 만들 것이기 때문이야

그리고 이게 상황이 되겠지

x+3은 0보다 작아

우리가 양변에서 3을 빼면,

x가 3보다 작을 때 말이야

그래서,x가 -3보다 작을 때,

그래프는 이렇게 보일꺼야

x가 -3보다 클 때,

그래프는 이렇게 보일꺼야

그럼 전체 그래프가 어떤 모양일지

한번 살펴보자

축들을 그릴게

저건 x축, 저건 y축

내가 이걸 곱할게, mx+b의 형태로

이루어질 수 있게

그래서 이건 마이너스 x 마이너스 3과 같아

이 그래프가 일반적으로

어떻게 보일까 알아보자

마이너스 x 마이너스 3

y축은 -3이므로, 1,2,3

그리고 마이너스 x는 아래로 내려간다는 뜻이므로,

아래로 내려가는 1이야

그래서 아마 이렇게 보이겠지

그럼 x축은...

y가 0과 같다면,

x가 -1과 같을 때 일어나겠지

그래서 이 선을 따라 지나겠지

여기 있는 지점으로

그리고 이 그래프에서, 바로 여기에 제한이 없다면,

이렇게 되겠지

우리가 x축 위의 특정한 간격을

제한하지 않으면 말이야

이 그래프, 어떻게 보여? 보자

+3에 y축이 있어

그렇게 말야

x축은 어디에 있을까?

y가 0과 같으면

x는 -3이야

그래서 여기를 지나고,

기울기가 1이야

그래서 이렇게 보이겠지

이 그래프는 이렇게 보여

우리가 이 절댓값에 대해 발견한 것은,

x가 -3보다 작을 때

이 보라색 그래프처럼 보인다는 거야

x가 -3보다 작을 때-저기 있네

그건 이 보라색

그래프처럼 보일거야

저기 있는거

그래서 x가 -3보다 작을 때야

그러나 x가 -3보다 클 때,

초록색 그래프처럼 보여

저렇게

그래서 이 그래프는 이상한 v자처럼 보여

x가 -3보다 클 때, 이건 양수야

그래서 우리는 양의 기울기를 가진 그래프를 가지고 있어

그러나 x가 -3보다 작으면, 우리는 반드시

함수에세 -를 빼야 해,

그럼 우리는 음의 기울기를 갖게 돼

그래서 너는 v자 모양의 함수,

v자 모양의 그래프,

절댓값 함수를 나타내는 그래프를 갖게 돼