Getting At Least One Heads

Probability of getting at least one heads in multiple flips of a fair coin

では、もっと面白い問題をやってみましょう。

確率についてきみが見つけられる事実は、

きみは常にさらに面白い問題を行えることです。

では、この事を考えて、私は1枚の偏っていないコインを取って、3回投げたとしましょう。

そして、私は少なくとも1つは表である確率を知りたいと思います。

3回投げたうちの、少なくとも1つが表。

もっとも簡単な方法は、どれだけの均等の可能性がありますか？

前回の動画で見たとおり、3回コインを投げたら、8つの可能性があります。

最初に投げて2つの可能性、2回目に投げた2つの可能性、

3回目に投げた2つの可能性。つまり、2 × 2 × 2、

3回コインを投げたら、8つの均等な可能性があります。

では、この中で少なくとも1つは表はいくつあるでしょう？

ここにすべての可能性を書いてます。なので、私たちはたんに

少なくとも1つが表の数を数えればいいのです。

ここには、1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。つまり、この中で7つが、少なくとも1つは表です。

最後のは1つもありません。なので、8分の7が、少なくとも1つが表です。

きみはおそらくこう考えるでしょう。「うん。で？」　きみは全ての可能性を書くことで答えを出せます。

ですが、もし次の問題だと、とても大変になります。

「20回投げたうちに、少なくとも表が1つのは？」

これは、3回のみなので、うまく解けたのです。

まとめると、ここで3回投げました。

ですが、もし20回投げるならば、ずっと大変で時間がかかります。

なので、もっと短く答えを出す方法はありますか？　他にこの事を考える方法はありますか？

たんに、この単純な方法で出来ません。たんにこう言えないでしょう。

「それは表の確率　掛ける　表の確率だよ」

なぜなら、最初が表ならば、もう表である必要はないからです。

あるいは、再び表を得たとしても、それは必要ないのです。

これは少しややこしくなりました。ですが、この事をもっと簡単に考える方法もあります。

きみは、ここにある方法を使えばいいのです。

この問題は実際に多くの試験で見ることがあります。

見た目は難しそうな問題です。ですが、正しい方法で考えるならば、

これら全ては突然に単純になるのです。

この事を考える一つの方法は、3回投げたうちの少なくとも1つが表の確率は、

すべてが裏で無い確率と同じだということです。

もし全てが裏だったら、それは少なくとも1つが表ではありません。

なので、この2つのことは同値なのです。3回投げて少なくとも一つが表の確率は、

3回投げて全てが裏で無い確率と同じなのです。

では、全てが裏で無い確率はなんでしょうか？

それは、　1 - 全てが裏の確率になります。

3回投げて、裏、裏、裏の確率。

なぜなら、他の場合、少なくとも一つが表だろうからです。

他の可能性全てはそうなので、これが唯一の可能性です。

全ての可能性を足していったら、1を得るでしょう。

では、描いていきましょう。新しい色で。

これが、どこから来たかを見れるように。

全てが裏で無い確率　+ 全てが裏の確率

これは本質的に網羅するやり方です。これは全ての可能な結果です。

これは全てが裏で無いか、全てが裏かのどちらかを得られます。これらは相互排他です。

なので、これらを足していけます。全てが裏で無い確率か、

何をしているのか少しはっきりさせましょう。全てが裏で無い確率「か」全てが裏の確率は、

イコール1になります。これらは相互排他です。

きみは、全てが裏で無い場合、これは表がある場合、

あるいは全てが裏の場合を得られます。これらは同時には得られないのです。

これらは相互排他なので、この確率かこちらが起こるか、

これらの確率を足していけます。これは本質的にすべての可能な事象です。

これは本質的に、もしこれらを合成していったなら、

事象すべてが起こる確率となり、

それは、1、あるいは100%の可能性になるでしょう。

つまり、この事を考える別の方法は、すべてが裏で無い確率は、

1 - 全てが裏の確率です。

これが、私たちがここで行っていたことです。

そして、全てが裏の確率は、とても直接的で、

それは2分の1になります。なぜなら、最初に投げるので裏を得るのは、2分の1だからです。

では、わかりやすいように、この事を描かせて下さい。

これは、1 - 全てが裏の確率です。

最初に投げて裏を得るのは、2分の1のチャンスです。

そして2回目に投げて、別の裏が出て、

3回目に投げたときも別の裏を得るでしょう。

つまり、2分の1 × 2分の1 × 2分の1 で、8分の1です。

そして、1 - 8分の1、あるいは 8分の8 - 8分の1 = 8分の7です。

つまり、最初の問題でやったように、全ての状況を書くのが大変だったら、

この方法を使うことができます。

では、10回投げるとしましょう。

10回投げて、少なくとも1つは表の確率です。

同じやり方でやれますね。これは、10回投げて全てが裏で無い

確率と同じになるでしょう。

全てが裏でない確率です。

投げたのが全て裏

10回投げて、すべてが裏で無い。

これは、1 - 10回すべてが裏である確率になるでしょう。

1 - 10回とも裏

これは、ここの部分はイコールです。

これを書かせてください。これは、1になり。書き直させてください。

これはイコール　1 - 、そしてこの部分は、

1つが裏、他は裏、つまり2分の1 掛ける 2分の1　掛ける

これを10回繰り返します。

5, 6, 7, 8, 9, 10。これで、分子は単に1です。

これは1になっていきます。

1...これは同じ緑の色でやりましょう。

これは、イコール1 -

分子は単に自らを10回掛けるので、1です。

分母は、2 × 2 = 4, 4 × 2 = 8,

16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

1024分の1です。

これは、1024分の1024 - 1024分の1と同じです。

これはイコール　1024分の1023です。

共通の分母がここにあるので、私は同じ青色で1024。

つまり、10回コインを投げたら、偏りの無いコインなら、

10回のうちに少なくとも1つが表である確率は、

極めて高いです。それは1024分の1023です。きみは電卓を使って、

パーセンテージを計算することも出来ます。

では、楽しみのためにやってみましょう。

1023を1024で割って、答えは...

答えは、99.9%で、少なくとも1つが表を得られます。

これはイコール99.9%で、これは少し小数点を丸めているので、

実際には少し高いです。

そして、これは極めて強力な道具です。このことを考える極めて強力な方法です。

なぜなら、これは全ての場合を永遠に書いていく手間を取るからです。

実際、もし書いていたら、1024の場合になってたでしょう。

この10回投げる実習で、私たちの時間は全て取られてたでしょうね。

ですが、このことを少し違った方法で考えるならば、きみはこう言えます。

「10回投げたうち、少なくとも1つが表の確率は、

全てが裏で無い確率と同じだよ、

それは、1 - 全てが裏の確率だよ」

そして、これは実際にはとても簡単な考えなのです。