WEBVTT

00:00:00.255 --> 00:00:02.856
では、もっと面白い問題をやってみましょう。

00:00:02.856 --> 00:00:05.178
確率についてきみが見つけられる事実は、

00:00:05.178 --> 00:00:07.593
きみは常にさらに面白い問題を行えることです。

00:00:07.593 --> 00:00:12.980
では、この事を考えて、私は1枚の偏っていないコインを取って、3回投げたとしましょう。

00:00:12.980 --> 00:00:17.000
そして、私は少なくとも1つは表である確率を知りたいと思います。

00:00:17.000 --> 00:00:24.311
3回投げたうちの、少なくとも1つが表。

00:00:24.311 --> 00:00:28.909
もっとも簡単な方法は、どれだけの均等の可能性がありますか？

00:00:28.909 --> 00:00:34.714
前回の動画で見たとおり、3回コインを投げたら、8つの可能性があります。

00:00:34.714 --> 00:00:39.636
最初に投げて2つの可能性、2回目に投げた2つの可能性、

00:00:39.636 --> 00:00:44.050
3回目に投げた2つの可能性。つまり、2 × 2 × 2、

00:00:44.081 --> 00:00:49.681
3回コインを投げたら、8つの均等な可能性があります。

00:00:51.748 --> 00:00:53.708
では、この中で少なくとも1つは表はいくつあるでしょう？

00:00:53.708 --> 00:00:56.123
ここにすべての可能性を書いてます。なので、私たちはたんに

00:00:56.123 --> 00:00:57.933
少なくとも1つが表の数を数えればいいのです。

00:00:57.933 --> 00:01:07.175
ここには、1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。つまり、この中で7つが、少なくとも1つは表です。

00:01:07.175 --> 00:01:13.213
最後のは1つもありません。なので、8分の7が、少なくとも1つが表です。

00:01:13.213 --> 00:01:16.835
きみはおそらくこう考えるでしょう。「うん。で？」　きみは全ての可能性を書くことで答えを出せます。

00:01:16.835 --> 00:01:19.203
ですが、もし次の問題だと、とても大変になります。

00:01:19.203 --> 00:01:22.175
「20回投げたうちに、少なくとも表が1つのは？」

00:01:22.175 --> 00:01:24.172
これは、3回のみなので、うまく解けたのです。

00:01:24.172 --> 00:01:26.541
まとめると、ここで3回投げました。

00:01:31.141 --> 00:01:33.733
ですが、もし20回投げるならば、ずっと大変で時間がかかります。

00:01:33.733 --> 00:01:38.569
なので、もっと短く答えを出す方法はありますか？　他にこの事を考える方法はありますか？

00:01:38.569 --> 00:01:43.073
たんに、この単純な方法で出来ません。たんにこう言えないでしょう。

00:01:43.073 --> 00:01:45.395
「それは表の確率　掛ける　表の確率だよ」

00:01:45.395 --> 00:01:50.968
なぜなら、最初が表ならば、もう表である必要はないからです。

00:01:50.968 --> 00:01:53.569
あるいは、再び表を得たとしても、それは必要ないのです。

00:01:53.569 --> 00:01:57.888
これは少しややこしくなりました。ですが、この事をもっと簡単に考える方法もあります。

00:01:57.888 --> 00:02:00.721
きみは、ここにある方法を使えばいいのです。

00:02:00.721 --> 00:02:03.321
この問題は実際に多くの試験で見ることがあります。

00:02:03.321 --> 00:02:06.200
見た目は難しそうな問題です。ですが、正しい方法で考えるならば、

00:02:06.200 --> 00:02:08.058
これら全ては突然に単純になるのです。

00:02:08.058 --> 00:02:12.333
この事を考える一つの方法は、3回投げたうちの少なくとも1つが表の確率は、

00:02:12.333 --> 00:02:24.312
すべてが裏で無い確率と同じだということです。

00:02:24.312 --> 00:02:30.581
もし全てが裏だったら、それは少なくとも1つが表ではありません。

00:02:30.581 --> 00:02:34.389
なので、この2つのことは同値なのです。3回投げて少なくとも一つが表の確率は、

00:02:34.389 --> 00:02:39.533
3回投げて全てが裏で無い確率と同じなのです。

00:02:39.533 --> 00:02:48.647
では、全てが裏で無い確率はなんでしょうか？

00:02:48.647 --> 00:02:53.987
それは、　1 - 全てが裏の確率になります。

00:02:53.987 --> 00:03:01.400
3回投げて、裏、裏、裏の確率。

00:03:01.400 --> 00:03:05.969
なぜなら、他の場合、少なくとも一つが表だろうからです。

00:03:05.969 --> 00:03:09.634
他の可能性全てはそうなので、これが唯一の可能性です。

00:03:09.849 --> 00:03:12.377
全ての可能性を足していったら、1を得るでしょう。

00:03:12.377 --> 00:03:18.123
では、描いていきましょう。新しい色で。

00:03:18.262 --> 00:03:20.365
これが、どこから来たかを見れるように。

00:03:20.365 --> 00:03:31.422
全てが裏で無い確率　+ 全てが裏の確率

00:03:31.622 --> 00:03:35.969
これは本質的に網羅するやり方です。これは全ての可能な結果です。

00:03:35.969 --> 00:03:41.333
これは全てが裏で無いか、全てが裏かのどちらかを得られます。これらは相互排他です。

00:03:41.333 --> 00:03:49.667
なので、これらを足していけます。全てが裏で無い確率か、

00:03:49.667 --> 00:03:57.587
何をしているのか少しはっきりさせましょう。全てが裏で無い確率「か」全てが裏の確率は、

00:03:57.587 --> 00:04:02.667
イコール1になります。これらは相互排他です。

00:04:02.667 --> 00:04:06.642
きみは、全てが裏で無い場合、これは表がある場合、

00:04:06.642 --> 00:04:09.940
あるいは全てが裏の場合を得られます。これらは同時には得られないのです。

00:04:09.940 --> 00:04:14.600
これらは相互排他なので、この確率かこちらが起こるか、

00:04:14.600 --> 00:04:16.859
これらの確率を足していけます。これは本質的にすべての可能な事象です。

00:04:16.859 --> 00:04:24.243
これは本質的に、もしこれらを合成していったなら、

00:04:24.243 --> 00:04:26.937
事象すべてが起こる確率となり、

00:04:26.937 --> 00:04:30.512
それは、1、あるいは100%の可能性になるでしょう。

00:04:30.512 --> 00:04:34.460
つまり、この事を考える別の方法は、すべてが裏で無い確率は、

00:04:34.460 --> 00:04:37.525
1 - 全てが裏の確率です。

00:04:37.525 --> 00:04:39.522
これが、私たちがここで行っていたことです。

00:04:39.522 --> 00:04:43.098
そして、全てが裏の確率は、とても直接的で、

00:04:43.098 --> 00:04:47.333
それは2分の1になります。なぜなら、最初に投げるので裏を得るのは、2分の1だからです。

00:04:47.333 --> 00:04:52.933
では、わかりやすいように、この事を描かせて下さい。

00:04:52.933 --> 00:04:57.587
これは、1 - 全てが裏の確率です。

00:04:57.587 --> 00:05:00.267
最初に投げて裏を得るのは、2分の1のチャンスです。

00:05:00.267 --> 00:05:03.531
そして2回目に投げて、別の裏が出て、

00:05:03.531 --> 00:05:06.271
3回目に投げたときも別の裏を得るでしょう。

00:05:06.271 --> 00:05:12.587
つまり、2分の1 × 2分の1 × 2分の1 で、8分の1です。

00:05:12.587 --> 00:05:20.571
そして、1 - 8分の1、あるいは 8分の8 - 8分の1 = 8分の7です。

00:05:20.971 --> 00:05:24.661
つまり、最初の問題でやったように、全ての状況を書くのが大変だったら、

00:05:24.661 --> 00:05:26.519
この方法を使うことができます。

00:05:26.519 --> 00:05:34.878
では、10回投げるとしましょう。

00:05:34.878 --> 00:05:46.581
10回投げて、少なくとも1つは表の確率です。

00:05:46.581 --> 00:05:52.850
同じやり方でやれますね。これは、10回投げて全てが裏で無い

00:05:52.850 --> 00:06:01.581
確率と同じになるでしょう。

00:06:01.581 --> 00:06:07.572
全てが裏でない確率です。

00:06:07.572 --> 00:06:09.662
投げたのが全て裏

00:06:09.662 --> 00:06:12.587
10回投げて、すべてが裏で無い。

00:06:12.587 --> 00:06:17.510
これは、1 - 10回すべてが裏である確率になるでしょう。

00:06:17.510 --> 00:06:21.643
1 - 10回とも裏

00:06:21.643 --> 00:06:29.909
これは、ここの部分はイコールです。

00:06:29.909 --> 00:06:33.996
これを書かせてください。これは、1になり。書き直させてください。

00:06:33.996 --> 00:06:37.340
これはイコール　1 - 、そしてこの部分は、

00:06:37.340 --> 00:06:42.309
1つが裏、他は裏、つまり2分の1 掛ける 2分の1　掛ける

00:06:42.309 --> 00:06:50.018
これを10回繰り返します。

00:06:50.018 --> 00:06:58.842
5, 6, 7, 8, 9, 10。これで、分子は単に1です。

00:06:58.842 --> 00:07:01.535
これは1になっていきます。

00:07:01.535 --> 00:07:07.667
1...これは同じ緑の色でやりましょう。

00:07:07.667 --> 00:07:11.334
これは、イコール1 -

00:07:11.334 --> 00:07:13.656
分子は単に自らを10回掛けるので、1です。

00:07:13.656 --> 00:07:19.972
分母は、2 × 2 = 4, 4 × 2 = 8,

00:07:19.972 --> 00:07:29.678
16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

00:07:29.678 --> 00:07:32.705
1024分の1です。

00:07:32.828 --> 00:07:46.412
これは、1024分の1024 - 1024分の1と同じです。

00:07:46.720 --> 00:07:53.289
これはイコール　1024分の1023です。

00:07:53.504 --> 00:07:58.867
共通の分母がここにあるので、私は同じ青色で1024。

00:07:59.236 --> 00:08:07.294
つまり、10回コインを投げたら、偏りの無いコインなら、

00:08:07.294 --> 00:08:10.313
10回のうちに少なくとも1つが表である確率は、

00:08:10.313 --> 00:08:15.867
極めて高いです。それは1024分の1023です。きみは電卓を使って、

00:08:15.867 --> 00:08:18.532
パーセンテージを計算することも出来ます。

00:08:18.532 --> 00:08:20.204
では、楽しみのためにやってみましょう。

00:08:20.204 --> 00:08:27.236
1023を1024で割って、答えは...

00:08:27.467 --> 00:08:33.626
答えは、99.9%で、少なくとも1つが表を得られます。

00:08:34.042 --> 00:08:41.706
これはイコール99.9%で、これは少し小数点を丸めているので、

00:08:41.706 --> 00:08:44.214
実際には少し高いです。

00:08:44.214 --> 00:08:47.511
そして、これは極めて強力な道具です。このことを考える極めて強力な方法です。

00:08:47.511 --> 00:08:51.923
なぜなら、これは全ての場合を永遠に書いていく手間を取るからです。

00:08:51.923 --> 00:08:56.613
実際、もし書いていたら、1024の場合になってたでしょう。

00:08:56.613 --> 00:09:02.867
この10回投げる実習で、私たちの時間は全て取られてたでしょうね。

00:09:02.867 --> 00:09:05.462
ですが、このことを少し違った方法で考えるならば、きみはこう言えます。

00:09:05.615 --> 00:09:08.933
「10回投げたうち、少なくとも1つが表の確率は、

00:09:08.933 --> 00:09:11.533
全てが裏で無い確率と同じだよ、

00:09:11.533 --> 00:09:14.585
それは、1 - 全てが裏の確率だよ」

00:09:14.585 --> 99:59:59.999
そして、これは実際にはとても簡単な考えなのです。