Πώς το πρόβλημα των γεφυρών του Κένινγκσμπεργκ άλλαξε τα μαθηματικά -- Νταν Φαν ντερ Φίρεν

Δείτε όλο το μάθημα: http://ed.ted.com/lessons/how-the-konigsberg-bridge-problem-changed-mathematics-dan-van-der-vieren

Θα δυσκολευόσασταν να βρείτε τη μεσαιωνική πόλη του Κένινγκσμπεργκ σε έναν σύγχρονο χάρτη αλλά μία ιδιαιτερότητα της γεωγραφίας του το έκανε μία από τις πιο διάσημες πόλεις των Μαθηματικών. Ο Νταν Φαν ντερ Φίρεν εξηγεί πώς παλεύοντας με τις επτά αινιγματικές γέφυρες του Κένινγκσμπεργκ, ο διάσημος μαθηματικός Λέοναρντ Όιλερ οδηγήθηκε στην ανακάλυψη ενός νέου κλάδου στα μαθηματικά.

Μάθημα: Νταν Φαν ντερ Φίρεν. Ψηφιακή απεικόνιση: Artrake Studio.

Θα δυσκολευτείτε να βρείτε
το Κένινγκσμπεργκ στους σύγχρονους χάρτες,

αλλά μια ιδιαιτερότητα της γεωγραφίας του

το έκανε μία από τις πιο διάσημες
πόλεις στα Μαθηματικά.

Η μεσαιωνική γερμανική πόλη εκτεινόταν
και στις δύο όχθες του ποταμού Πρέγκελ.

Στο κέντρο του βρίσκονταν
δύο μεγάλα νησιά.

Τα δύο νησιά συνδέονταν μεταξύ τους
και με τις όχθες του ποταμού

με επτά γέφυρες.

Ο Καρλ Γκότλιμπ Έλερ, ένας μαθηματικός,

που αργότερα έγινε ο δήμαρχος
μιας γειτονικής πόλης,

απέκτησε εμμονή με αυτά
τα νησιά και τις γέφυρες.

Συνεχώς κατέληγε σε ένα απλό ερώτημα·

ποια διαδρομή θα επέτρεπε σε κάποιον
να διασχίσει και τις επτά γέφυρες

χωρίς να περάσει από καμία
περισσότερες από μία φορές;

Σκεφτείτε το για λίγο.

Να το πάρει το ποτάμι;

Καλύτερα να το πάρει.

Είναι αδύνατο.

Προσπαθώντας να εξηγήσει γιατί, ο διάσημος
μαθηματικός Λέοναρντ Όιλερ οδηγήθηκε

στην εφεύρεση ενός νέου
κλάδου των Μαθηματικών.

Ο Καρλ έγραψε στον Όιλερ
ζητώντας βοήθεια για το πρόβλημα.

Ο Όιλερ αρχικά απέρριψε την ερώτηση
ως άσχετης με τα Μαθηματικά.

Αλλά όσο την πάλευε,

τόσο φαινόταν ότι τελικά
ίσως υπήρχε κάτι.

Η απάντηση που βρήκε είχε να κάνει
με ένα είδος γεωμετρίας,

που δεν υπήρχε ακόμα· κάτι
που ονόμασε Γεωμετρία της Θέσης,

που τώρα είναι γνωστή ως Θεωρία Γράφων.

Η πρώτη ενόραση του Όιλερ

ήταν ότι η διαδρομή ανάμεσα στην είσοδο
και την έξοδο σε ένα νησί ή όχθη

δεν είχε σημασία.

Έτσι, ο χάρτης μπορούσε να απλοποιηθεί με
καθεμία από τις τέσσερις χερσαίες εκτάσεις

να αναπαρίστανται από ένα σημείο,

αυτό που σήμερα ονομάζουμε κόμβο,

και γραμμές, ή ακμές, ανάμεσά τους
να αναπαριστούν τις γέφυρες.

Αυτό το απλοποιημένο γράφημα μάς επιτρέπει

να μετρήσουμε εύκολα
τον βαθμό κάθε κόμβου,

δηλαδή τον αριθμό των γεφυρών
που αγγίζει κάθε χερσαία έκταση.

Γιατί έχουν σημασία οι βαθμοί;

Σύμφωνα με τους κανόνες του προβλήματος,

από τη στιγμή που ο ταξιδιώτης έφτασε
σε μια χερσαία έκταση από μια γέφυρα,

θα πρέπει να φύγει
από μια διαφορετική γέφυρα.

Με άλλα λόγια, οι γέφυρες, που οδηγούν
προς και από κάθε κόμβο σε κάθε διαδρομή,

πρέπει να σχηματίζουν διακριτά ζευγάρια,

που σημαίνει ότι το πλήθος των γεφυρών
που ακουμπούν σε κάθε χερσαία έκταση

πρέπει να είναι άρτιο.

Οι μόνες δυνατές εξαιρέσεις θα μπορούσαν
να είναι οι τοποθεσίες της εκκίνησης

και τερματισμού της διαδρομής.

Αν δούμε το γράφημα, είναι φανερό ότι και
οι τέσσερις κόμβοι έχουν περιττό βαθμό.

Έτσι, ανεξάρτητα από
το ποια διαδρομή επιλεγόταν,

κάποια στιγμή, μια γέφυρα
θα έπρεπε να διασχιστεί δύο φορές.

Ο Όιλερ χρησιμοποίησε αυτήν την απόδειξη
για να διατυπώσει μια γενική θεωρία,

που εφαρμόζεται σε όλα τα γραφήματα
με δύο ή περισσότερους κόμβους.

Ένα μονοπάτι Όιλερ, που περνά
από κάθε ακμή ακριβώς μία φορά

είναι δυνατό σε μία
από τις δύο περιπτώσεις.

Η πρώτη είναι όταν υπάρχουν ακριβώς
δύο κόμβοι με περιττό βαθμό,

δηλαδή όλοι οι υπόλοιποι είναι άρτιοι.

Εκεί, το σημείο εκκίνησης είναι
ένας από τους περιττούς κόμβους

και το τερματικό σημείο είναι το άλλο.

Η δεύτερη περίπτωση είναι όταν
όλοι οι κόμβοι έχουν άρτιο βαθμό.

Τότε το μονοπάτι Όιλερ ξεκινά
και σταματά στην ίδια τοποθεσία,

που το κάνει κάτι
που ονομάζεται κύκλωμα Όιλερ.

Πώς, λοιπόν, θα δημιουργούσατε
ένα μονοπάτι Όιλερ στο Κένινγκσμπεργκ;

Είναι απλό.

Απλά αφαιρέστε μια από τις γέφυρες.

Τελικά, η Ιστορία δημιούργησε
ένα μονοπάτι Όιλερ από μόνη της.

Κατά τη διάρκεια
του Β' Παγκοσμίου Πολέμου,

η Σοβιετική Αεροπορία κατέστρεψε
δύο από τις γέφυρες της πόλης,

καθιστώντας το μονοπάτι Όιλερ δυνατό.

Αν και, για να είμαστε δίκαιοι,
μάλλον δεν ήταν αυτή η πρόθεσή της.

Αυτοί οι βομβαρδισμοί λίγο-πολύ
έσβησαν το Κένινγκσμπεργκ από τον χάρτη

και ξαναχτίστηκε αργότερα
ως η ρωσική πόλη Καλίνινγκραντ.

Έτσι, ενώ το Κένινγκσμπεργκ και
οι επτά γέφυρές του δεν υπάρχουν πια,

θα μείνουν για πάντα στην Ιστορία
χάρη στον φαινομενικά τετριμμένο γρίφο

που οδήγησε στην εμφάνιση
ενός νέου κλάδου των Μαθηματικών.