Değişkenlerine Ayrılabilir Diferansiyel Denklemler

Değişkenlerine Ayrılabilir Diferansiyel Denklemlere Giriş
.

Merhaba!

Bu noktada diferansiyel denklemlerin ne olduğunu bildiğinizi

varsayarak birkaç tane çözmeye çalışalım.

Size ilk olarak anlatacağım diferansiyel denklem grubu

değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklemler olacak.

Ve göreceksiniz ki aslında yeni

bir şey öğrenmiyoruz.

İlk senede öğrendiğiniz türev ve

integral bilgilerinizle değişkenlerine ayrılabilir denklemleri çözebilirsiniz.

Bu denklemlere ayrılabilir denmesinin nedeni gerçekten de

x ve y terimlerini ayırıp integral alırsanız

denklemin sonucuna

ulaşırsınız.

Ayrılabilir denklemler.

Değişkenlerine ayrılabilir denklemler.

Haydi birkaç tane çözelim de işin püf noktasını kavrayın.

Bunlar genelde başka birşeyden çok cebir

egzersizi olacak.

İlk ayrılabilir denklemimiz şudur:dy

bölü dx eşittir x kare bölü 1 eksi y kare.

Bu noktada bazı terimleri tekrar etmenin

tam zamanıdır.

İlk olarak bu diferansiyel denklemin

derecesi nedir?

Denklemdeki en yüksek türev birinci dereceden olduğu için

denklemin derecesi de birdir.

Denklemin derecesi birinci derecedir.

Adi denklemdir çünkü sadece bir düzenli türev var

kısmi türev yok.

Pekiii doğrusal mı değil mi?

Şimdiii bu doğrusala benziyor diyebilirsiniz.

Türevi herhangi birşeyle

çarpmamışım.

Ama dikkatle bakarsanız bazı

enteresan durumlar olduğunu görürsünüz.

İlk olarak y nin karesi var.

y bir bağımlı değişken.

y , x in fonksiyonudur.

Bu nedenle y nin karesini aldığımız için doğrusal olmuyor.

Eğer bu herhangi bir y olsaydı,ve siz denklemin her iki

tarafını da 1 eksi y ile çarpsaydınız ve bir önceki denklemde

gösterdiğim şekle soksaydınız

1 eksi y nin karesi olurdu.

Bu aslında yapmamız gereken ilk şey ,onun için

bunu yazacağım.

Şimdi denklemin her iki tarafını da 1 eksi y nin karesi

ile çarparsak,1 eksi y nin karesi çarpı dy

dx eşittir x kare.

Şimdi hemen gördüğünüz gibi burda kare olmasaydı da

y yi dydxile çarptığımız için

yine doğrusal olmayacaktı çünkü

bağımlı değişkeni

kendi türevi ile çarpıyorsun.

Bu da onu doğrusal olmayan denklem yapıyor.

Neyse biz tekrar çözüme dönelim.

Bu ilk adım.

İki tarafı da 1 eksi y nin karesi ile çarpıyorum.

En sonunda yapmak istediğim xleri ve yleri ayırıp

iki tarafın da ayri ayrı entegralini almak.

Nerdeyse yapmak üzereyim.

Şimdi yapmak istediğim ise bu denklemin her iki tarafını da

dx le çarpmak böylece burda bir dx oluyor ve şurdaki

dx den kurtuluyoruz.

Şuraya geleyim yer ziyan etmek istemiyorum.

1 eksi y karesi dy eşittir x karesi dx.

Böylece x ve y değişkenleri ve türevlerini

ayırmış oldum.

Tüm yaptığım denklemin her iki tarafını da

dx ile çarpıp sonuca gitmek oldu.

Şimdi her iki tarafın da entegralini alabilirim.

Haydi bunu yapalım.

Bir denklemin bir tarafına ne y aparsan diğer tarafa da

aynısını yapman gerekir.

Bu düz denklemler için olduğu gibi

diferansiyel denklemler için de geçerlidir.

Her iki tarafın da entegralini alacağız.

Bu ifadenin y ye göre entegrali nedir?

Bakalım.

Birin entegrali y, y karenin entegrali,bakalım

bu eksi y nin 3.üncü kuvveti bölü 3.

Ben buraya artı c yazıp size birşey göstereceğim

ama sizin aslında her iki tarafa da artı c yazmanız

gerekmiyor.

y ye göre artı bir sabit diyelim.

y entegrasyonu

Bunu bir kalkülüs dersinde göremezsiniz ama bir

noktaya değineceğim.

Size göstermek istediğim

bizim artı c biz

geleneksel entegrallerimizi alırken de hiç yok

olmamıştı.

Ve bunun türevi nedir?

Bu x in üçüncü kuvveti bölü üç.

Bunun da

x değişkeni nedeniyle artı

c si olacak.

Bu nu niye mor yapıp

böyle işaretledim çünkü denklemin bir tarafına artı c

yazmak zorundasınız.

Ve bu size mantıksız geliyorsa, cy i her iki taraftan da çıkaralım

ve y eksi --biraz aşağı çekelim

benim y g gibi duruyor.

y eksi ynin üçüncü kuvveti bölü üç eşittir xin üçüncü kuvveti

bölü üç artı xin entegralini aldığımız zamanki sabit

eksi ynin entegralini aldığımız zamanki

sabit.

Bu iki sabit değer sadece iki sabit değer.

Demek istediğim ne olduklarını bilmiyoruz.

Rastgele iki değer.

Onun için buraya genel bir c yazarız.

Bir sabit olması lazım ama

denklemin her iki tarafında olmasa da olur

çünkü keyfi olarak seçiliyorlar.

cx eksi cy de bir başka sabit değere eşittir.

Eğer bu denklemi daha da basitleştirmek istiyorsak

her iki tarafı da 3 le çarparız

böylece daha güzel gözükür.

Böylece şu çıkar: 3y eksi y nin üçüncü kuvveti eşittir

x in üçüncü kuvveti artı --buraya 3c yazabiliriz.

Burada c yine rastgele bir sabittir.

3 çarpı herhangi bir sabit

bir başka sabite eşittir.

c yi buraya yazıyorum

İşte çıktı.

Bu diferansiyel denklemi çözdük.

Gerçi şu anda biraz üstü kapalı bir şekilde şimdi

ve onu bu şekilden çıkarmak biraz zor.

c yi tek tarafa koyarsak,çözüm

3y eksi y nin üçüncü kuvveti eksi x in üçüncü kuvveti eşittir c olur.

Bu bazılarının daha hoşuna gidebilir.

Çözüm budur.

Dikkat ederseniz çözüm tıpkı entegral aldığınız zamanki gibi

cevap bu soruda üstü kapalı fonsiyonlar

sınıfı

Neden mi sınıf

Çünkü burda bir sabit değer var.

Buraya koyduğun sayıya göre

yeni bir çözüm elde edilecektir.

Buraya koyacağımız herhangi sabit değer

yukardaki başlangıçtaki diferansiyel denkleme de uyacaktır.

Başlangıçtaki diferansiyel denklem buydu.

Bu sabit değeri bulmak için,size bir başlangıç koşulu

verilmesi lazım.

Birinin demesi lazım ki,x 2 olunca y 3 olur.

Ve sonra c yi bulacaksınız.

Bize bir başlangıç koşulu veren bir

örnek yapalım.

Bu biraz--- baştan başlıyacağım

Net bir görüntü,farklı renkler, optimum alanım var.

Bu ilki ynin x e göre birinci dereceden türevi eşittir

3x kare artı 4x artı 2 bölü 2

çarpı y eksi 1.

Bu bir parantez mutlak değer değil.

Bize başlangıç koşulu veriyorlar.

y nin x sıfırken değeri eksi birdir.

Bu diferansiyel denklemi çözünce ki bu bir

ayrılabilir diferansiyel denklemdir,bu

başlangıç koşulunu kullanabilirsiniz , x 0 olunca y 1 olur,ve

sabit değeri bulursunuz.

İlk olarak bu denklemi ayıralım.

Her iki tarafı da 2 kere y eksi 1 le çarpalım.

2 kere y eksi 1 çarpı dx dy eşittir 3x kare

artı 4x artı 2 olur.

Her iki tarafı da dx ile çarpalım.

Bu aslında bir cebir egzersizi.

Bunu da dışarı çarpabilirim,2 y eksi 2 olur,

bu sadece dy olur.

Her iki tarafı da dx ile çarptım.3x kare

artı 4x artı2 dx.

Denklemleri ayırdım.

Bağımsız değişkeni bağımlı değişkenden ayırdım,

ve de ilgili türevlerini,ve şimdi

entegral alabilirim.

Ve mor renkte integral alacağim.

Bu ifadenin

y ' yegöre integrali

nedir?

Ş imdi bakalım.

y kare eksi 2 y dir.

Artı c yazmayacağım,sadece

sağ tarafta yapacağım.

Bu 3x kareye eşittir.

Entegral eşittir x in üçüncü kuvveti artı 2 x kare

artı 2 x artı c.

Ve bu c her iki taraf için de sabit değer yerine geçer

ki bunun neden böyle olduğunu

ümit ederim ki son örnekten anlamışsınızdır.

c nin ne olduğunu bulmak için başlangıç koşulu olan

y nin 0 daki değeri eksi 1diri kullanabiliriz.

Şimdi bakalım.

x sıfır olunca y eksi 1 oluyor.

Böylece y yerine eksi 1 koyalım, eksi 1 karesi

eksi 2 kere eksi 1 ,bu y nin değeri oluyor,

eşittir x eşittir 0 olduğu zaman.

x sıfır olduğu zaman,sıfırın üçüncü kuvveti artı 2

kere sıfır kare artı 2 kere sıfır artı c.

Bu bayağı basit.

Bütün bunlar, hepsi sıfır.

Bu, şimdi bakalım, eksi 1 karesi yani 1

eksi 2 kere eksi 1 bu da2dir, eşittir c.

c eşittir 3.

Bu denklemin cevabı ,diferansiyel denklemin cevabı,

hatırlarsınız ki bu bir sınıf olmayacak

çünkü bize bir başlangıç koşulu verdiler,cevap

y karesi eksi iki y eşittir x in üçüncü kuvveti artı 2 x kare artı 2x

artı 3.

cnin ne olduğunu bulmuştuk.

Eğer isterseniz bunu kareyi tamamlayarak

daha açık bir şekilde yazabilirsiniz.

Burası sadece cebir.

Tamamız.

Bu örtülü şekli.

Bunu açık şekle sokmak için her iki

tarafa da 1 ekleriz.

Kareyi tamamlıyorum.

y kare eksi 2y artı 1

O tarafa 1 eklersek bu tarafa da 1 eklememiz gerekir,

x in üçüncü kuvveti artı 2xkare artı 2x artı 4 olur.

Her iki tarafa da 1 ekledim.

Bunu neden yaptım?

Çünkü bu tarafın y cinsinden tam kare

olmasını istedim.

Bu tarafı şu şekilde yazabilirim: y eksi 1 karesi eşittir

x in üçüncü kuvveti artı 2x artı 4.

O zaman diyebiliriz ki y eksi 1 eşittir artı yada eksi karekökü

x in üçüncü kuvveti artı 2xkare artı

2x artı 4.

Her iki tarafa da 1 eklersek, y eşittir

artı yada eksi karekökü x in üçüncü kuvveti artı 2 x

kare artı 2 x artı 4.

Burda artı ya da eksi var ve birini seçmemiz gerekirse

başlangıç koşuluna dönmemiz gerekir.

Başlangıç koşuluna göre

y nin 0 için değeri eşittir

eksi bir.

x in yerine 0 koyarsak y eşittir 1 artı ya da eksi

0 artı 4.

yani 1 artı ya da eksi 4.

Eğer y eksi 1 e eşitse,y

eşittir 1 artı yada eksi-- özür dilerim 2.

e ğer bu eksi 1 e eşitseo zaman bu

1 eksi 2 olur.

Böylece başlangıç koşullarını karşılayan açık

şekil,burda biraz fazla olduk,

artıdan kurtulabilirsiniz,1 eksi bütün bunlar.

B u başlangıç koşuluna uyuyor.

Nerde uyduğunu bulabilirsiniz,hangi alanda

uyduğunu.

Bu terim pozitif olunca denklem doğru olur, bu eksi

olur ve gerçek sayılarda geçersiz olur,ve

tüm bunlar.

Neyse zamanım bitti

Bir dahaki videoda görüşürüz.