Foci of an Ellipse

Calculating the foci (or focuses) of an Ellipse.

Diyelim ki bir elips formülü var, x, üzerinde kareli

b kare üzerinde kare kare artı y 1'e eşit.

Ve bizim tartışma uğruna, biz kabul edeceğiz

b. daha fazla olduğunu

Ve bizim için yaptığı her şey, bize bu yüzden bu oluyor sağlar.

kısa ve şişman bir elips tür.

Ya da yarı-büyük eksen, ya da ana eksen oluyor

yatay boyunca.

Ve küçük ekseni boyunca dikey.

Ve bu beraberlik sağlar.

Bu elips çizin.

Kalın bir elips çizmek istiyorum.

Diyelim ki benim eksenleri çekmek izin sonra benim elips, derler.

Tamam, bu yatay hakkıdır.

Ve orada dikey var.

Ve biz şu ana kadar oldukça iyi ayrıntılı olarak bir elips inceledim.

Biz yarı-küçük yarıçapı, nasıl anlamaya biliyorum

Bu durumda bildiğimiz b.

İşte orada aynı b bulunuyor.

Ve bu sadece yarı-küçük yarıçaplı.

B a. daha küçük olduğundan

B daha fazla ise, en büyük yarıçap olacaktır.

Ve sonra, tabii ki, en büyük yarıçap.

Ve bu uzaklık, bu doğru.

Şimdi, başka bir süper ilginç, ve belki de en

ilginç bir özelliği, bir elips sizi eğer

bir elips üzerindeki herhangi bir nokta ve mesafeyi ölçmek

bu noktadan iki özel nokta, uğruna

Bu tartışma değil, sadece bu uğruna

tartışma, oldukça çok sonsuza, biz arayacak

odaklanır, ya da bu elipsin odakları.

Ve bu iki nokta, her zaman birlikte oturup

ana eksen.

Yani, bu durumda, yatay eksen bulunuyor.

Ve onlar, elips merkezi etrafında simetrik konum.

Öyleyse bana izin verin, sadece bu noktaları diyelim

Bu bir f1 arayın.

Ve bu f2.

Ve o odak için.

Odaklanır.

f2.

Yani süper ilginç, büyüleyici mülkiyet

bir elips.

Ve genellikle bir elips tanımı olarak kullanılan,

Bu elips üzerinde herhangi bir nokta almak ve ölçmek,

Bu iki nokta, her mesafe.

Yani, ben burada bu mesafe olduğunu söyleyelim.

Diyelim ki bu mesafe d1 diyoruz.

Ve sonra ben buraya bu mesafe var, bu yüzden herhangi bir alıyorum

elips ya da bu belli bir noktadan noktaya ve ben

Bu iki odaklarının her mesafe ölçme.

Ve bu d2.

Biz farklı bir renk yapacağız.

Yani bu d2.

İşte bu bir bütün çizgi.

Bu d2.

Yani bu iki mesafeler bulduğunuzda, bunların toplamı.

Bu d2 artı d1 Yani, bu bir sabit olacak

aslında çıkıyor 2a eşit.

Ama bu her yerde elips gitmek doğru çıkıyor.

Beni bu noktaya açık hale getirelim.

Ve ben aslında size ispat edeceğim bu sabit

bu aynı mesafe, aslında 2a.

orada bir hak.

Yani, sadece ne söylüyorum anladığınızdan emin olun.

Benim başka bir keyfi noktası alalım

Bu elips.

Orada sürer.

Ve ben bu noktadan itibaren mesafeyi ölçmek için

Bu odak noktası, bu noktadan d3 çağrısı ve ardından ölçmek

bu noktadan itibaren bu odak uzaklık diyelim

bu noktadan d4 arama.

d4.

Özetle bu iki nokta olsaydı, yine de gidiyor

2a eşit.

Bana bunu bir yere not edelim.

d3 artı d4 hala 2a eşit olacak.

Bu sadece düzgün.

Ve aslında, bu genellikle bir tanımı olarak kullanılır.

elips, elips tüm set olduğunu söylüyorlar,

puan veya bazen kelime lokus kullanacağız

kümesi grafiksel gösterimi tür

tüm noktaları, her mesafeleri toplamı

Bu odaklanır bir sabite eşittir.

Ve biz bu biraz oynayacağız ve biz rakam olacak

çıkışı, nasıl bir elips odaklanır anlamaya yapmak.

Ama yapmanız gereken ilk şey, sadece memnun hissediyorum

mesafe, eğer bu doğruysa o 2a eşit.

Ve bunu anlamaya en kolay yolu, bu almak için

boyunca en uç noktaları, bunları diyebiliriz sanırım.

x-ekseni burada ve burada.

Biz zaten iddia yapıyoruz burada mesafe

burada, bana başka bir renk o çekilişte sağlar.

Burada bu mesafe artı bu mesafe gidiş olduğunu

bazı sabit sayısına eşit olmalıdır.

Ve bu aşırı noktası kullanarak, ben o size göstermek için gidiyorum

sabit sayı 2a eşit, yani anlamaya izin

Bunun nasıl yapılacağını.

Yani bir şey gerçekleştirmek için bu iki odak noktası olmasıdır.

orijin etrafında simetrik.

Yani, bu hakkın, burada ne olursa olsun mesafe olacak bulunuyor

Bu mesafe aynı.

Orada.

Kökenli bu iki nokta etrafında simetrik olduğundan.

Yani, burada, aynı mesafe.

Ve tabii ki, biz var - ne yapmak istiyorum anlamaya.

Orada bu mesafeyi ve bu uzun mesafe toplamı.

Peki, bu toplamı artı bu yeşil mesafe nedir?

Peki, bu hakkın aynı.

Yani bu artı yeşil - Bana yazınız.

Yani beni bu yazmak, sadece bana bu mesafe g diyelim

söylemek, bu g diyelim, diyelim bu h. çağrısı

Şimdi, bu g, h, biz de bu g olduğunu biliyoruz

çünkü her şey simetrik.

Yani g ve h?

Eh, bu aynı şey g artı h.

Tüm bu elipsin büyük çapı.

Hangi nedir?

Eh, küçük yarıçapı biliyorum, bu yüzden bu uzunluk

Burada a..

Yani bu noktadan mesafe veya mesafe toplamı

Bu odak elips elips, artı bu noktada

o odak noktası, g ve h, ya da bu büyük yeşil bir parçası eşit

bu elipsin büyük çapı ile aynı şey olduğu

2a ile aynı şey olduğu.

Yeterince adil.

Umarım bu sizin için yeterince iyi olduğunu.

Şimdi, biz farkına vardık şimdi sonraki şey, o nasıl

bu odakları nerede durduğumuzu anlamaya.

Ya da, biz bu denklemi varsa, ne biz ne olduğunu anlamaya

Bu iki nokta vardır?

Anlamaya.

Yani, biz, bir anda bütün fark ilk şey olduğuna dair herhangi bir

Biz nereye olursa olsun, bu puan ile bunu yapmak kolay oldu.

Ama biz burada bu noktada, biz bile, Tamam,

Bu mesafe, o zaman bu, o mesafe toplamı

2a eşit olmalıdır.

Ve biz gerçekten anlamaya bu bilgileri kullanabilirsiniz

dışarı nerede odakları yalan.

Bana bir tane çizin izin Yani, diyelim ki söylüyorlar.

Yani bu benim elips.

Ve sonra biz eksenleri çizmek istiyoruz.

Büyütülmüştür.

Bana denklemi tekrar yazmak olsun.

Sadece bu yüzden kaybetmek yok. x bir kare üzerinde karesi

artı y kare b 1'e eşit üzerinden karesi.

Burada bu noktada olsun.

Bu uç noktalara çalışıyoruz her zaman yararlıdır

bir şey kanıtlamak için.

Ya da, ben her zaman söylemek istemiyorum, olabilir.

Şimdi, biz, simetrik olan bu iki odaklar olduğunu söyledi

elips merkezi etrafında.

Bu f1, f2.

Ve biz zaten bir elips odağı olduğunu söyledi sonra,

puan, ya da tüm noktaların kümesi, her

bu noktalarda odaklanıyor her mesafe ve

onları, bir sabit bir sayı olsun.

Ve biz bu sabit bir sayı 2a olduğunu düşündüm.

Bu yüzden düşündüm bu mesafe alırsanız

burada ve burada, bu mesafe eklemek

2a eşit olacak.

Bu yüzden biz bu d, d1 ararsanız, bu d2 olduğunu söyleyebiliriz.

Biz d1 biliyorum artı d2 2a eşit.

Ve burada ilginç bir şey bu

teoremi sorun.

Bu yüzden odak uzaklığı vardır.

Ve biz bu üçgen veya bu üçgen da yapabilirdi.

Ben burada bu doğru olanı yapacağız.

Bu odak uzaklığı f

Diyelim ki f. diyoruz

f kare artı kare b eşit olacak

Bu durumda d2 veya a. kare hipotenüs

Hangi bir kare eşittir.

Ve şimdi biz b) ve (a. açısından güzel bir denklem var

Biz denklemi, bir ne b ve

Bu elips için verilmiştir.

Yani odak uzaklığı çözmek edelim.

Kare f, odak uzaklığı, bir kare eşit

eksi b karesi.

Yani, odak uzaklığı, f, eşit olacak

eksi d kare kare kare kökü.

Oldukça düzgün ve temiz ve güzel bir sezgisel bir şekilde

bir şey hakkında düşünüyorum.

Yani sadece bu iki kelimenin tam anlamıyla fark

numaraları, hangisi daha büyük, ya da hangisi daha küçük

diğeri çıkarmak.

Karekök almak ve bu odak mesafesi bulunuyor.

Şimdi, biz bazı bazı bunu uygulamak için kullanabilirsiniz görelim

onlar isteyebilir gerçek sorunları, hey, bulmak

odak uzaklığı.

Veya odaklanır koordinatları bulmak.

Yani artı 9 karesi x denklemi eksi 1 ekleyelim

4 üzerinden kare y artı 2 1'e eşit.

Yani sadece grafik tüm bu ilk izin.

Bu ilginç olabilir.

Bu yüzden eksenler çekersiniz.

Bu x-ekseni bulunuyor.

Bu y ekseni.

Ve biz hemen anlayacak, bu merkezi nedir?

Merkez noktası 1, negatif 2 olacak.

Ve bu kafa karıştırıcı ise, bazı gözden geçirmek isteyebilirsiniz

Önceki videolar.

Merkezi 1, x 1 eşittir.

y eksi 2 eşittir.

Bu merkezi bulunuyor.

Ve sonra bu büyük olması nedeniyle, büyük bir eksen, x-ekseni.

Ve böylece, kare b - ya da bir kare, 9 eşittir.

Ve yarı-küçük yarıçapı 3 'e eşit olacak.

Yani, 1, 2, 3 giderseniz.

Oraya git.

1, 2, 3 daha var.

Hayır.

1, 2, 3.

1, 2, 3.

Görelim - Bu düşünüyorum.

1, 2, 3.

Kabaca, oraya gitmek.

Ve sonra y yönünde, yarı-küçük yarıçaplı

sağ, 2 olmak için gidiyoruz?

Bunun karekök.

B 2 eşittir.

Yani o zaman 2 inmek, 2 kadar gitmek.

Ve bu elips gibi bir şey oluyor

- İyi bir renk seçin.

Bu şuna benzer bir şey olacak.

Ve ne yapmak istiyorum, biz öğrenmek istiyor.

odak noktalarının koordinatları.

Yani, odak noktaları birlikte oturup gidiyor

yarı-büyük eksen.

Ve biz bu odak mesafeleri anlamaya ihtiyacımız var.

Ve sonra biz aslında sadece ekleyebilir ve çıkarabilirsiniz

merkezi onları.

Ve sonra biz koordinatları gerekecek.

Biz sadece göstermiş, ya da umarım gösterdi,

odak uzunluğu ya da bu mesafe, f odak uzaklığı

karekök arasındaki farkın sadece eşit

Bu iki sayı, değil mi?

Sadece 9 eksi 4 karekök.

Böylece odak uzaklığı 5 kare köküne eşittir.

Yani, burada bu noktada, biz zaten eğer

olduğunu gösterdi, bu noktaya elipsin merkezi

noktası 1, eksi 2.

Bu odak koordinat orada 1 olacak

artı kare 5 kök, eksi 2.

Ve orada bu odak koordinat gidiyor

1 eksi kare 5 kök, eksi 2.

Ben yaptım, ben odak uzaklığı aldı ve ben çıkarılır

Büyük baltalar, veya x ekseni boyunca bu yana, ben sadece eklemek

ve bu x çıkarmak, bu iki koordinat

orada koordine eder.

Herneyse, bu konik hakkında gerçekten düzgün bir şey

bölümleri, bu ilginç özelliklere sahip.

Bu odaklar veya bu odak noktaları ile ilgili olarak ilgili.

Ve gelecekte videolar sana bir hiperbol odakları ya da göstereceğiz

bir odaklar iyi, sadece bir odak vardır

bir parabol.

Ama bu gerçekten ne yapar içine almaya başlıyor

düz konik kesitler.

Bu noktaya kadar yaptığım her şey çok daha fazla olmuştur

grafik ve çizim ve bulmaktan mekaniği hakkında

konik kesitler merkezleri.

Ama şimdi biraz içine alıyoruz

konik kesitler matematiksel ilginç parçalar.

Her neyse.

Sonraki video bakın.