Løsning af ligedannede trekanter: den samme sidelængde spiller forskellige roller

Vi finder en ukendt sidelængde i en opgave, hvor den samme sidelængde spiller forskellige roller i to ligedannede trekanter.

Lær hvad det betyder at to figurer er ligedannet, og hvordan man kan afgøre, om to figurer er ligedannet eller ej. Brug dette koncept til at bevise geometriske sætninger og løse opgaver med polygoner.

I kurset videregående geometri skal vi lære om transformationer, kongruens, ligedannethed, trigonometri, analytisk geometri og meget mere.

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

I denne opgave skal vi
bestemme længden af BC.

Vi har nogle trekanter her,

og nogle sidelængder
og nogle rette vinkler.

Måske vi kan påvise ligedannethed
mellem nogle af trekanterne.

Jeg kan faktisk se 3 forskellige trekanter.

Den her, den her og så den større trekant.

Hvis vi kan påvise ligedannethed,

måske vi kan bruge forholdene mellem
siderne til at bestemme længden af BC.

Vi har en ret vinkel her.

I trekant BDC har vi en ret vinkel.

I trekant ABC har vi endnu en ret vinkel.

Hvis vi kan vise, at de har endnu et sæt
af kongruente tilsvarende vinkler,

så kan vi vise, at de er ligedannede.

Faktisk har begge disse trekanter,
BDC og ABC, denne vinkel tilfælles.

Når de har denne vinkel tilfælles,
så har de to sæt af ens vinkler.

De har altså denne vinkel tilfælles.

-- jeg bruger lige en anden farve --

De deler altså den vinkel lige her.

Vi ved, at to trekanter, der har mindst
to kongruente vinkler, er ligedannede.

Vi ved, at trekant ABC

-- vi gik fra den umærket vinkel til den
gule rette vinkel til den orange vinkel --

Det skriver vi på denne måde.

Vi gik fra den umærket vinkel til
den gule vinkel til den orange vinkel.

ABC.

Nu skal vi være omhyggelige,

da de samme punkter
eller de samme vinkelspidser

ikke nødvendigvis har
samme rolle i begge trekanter.

Vi skal være sikre på,
at få ligedannetheden korrekt.

Fra den hvide vinkel til
90 graders vinklen til den orange vinkel.

Hvilken trekant er den ligedannet med?

I den lille trekant, hvilken vinkel
er hverken ret eller orange?

Det må være ved punkt B.

Vinkel B har den rette vinkel
i den store trekant.

Men vi kigger på en lille trekant.

Vi starter i B og går til den rette vinkel.

Den rette vinkel er D,
så går vi til C, som er orange.

Vi har vist, at de er ligedannede.

Nu hvor vi ved, at de er ligedannede,

så kan vi prøve at skrive
forholdene mellem siderne.

Vi kender længden af siden AC.

AC er lig med 8, fordi det er 6 plus 2.

Hvad er den tilsvarende side
til AC i denne trekant?

Vi kan prøve at kigge på bogstaverne.

AC er tilsvarende med BC.

-- det første og det tredje,
det første og det tredje --

AC er tilsvarende med BC.

Det er lidt interessant,
da vi faktisk har BC med to steder.

Hvad svarer den til?

BC i den store trekant, hvad er
den tilsvarende med i den lille trekant?

BC er tilsvarende med DC.

Det er godt, da vi ved, hvad AC er,
og vi ved, hvad DC er.

Nu kan vi bestemme længden af BC.

Jeg vil lige vise igen,
hvad vi gjorde her.

Fordi BC spiller to forskellige roller.

I det første forhold

er BC i den lille trekant tilsvarende
med AC i den store trekant.

I det andet forhold

er BC i den store trekant tilsvarende
med DC i den lille trekant.

Disse er fra den store trekant

og disse er fra den mindre trekant.

Tilsvarende sider.

Det er en lidt sej opgave, da BC spiller
to forskellige roller i de to trekanter.

Nu har vi oplysninger nok
til at løse for BC.

Vi ved, at AC er lig med 8.

AC er lig med 8, fordi 6 + 2 er 8.

Vi ved, at DC er lig med 2,
fordi det er angivet.

Nu kan vi gange sammen.

8 gange 2 er 16 og det er lig BC gange BC,
som er lig (BC)².

BC er lig kvadratroden af 16, og det er 4.

Og vi er færdige.

Det sværeste i denne opgave er at indse,

at BC spiller to forskellige roller

og holde tungen lige i munden
om disse roller.

For at gøre det tydeligt, lad mig tegne
disse to trekanter hver for sig.

Hvis jeg tegner ABC for sig selv,
kommer den til at se sådan her ud.

Dette er trekant ABC.

Dette er en ret vinkel.

Dette er vores orange vinkel.

Vi ved, at længden af denne side er 8.

Vi ved, at længden af denne side,
som vi lige har bestemt, er 4.

Hvis vi tegner trekant BDC,
ser den sådan her ud.

Det er B D C.

Det er måske lidt nemmere at visualisere.

Dette er den rette vinkel.

Dette er vores orange vinkel.

Denne er 4 og den herovre er 2.

Jeg gjorde dette for at vise dig,

at du skal vende denne trekant og dreje
den for at få den i en lignende position.

Det gør det måske en smule mere tydeligt.

Hvis det her var lidt forvirrende,

så opfordrer jeg dig til,
at forsøge at vende og dreje BDC,

så den kommer til at ligne ABC.

Så giver dette forhold
forhåbentlig en del mere mening.