Løsning af ligedannede trekanter: den samme sidelængde spiller forskellige roller

I den her opgave skal vi finde længden af BC.

Vi har nogle trekanter her, et par sidelængder

og et par rette vinkler.

Måske vi kan bevise, at nogle af trekanterne er ligedannede.

Vi kan faktisk se 3 forskellige trekanter her.

Den her, den her og så den større trekant.

Hvis vi kan vise, at de er ligedannede,

kan vi måske bruge forholdene mellem siderne til at finde ud af,

hvad længden af siden BC er.

Vi kan se, at vi har en ret vinkel her.

I trekant BDC har vi altså én ret vinkel.

I trekant ABC har vi endnu en ret vinkel.

Hvis vi kan vise, at de har endnu en vinkel,

eller endnu et tilsvarende sæt af vinkler,

der er kongruente,

kan vi vise, at de er ligedannede.

Faktisk har både trekant BDC og trekant ABC

vinklen herovre.

Når de deler den vinkel, deler de faktisk to vinkler.

De har altså begge to den vinkel herovre.

Det skriver vi lige i en anden farve

bare for at gøre den forskellig fra de rette vinkler.

De deler altså den vinkel lige her,

og derfor ved vi, at to trekanter,

der deler mindst to vinkler, er ligedannede.

De to trekanter deler altså mindst to kongruente vinkler,

og de er derfor ligedannede.

Vi ved dermed,

at trekant ABC, som går fra den ukendte vinkel

til den gule, rette vinkel til den orange vinkel.

Det skriver vi på den her måde.

Vi gik fra vinklen herovre

til den gule vinkel

og til sidst til den orange vinkel.

ABC.

Det vil vi gøre meget forsigtigt her,

fordi de samme punkter eller de samme vinkelspidser

spiller ikke nødvendigvis samme rolle i begge trekanter.

Vi skal være sikre på, at vi skriver ligedannetheden rigtigt.

Fra den hvide vinkelspids går vi til 90 grader vinklen og til sidst til den orange vinkel.

Den trekant kan så formindskes, så vi får en anden trekant.

Hvilken af de små trekanter kan forstørres, så den bliver til trekant ABC?

Vi kigger altså på den lille trekant til højre,

som har den rette vinkel

og den orange vinkel.

Vinkel B er den rette vinkel,

når vi tænker på den helt store trekant,

men den bliver jo halveret i den lille trekant herovre.

Vi starter i vinkel B, og derfra går vi til den rette vinkel.

Den rette vinkel er vinkel D.

Til sidst går vi til vinkel C, som er den orange.

Nu har vi vist, at de to trekanter er ligedannede.

Nu hvor vi ved, at de er ligedannede,

kan vi prøve at tage forholdene mellem siderne.

Vi kender længden af siden AC.

AC er lig med 8, fordi det er 6 plus 2.

Hvad er den ensliggende side til AC på den lille trekant til højre?

Vi kan prøve at kigge på bogstaverne.

Den ensliggende side til AC må være BC,

fordi det er det første og det sidste bogstav i navnet på trekanten.

BC er altså den ensliggende side til AC.

Det er lidt interessant,

for vi har faktisk siden BC med to steder.

Hvis vi kigger på den store trekant,

har vi også linjestykket BC.

Hvad vil siden BC på den store trekant svare til på den lille trekant?

BC vil være ensliggende med DC.

Vi ved, hvad AC er, og vi ved, hvad DC er,

og så kan vi finde længden af BC.

Vi tager lige et trin mere for at vise,

hvad vi gjorde her.

Vi bruger nemlig BC til to forskellige ting.

Ved det første udsagn herovre

var BC i den lille trekant ensliggende

med AC i den store trekant.

I vores andet udsagn

var BC i den store trekant ensliggende med DC i den lille trekant.

De her er altså vores store trekant,

og de her er fra den mindre trekant herovre.

Det her er en lidt sej opgave, fordi BC spiller to forskellige roller

i de to trekanter.

Vi har nok information til at finde BC nu.

Vi ved, at AC er lig med 9.

Hov, AC er lig med 8, undskyld.

AC er lig med 8, fordi 6 plus 2 er 8.

Vi ved, at DC er lig med 2, fordi det står på tegningen.

Nu kan vi gange sammen.

8 gange 2 er 16, og det er lig BC gange BC, og det er lig med BC i anden.

BC må altså være lig med kvadratroden af 16, og det er 4.

BC er derfor 4, og så er vi færdige.

Det sværeste i den her opgave er at indse,

at BC er to forskellige ting i de to trekanter

og holde tungen lige i munden ved de forskellige ting.

For at gøre det helt klart

kan vi lige tegne de to trekanter hver for sig.

Hvis vi tegner ABC for sig selv, kommer den til at se sådan her ud.

Det er altså trekant ABC, hvor det her er den rette vinkel,

og det her er den orange vinkel.

Vi ved, at længden af den her side er 8.

Vi ved også, at længden af den her side er 4,

for det regnede vi os frem til lige før.

Hvis vi tegner trekant BDC, ser den sådan her ud.

Trekant BDC kommer til at se sådan her ud.

Det er BDC, og måske den er lidt nemmere at forestille sig.

Det her er den rette vinkel,

det her er den orange vinkel, det her er 4

og det herovre er 2.

Vi gjorde det på den her måde for at vise,

at man skal dreje den her trekant for,

at den får samme form som den store.

Når man har drejet den, er det mere tydeligt,

at de to trekanter er ligedannede.

Hvis det her var lidt forvirrende,

kan man dreje trekant BDC,

så den kommer til at ligne trekant ABC.

På den måde skulle størrelsesforhold mellem dem give lidt mere mening.