Układ równań

systems of equations

Zapraszam do prezentacji na temat układu równań liniowych.

Zacznijmy i zobaczymy o co w tym chodzi.

Powiedzmy, że mam dwa równania.

Pierwsze równanie, zapiszę je, to dziewięć x odjąć

cztery y równa się minus siedemdziesiąt osiem.

A drugie równanie zapiszę: cztery x dodać

y równa się minus osiemnaście.

Co zrobimy teraz:

użyjemy obydwu równań aby wyznaczyć x oraz y.

Wiemy już, że jeśli mamy jedno równanie, które ma

jedną zmienną, bardzo łatwo jest tę zmienną wyznaczyć.

Ale teraz mamy dwa równania.

Możemy na nie spojrzeć jako na dwie zależności.

Chcemy znaleźć obie zmienne.

Możecie być nieco zmieszani.

Jak to zrobić?

Czy to magia, że dwa równania mogą być rozwiązane

względem dwóch zmiennych?

Otóż nie.

Ponieważ możemy przekształcić każde z tych

równań tak, że będą wyglądały jak zwykłe równanie

postaci y równa się mx plus b.

Nie narysuję dokładnie tych dwóch równań ponieważ

nie wiem jak ich wykrey dokładnie wyglądają, ale niech to

będą osie ukladu -- nie wiem jak dokładnie pierwsza prosta

wygląda, moglibyśmy dać inny przyklad

-- ale powiedzmy, że pierwsza prosta, wszystkie

te x oraz y, które spełniają dziewięć x odjąć cztery y równa się

minus siedemdziesiąt osiem, powiedzmy, że wygląda jakoś tak.

I powiedzmy, że wszystkie x oraz y, które spelniają

drugie równanie, cztery x dodać y równa się minus osiemnaście,

powiedzmy że wygląda tak.

Tak?

Zatem, na tej prostej są wszystkie x oraz y, które spełniają

to równanie, a ta zielona prosta to wszystkie te x oraz y,

które spelniają to równanie.

Ale jest tylko jedna para x i y, która spełnia

obydwa równania, i możecie zgadnąć gdzie ona jest,

jest dokładnie tutaj.

Jakikolwiek jest to punkt - zaznaczę go na różowo dla podkreślenia.

Jakikolwiek jest to punkt, zauważcie, że leży na obydwu prostych.

Zatem wartości x oraz y są rozwiązaniem

danego układu równań.

Zastanówmy się jak to zrobić

Chcemy wyeliminować którąś zmienną, gdyż

jeśli ją wyeliminujemy wtedy możemy rozwiązać

względem tej, która pozostała.

Sposób na to -- zobaczmy, którą chcę wyeliminować

sądzę, że y, myślę, że potraficie

odgadnąć dlaczego.

Sposób w jaki chcę to zrobić to dodać

to do tego, jeśli dodam to do tego to one się zredukują.

No, nie od razu się zredukują, muszę

pomnożyć dolne równanie przez 4, myślę, że to będzie

jasne dlaczego to robię.

Więc pomnóżmy to dolne równanie przez 4.

Dostałem 16x+4y=40+32 - 72

Zgadza się?

Co zrobilem: pomnożyłem obie strony

równania przez 4, tak?

I musicie pomnożyć każdy wyraz ponieważ

obowiązuje rozdzielność mnożenia dla obydwu stron.

Cokolwiek zrobimy z jedną stroną musimy zrobić z drugą.

Zapiszę górne równanie jeszcze raz.

Będę pisał tym samym kolorem więc możemy

śledzić co się dzieje.

9x-40=-78

Ok, jeśli teraz dodamy te dwa równania,

aby dodać równania dodajemy lewą stronę do lewej

i prawą stronę do prawej.

Po dodaniu mamy 16x+9x

I to się równa 25x

Zgadza się?

16+9

4y-4y równa się 0

Zatem to dodać 0 równa się... mamy -72-78

Zatem to jest -150, -150, tak?

Dodajmy to wszystko.

Dostaliśmy 25x równa się 150

Zatem teraz możemy podzielić obie strony przez 25 albo pomnożyć

obie strony przez jedną dwudziestąpiątą, to to samo.

I dostaliśmy x równa się (tu ma być minus) 150

x równa się -6

Zatem wyznaczyliśmy zmienną x.

Aby teraz wyznaczyć zmienną y możemy wziąć dowolne

równanie z tych wyżej.

Weźmy więc to, wygląda na nieco

prostsze.

Podstawmy x z powrotem tutaj i mamy

4 razy -6 dodać y równa się -18

Przejdźmy w górę.

4 razy -6 daje -24 dodać y równa się -18

I teraz mamy y równa się 24 odjąć 18

Czyli y równa się 6

Zatem te dwie proste bądź te dwa równania, można powiedzieć,

przecinają się w punkcie x=-6 oraz y=6

Właściwie przecinają się gdzieś tutaj.

Narysowałem prostą, prawdopodobnie wyglądającą jak tamta.

Ale w sumie się zgadza, nie?

Zatem rozwiązaliśmy dwa równania względem dwóch zmiennych.

Sprawdźmy ile mam czasu.

Myślę, że wystarczy nam czasu aby zrobić inne zadanie.

Powiedzmy, że mam punkty-- zapiszę je

dwoma kolorami: -7x - 4y=9

a drugie równanie będzie

x+2y=3

Gdybym zrobił to najszybciej jak można to prawdopodobnie

pomnożyłbym to równanie przez 7 i to automatycznie

by się zredukowało.

Ale to jest łatwy sposób.

Chcę wam pokazać, że czasami będziecie musieli

pomnożyć obydwa równania - właściwie nie w tym przypadku.

Właściwie zróbmy to szybko.

Więc pomnóżmy to dolne równanie przez 7.

Dlaczego chcę mnożyć przez 7

ponieważ chcę to zredukować.

Jeśli pomnożę przez 7 to dostanę 7x+14y=21

Zapiszę pierwsze równanie tutaj ponownie.

-7x-4y=9

Teraz je dodamy.

To jest dodatnie 7x zawsze jakoś wygląda jak ujemne.

OK, więc to jest 0.

14-4y+10y=30

y=3

Teraz podstawimy to do dowolnego wcześniejszego równania,

wstawimy do tego.

x plus 2 razy y, 2 razy 3.

x plus 6 równa się 3.

Dostaliśmy x równe minus 3.

To było bardzo proste.

Miejsce przecięcia.

Mam nadzieję, że nie robiłem tego zbyt szybko.

Cóż, możecie zatrzymać nagranie i obejrzeć jeszcze raz w razie potrzeby.

OK, więc te dwie proste przecinają się w punkcie

- 3 przecinek 3

Zróbmy jeszcze jedno.

mam nadzieję, że to jest trudniejsze.

Myślę, że tak.

Ok, -3x-9y=66

Teraz -7x+4y=-71

Teraz to nie jest takie oczywiste.

Co musimy zrobić: chcemy zredukować

y-greki najpierw.

Spróbujmy sprawić, aby oba wspólczynniki

były równe wspólnej wielokrotności 9 i 4.

Więc, jeśli górne równanie pomnożę przez 4 dostaniemy

Zrobię to tutaj.

Pomnóżmy to przez 4.

Razy 4.

Dostaniemy -12x-36y= 4 razy

240 plus 24 to jest 264.

Tak, myślę, że tak.

Pomnóżmy drugie równanie przez 9.

To jest -63 x + 36 y = zobaczmy 639.

Duże liczby.

639

Ok, teraz dodajmy te dwa równania.

-12 - 63 to jest -75 x to się zredukuje, równa się

264 zobaczmy ile jest 639 - 264

Widzicie, robię to teraz.

Nie wykorzystuję żadnych sposobów

13 i 5, 70.

Nie wiem, czy się zgadza, zobaczymy.

Ponieważ to jest ujemne 639, to jest minus

375, i wiem, że 75 mieści się w 300 cztery

razy, więc x równa się 5

75 razy 5 jest 375

Podzielilśmy obie strony przez 75

Więc skoro x jest 5 podstawmy to do ---

weźmy to równanie.

Mamy -3 razy 5 odjąć 9y równa się 66

Mamy -15 odjąć 9y równa się 66

9y równa się 81

A zatem y równa się -9

A więc odpowiedź brzmi 5 przecinek -9

Sądzę, że jesteście gotowi aby rozwiązywać teraz układy równań.

Miłej zabawy.