-
Καλωσορίσατε στην παρουσίαση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων
-
Ας ξεκινήσουμε λοιπόν να δούμε περί τίνος πρόκειται
-
Ας υποθέσουμε τώρα οτι έχω δύο εξισώσεις.
-
Η πρώτη εξίσωση ας είναι
-
9*x - 4y = -78.
-
Και η δεύτερη εξίσωση που θα γράψω ειναι
-
4*x+ y = -18
-
Τώρα στην πραγματικότητα θα
-
χρησιμοποιήσουμε και τις δύο εξισώσεις για να λύσουμε ως προς x και y.
-
Γνωρίζουμε ήδη ότι εάν έχετε μία εξίσωση που έχει μόνο μία
-
μεταβλητή, είναι πολύ εύκολο να επιλυθεί ως προς αυτή τη μεταβλητή.
-
Αλλά τώρα έχουμε δύο εξισώσεις.
-
Μπορείτε σχεδόν να τις θεωρήσετε ως δύο περιορισμούς.
-
Και θα πάμε να επιλύσουμε και για τις δύο μεταβλητές.
-
Και μπορεί να αναρωτηθείτε λίγο
-
Πώς λειτουργεί αυτό;
-
Είναι απλά μαγεία, που δύο εξισώσεις επιλύουν
-
τις δύο μεταβλητές;
-
Φυσικά δεν είναι
-
Επειδή μπορείτε στην πραγματικότητα να αναδιατάξετε καθεμία από αυτές
-
τις εξισώσεις ώστε να φαίνονται ως κανονικές εξισώσεις
-
της μορφής y = m*χ + b
-
Και δεν πρόκειται να ζωγραφίσω αυτές τις δύο εξισώσεις, επειδή
-
δεν ξέρω πως θα φαίνονται , αλλά αν αυτό ήταν ένα σύστημα συντεταγμένων
-
-και δεν ξέρω στην πραγματικότητα πώς μοιάζει αυτή η πρώτη γραμμή
-
θα μπορούσαμε να κάνουμε ένα άλλο μοντέλο, όπου να το μάθουμε
-
αλλά λόγου χάρη ας πούμε για την πρώτη γραμμή όλα
-
τα x και y που ικανοποιούν την 9*x - 4y = -78
-
μοιάζουν κάπως έτσι
-
Και ας υποθέσουμε ότι όλα τα x και y που ικανοποιούν τη
-
δεύτερη εξίσωση, 4* x+ y=-18, ας πούμε
-
πως μοιάζει με κάτι τέτοιο.
-
Σωστά;
-
Έτσι, στη γραμμή είναι όλα τα χ και y που ικανοποιούν αυτή
-
την εξίσωση, και στην πράσινη γραμμή είναι όλα τα x και y
-
που ικανοποιούν αυτή την εξίσωση.
-
Αλλά υπάρχει ένα μόνο ζεύγος x και y που ικανοποιεί και τις δύο
-
εξισώσεις και μπορείτε να μαντέψετε πού είναι:
-
ακριβώς εδώ.
-
Όποια και αν είναι το σημείο (θα το κάνω με ροζ χρώμα για έμφαση)
-
Ανεξάρτητα ποιο είναι το σημείο αυτό, παρατηρήστε οτι ανήκει και στις δύο γραμμές.
-
Έτσι αυτά τα x και y θα ήταν η λύση για
-
αυτό το σύστημα εξισώσεων.
-
Ας δούμε πώς το κάνουμε αυτό.
-
Αυτό που θέλουμε να κάνουμε είναι να εξαλείψουμε τη μια μεταβλητή, επειδή
-
άν μπορέσουμε να αποκλείσουμε μια μεταβλητή, τότε μπορούμε απλώς να επιλύσουμε ως προς
-
την άλλη που απομένει.
-
Και ο τρόπος για να γίνει αυτό--για να δούμε,
-
θέλω να εξαλείψω την y, και πιστεύω ότι θα αποκτήσετε
-
μια διαίσθηση για το πώς μπορεί να γίνει αυτό όσο προχωράμε.
-
Και ο τρόπος που θα το κάνω είναι θα μετατρέψω
-
έτσι ώστε όταν προσθέσω αυτό σε αυτό, απαλείφονται.
-
Λοιπον, δεν απαλείφονται τώρα, έτσι πρέπει να
-
πολλαπλασιάσω την κάτω εξίσωση επι 4, και πιστεύω ότι ειναι
-
προφανής ο λόγος που το κάνω.
-
Ας πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση αυτή επί 4.
-
Και έχω 16*x + 4y= 40 + 32 - 72.
-
Σωστά;
-
Το μόνο που έκανα είναι να πολλαπλασιάσω και τις δύο πλευρές της
-
εξίσωσης επί 4, σωστά;
-
Και πρέπει να πολλαπλασιάστε κάθε όρο επειδή
-
ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα στις δύο πλευρές.
-
Ό,τι κάνετε στη μία πλευρά πρέπει να το κάνετε και στην άλλη.
-
Ας ξαναγράψω την επάνω εξίσωση
-
Και θα τη γράψω με το ίδιο χρώμα ώστε να μπορούμε να
-
παρακολουθούμε τα πράγματα.
-
9*χ-4y = -78
-
OK, και τώρα, για να προσθέσετε αυτές τις δύο εξισώσεις, οταν προσθέτετε εξισώσεις,
-
πρώτα προσθέσετε στην αριστερή πλευρά και
-
μετά προσθέστε τη δεξιά πλευρά.
-
Όταν προσθέτετε, έχετε 16 x + 9 x.
-
που ισούται με 25* x.
-
Σωστά;
-
16 + 9.
-
4y -4y που κάνει 0.
-
και στη συνέχεια έχουμε -72 -78.
-
=-150, σωστά;
-
Απλά τα προσθέτουμε.
-
Έτσι έχουμε 25* x = - 150.
-
θα μπορούσατε να διαιρέσετε και τις δύο πλευρές δια 25 ή να πολλαπλασιάσετε και τις δύο
-
πλευρές επί 1/25, είναι το ίδιο πράγμα.
-
Και θα έχετε x = -150 (σ.τ.μ.: τώρα το είδε οτι είναι αρνητικός)
-
χ=-6.
-
Και λύσαμε τη x-συντεταγμένη.
-
Τώρα για να λύσουμε την y θα χρησιμοποιήσουμε οποιαδήποτε
-
από τις εξισώσεις πάνω
-
Ας χρησιμοποιήσουμε αυτή, φαίνεται λίγο,
-
οριακά απλούστερη.
-
Έτσι, απλά αντικαταθιστούμε το x εκεί και έχουμε
-
4 *(- 6)+ y =-18.
-
έχουμε -24+ y =-18.
-
άρα y = 24 -18.
-
άρα y=6
-
Έτσι οι δύο γραμμές , οι δύο εξισώσεις,
-
τέμνονται στο σημείο όπου x =-6 και y= 6.
-
Έτσι στην πραγματικότητα τέμνονται κάπου γύρω εδώ
-
Οι γραμμές πιθανότερο να είναι κάπως έτσι
-
Φοβερό όμως ε;
-
Λύσαμε για δύο μεταβλητές χρησιμοποιώντας τις δύο εξισώσεις.
-
Ας δούμε πόσο χρόνο έχω.
-
Πιστεύω ότι έχουμε αρκετό χρόνο για να κάνουμε ακόμη ένα πρόβλημα.
-
Ας πούμε είχα τα σημεία, σε διαφορετικά χρώματα πάλι
-
-7 x - 4y = 9,
-
και η δεύτερη εξίσωση
-
χ+2*y=3
-
Τώρα αν ήθελα να το λύσω το ταχύτερο δυνατό, θα ήθελα ίσως
-
να πολλαπλασιάσω την εξίσωση αυτή επί 7 και αυτόματα θα
-
απαλείφονταν.
-
Αλλά αυτό είναι ο εύκολος τρόπος.
-
Θα σας δείξω ότι μερικές φορές ίσως χρειαστεί να
-
πολλαπλασιάσετε και τις δύο εξισώσεις, όχι όμως σε αυτήν την περίπτωση.
-
Ας το κάνουμε καλύτερα με το γρήγορο τρόπο, πολύ γρήγορα
-
Ας πολλαπλασιάσουμε την κάτω εξίσωση επι 7.
-
Και ο λόγος γιατί θέλω να την πολλαπλασιάσω το με 7,
-
είναι γιατί θέλω να απαλείψω αυτήν με αυτήν.
-
Εάν την πολλαπλασιάσουμε επί 7 έχουμε 7 x+ 14y= 21.
-
Ας ξαναγράψουμε την πρώτη εξίσωση
-
-7 x -4y = 9.
-
Τώρα απλά προσθέτουμε.
-
OK, οπότε αυτό είναι 0.
-
10*y +30.
-
y =3.
-
Τώρα ας αντικαταστήσουμε σε οποιαδήποτε εξίσωση από τις προηγούμενες,
-
ας το κάνουμε
-
x + 2 y = χ + 23
-
x + 6 = 3.
-
Έχουμε x =-3.
-
Αυτό ήταν σούπερ εύκολο.
-
Το σημείο τομής.
-
Ελπίζω ότι δεν το έκανα πολύ γρήγορα.
-
OK, έτσι οι δύο αυτές γραμμές τέμνονται στο σημείο
-
(-3, 3).
-
Ας κάνουμε μία ακόμη.
-
Ελπίζω αυτό να είναι πιο δύσκολο.
-
Πιστεύω ότι θα είναι.
-
OK, η -3x -9y = 66.
-
Έχουμε -7* x + 4y =- 71.
-
Εδώ δεν είναι προφανές.
-
Αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να απαλείψετε
-
τα y πρώτα.
-
Αυτό που κάνουμε είναι να προσπαθήσουμε να κάνουμε και τα δύο να ισούται με το ελάχιστο
-
κοινό πολλαπλάσιο των 9 και 4.
-
Έτσι, αν πολλαπλασιάσει την εξίσωση πάνω επί 4 έχουμε
-
Θα το κάνω εδώ.
-
Ας πολλαπλασιάσουμε επί 4.
-
επί 4.
-
Θα έχουμε
-
-12 x - 36y = 264.
-
ελπίζω ότι αυτό είναι σωστό.
-
Πολλαπλασιάζουμε την δεύτερη εξίσωση επί 9.
-
Έτσι είναι-63x+ 36y = -639.
-
Εντάξει, τώρα θα προσθέσουμε τις δύο εξισώσεις.
-
-75* x=(αυτές απαλείφονται)( 264-639)
-
639-264
-
Δείτε το κάνω σε πραγματικό χρόνο.
-
Δεν χρησιμοποιώ κάποιου είδους λύση εγχειρίδιο ή κάτι τέτοιο.
-
13 και 5, 70.
-
Δεν ξέρω εάν έχω δίκιο, αλλά θα δούμε.
-
Δεδομένου ότι είναι στην πραγματικότητα το 639 είναι αρνητικό 639, αυτό είναι μείον
-
375, και γνωρίζω ότι το 75 χωράει στο 300 4 φορές
-
άρα x = 5.
-
75 *5 = 375.
-
Εμείς απλώς διαιρούμε και τις δύο πλευρές δια 75.
-
Έτσι αν x= 5 εμείς απλώς αντικαθιστούμε και πάλι
-
ας χρησιμοποιήσουμε αυτή την εξίσωση.
-
Έτσι θα έχουμε -3 5 -9y = 66.
-
Έχουμε -15 -9*y= 66.
-
-9y = 81.
-
y=- 9.
-
Έτσι, η απάντηση είναι (5,-9)
-
Κατά τη γνώμη μου, είστε έτοιμοι να λύσετε κάποια συστήματα εξισώσεων.
-
Να περνάτε καλά.
