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Conic Sections: Intro to Ellipses

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    上一節 我講了圓
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    本字幕由網易公開課提供，更多課程請到http//open.163.com
  • 0:03 - 0:07
    圓是橢圓的特例
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    圓心到圓上的距離總是相等 而橢圓中
  • 0:13 - 0:16
    圓心到圓上的距離總是相等 而橢圓中
  • 0:16 - 0:20
    中心到橢圓上的距離總在變化
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    網易公開課官方微博 http://t.163.com/163open
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    橢圓的形狀
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    第一個影片就講過
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    大概是這樣的
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    橢圓上的點到中心的距離總在改變
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    假設橢圓中心是原點
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    oCourse字幕組翻譯：只做公開課的字幕組 http://ocourse.org
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    這是原點
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    可以看到 橢圓上的這一點
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    離圓心很近
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    這是離中心最近的
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    下面這裡也是一樣
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    而這裡 離中心非常遠
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    這是橢圓上離中心最遠的
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    圓是特例 因爲圓上
  • 0:58 - 1:02
    最遠距離和最近距離是一樣的
  • 1:02 - 1:05
    最遠距離和最近距離是一樣的
  • 1:05 - 1:07
    即離中心距離總不變
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    好了 來看一下數學表示
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    以原點爲中心的橢圓表示爲
  • 1:15 - 1:25
    x2/a2+y2/b2=1
  • 1:25 - 1:29
    a和b是任意兩個數
  • 1:29 - 1:31
    寫c2或d2也行
  • 1:31 - 1:33
    只不過是兩個待定係數
  • 1:33 - 1:37
    如果這是橢圓的方程
  • 1:37 - 1:43
    a表示x方向上的半軸長
  • 1:43 - 1:45
    這下面是a2
  • 1:45 - 1:48
    開根號以後 分母中的a
  • 1:48 - 1:49
    是x半軸
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    圖像中 這一段也就是a
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    圖像中 這一段也就是a
  • 1:55 - 1:58
    或者說這一點的坐標是
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    x=a y=0
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    當然 這個距離也是a
  • 2:06 - 2:10
    這一點是(-a,0)
  • 2:10 - 2:14
    而y方向上的半軸長是這一段
  • 2:14 - 2:17
    這是b
  • 2:17 - 2:21
    這一點x=0 y=b
  • 2:21 - 2:25
    同理 這一點處x=0
  • 2:25 - 2:27
    y=-b
  • 2:27 - 2:30
    這裡畫的橢圓又矮又扁
  • 2:30 - 2:33
    橢圓也可以又高又細
  • 2:33 - 2:36
    在橢圓中
  • 2:36 - 2:40
    較短的這個距離稱爲短軸
  • 2:40 - 2:44
    正確的術語我總是忘記
  • 2:44 - 2:56
    b稱爲半短軸長
  • 2:57 - 2:58
    這個詞怎麽來的呢
  • 2:58 - 3:01
    整個這段是短軸
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    整個這段是短軸
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    因爲它是整個橢圓中最短的距離
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    因爲它是整個橢圓中最短的距離
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    半 這表示短軸的一半
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    b也就是半短軸長
  • 3:21 - 3:25
    這裡的b是半短軸 因爲這個橢圓中
  • 3:25 - 3:27
    碰巧是b少於a
  • 3:27 - 3:32
    如果b大於a 橢圓會又高又細
  • 3:32 - 3:34
    我畫一個吧 大概是這樣
  • 3:34 - 3:37
    像這樣的一個橢圓中
  • 3:37 - 3:41
    b就是半長軸了
  • 3:41 - 3:44
    因爲b大於a
  • 3:44 - 3:46
    高比寬要大
  • 3:46 - 3:50
    我就不把圖搞得亂糟糟了
  • 3:50 - 3:55
    這裡 a稱爲半長軸長 大家肯定猜到了
  • 3:55 - 4:04
    這裡 a稱爲半長軸長 大家肯定猜到了
  • 4:04 - 4:12
    也可以稱爲長半軸長
  • 4:12 - 4:23
    對應的 這個稱爲短半軸長 看個例子吧
  • 4:23 - 4:26
    用實際數字爲例時
  • 4:26 - 4:28
    會更清楚明了
  • 4:28 - 4:33
    我們看一下這麽個橢圓
  • 4:33 - 4:45
    x2/9+y2/25=1
  • 4:45 - 4:48
    x方向的半軸是多少
  • 4:48 - 4:51
    這是x方向半軸長的平方
  • 4:51 - 4:53
    所以半短軸長是 a=3
  • 4:53 - 4:56
    所以半短軸長是 a=3
  • 4:56 - 4:58
    因爲這是a2
  • 4:58 - 5:00
    這個是b2
  • 5:00 - 5:05
    b=5
  • 5:05 - 5:08
    這是中心在原點的橢圓
  • 5:08 - 5:10
    先畫圖
  • 5:10 - 5:14
    很明顯 y方向的半軸
  • 5:14 - 5:17
    大於x方向的半軸
  • 5:17 - 5:20
    橢圓將又高又細
  • 5:20 - 5:23
    大概是這樣的
  • 5:23 - 5:29
    畫出坐標軸 x軸和y軸
  • 5:30 - 5:35
    這是y方向的半軸長
  • 5:35 - 5:42
    有就是這段 長度是5 這個也一樣
  • 5:42 - 5:44
    而這是x方向的半軸長
  • 5:44 - 5:48
    這是3 這也是3
  • 5:48 - 5:52
    這樣 橢圓就畫好了
  • 5:52 - 5:54
    很簡單
  • 5:54 - 5:56
    還是強調一下
  • 5:56 - 6:00
    圓是橢圓的特例
  • 6:00 - 6:04
    上一節 我講了圓的方程
  • 6:04 - 6:09
    圓心在原點的圓是
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    x2+y2=r2
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    兩側同時除以r2
  • 6:16 - 6:19
    通過簡單純代數運算
  • 6:19 - 6:28
    有x2/r2+y2/r2=1
  • 6:28 - 6:34
    此時a=r且b=r
  • 6:34 - 6:41
    半短軸和半長軸都是r
  • 6:41 - 6:43
    也就是說 這個距離等於這個
  • 6:43 - 6:46
    所以 既不長也不扁
  • 6:46 - 6:48
    完全是圓的
  • 6:48 - 6:52
    所以說 圓是橢圓的特例
  • 6:52 - 6:55
    下面看稍微複雜一些的情況
  • 6:55 - 6:58
    這可能會出現在考試中
  • 6:58 - 7:00
    也就是橢圓的平移
  • 7:00 - 7:07
    把這個橢圓平移一下
  • 7:07 - 7:12
    往右移5格
  • 7:16 - 7:19
    中心處x不再是0
  • 7:19 - 7:23
    而是5
  • 7:23 - 7:28
    可以這樣考慮 這一項需要是什麽
  • 7:28 - 7:33
    才能當x=5時 它爲0
  • 7:33 - 7:35
    我畫一下 有點複雜
  • 7:35 - 7:39
    右移5格之後 新方程
  • 7:39 - 7:53
    是(x-5)2/9+y2/25=1
  • 7:53 - 7:55
    畫一下這個橢圓
  • 7:55 - 7:58
    大概是這樣
  • 7:58 - 8:02
    我要畫一個和原來一樣的橢圓
  • 8:02 - 8:07
    像這樣 平移了5格
  • 8:07 - 8:11
    根據圓那一節我們講的內容
  • 8:11 - 8:13
    我們知道 平移後 中心處x=5
  • 8:13 - 8:17
    我們知道 平移後 中心處x=5
  • 8:17 - 8:18
    可以記住這個
  • 8:18 - 8:20
    這裡是個負號
  • 8:20 - 8:24
    表示中心爲正數
  • 8:24 - 8:26
    這裡是+5
  • 8:26 - 8:27
    這是正號 中心處就是負數
  • 8:27 - 8:31
    考慮方法實際上是這樣的
  • 8:31 - 8:38
    x=5時 x-5這整項
  • 8:38 - 8:42
    會和原來的x整項性質一樣
  • 8:42 - 8:49
    x=5時 這一項爲0 就像x=0時一樣
  • 8:49 - 8:52
    x=5時 這一項爲0 y2/25=1 y=5
  • 8:52 - 8:56
    x=5時 這一項爲0 y2/25=1 y=5
  • 8:56 - 8:59
    就像這裡 x=0時 y2/25=1 y=±5
  • 8:59 - 9:05
    就像這裡 x=0時 y2/25=1 y=±5
  • 9:05 - 9:07
    希望大家能夠有這種認識
  • 9:07 - 9:14
    然後 再將方程下移2格
  • 9:14 - 9:19
    新橢圓會像這樣…
  • 9:19 - 9:22
    其實不僅是圓錐曲線
  • 9:22 - 9:24
    所有函數曲線平移時都是如此
  • 9:24 - 9:27
    所有函數曲線平移時都是如此
  • 9:27 - 9:31
    往右平移5格 所有x替換爲x-5
  • 9:31 - 9:34
    往右平移5格 所有x替換爲x-5
  • 9:34 - 9:39
    往下平移2格 所有y替換爲y+2
  • 9:39 - 9:45
    往下平移2格 所有y替換爲y+2
  • 9:45 - 9:48
    先畫一下新的橢圓再說
  • 9:48 - 9:52
    往下平移2格
  • 9:53 - 9:59
    新橢圓大概是這樣
  • 9:59 - 10:03
    把黃色這個向下平移2格
  • 10:03 - 10:09
    下移後 x這裡不變
  • 10:09 - 10:20
    (x-5)2/9+(y+2)2/25=1
  • 10:20 - 10:24
    這是因爲 當y=-2時 這整項是0
  • 10:24 - 10:31
    這是因爲 當y=-2時 這整項是0
  • 10:31 - 10:36
    這整個是0 和這整個是0的效果一樣
  • 10:36 - 10:39
    y=-2與原來得到曲線上相同的相對位置
  • 10:39 - 10:43
    y=-2與原來得到曲線上相同的相對位置
  • 10:43 - 10:46
    也就是這裡
  • 10:46 - 10:49
    這和原來y=0時位置一致 這裡
  • 10:49 - 10:50
    不是同一點
  • 10:50 - 10:53
    不過相對橢圓是相同位置
  • 10:53 - 10:58
    可以說是 橢圓相同的最大寬度值 這裡
  • 10:58 - 11:06
    這裡y=-2 對應於 這裡y=0
  • 11:06 - 11:09
    因爲y=-2代入這裡整個是0
  • 11:09 - 11:13
    和這裡y=0時一樣 大家明白沒
  • 11:13 - 11:16
    我總結一下
  • 11:16 - 11:24
    有時題目要求畫圖：(y-1)2/4+(x+2)2/9=1
  • 11:24 - 11:33
    有時題目要求畫圖：(y-1)2/4+(x+2)2/9=1
  • 11:33 - 11:36
    看到這種題目 首先
  • 11:36 - 11:44
    想像標準的y2/4+x2/9=1
  • 11:44 - 11:47
    形狀一樣 只是需要平移
  • 11:47 - 11:55
    這個的中心是(0,0) 而上面這個呢
  • 11:55 - 12:01
    其中心是(-2,1)
  • 12:01 - 12:09
    畫圖時 這個y方向半軸長爲2
  • 12:09 - 12:13
    22=4 而x方向半軸長是3
  • 12:13 - 12:16
    32=9
  • 12:16 - 12:19
    所以x半軸長於y半軸
  • 12:19 - 12:23
    所以橢圓有些扁
  • 12:23 - 12:30
    首先畫坐標軸吧 重畫
  • 12:30 - 12:38
    這是縱軸 這是橫軸
  • 12:38 - 12:41
    中心在(-2,1)
  • 12:45 - 12:51
    這是(-2,1) 它是橢圓的中心
  • 12:51 - 12:58
    x方向上 半軸長度爲3
  • 12:58 - 13:04
    所以這個方向是3
  • 13:04 - 13:07
    最寬處有3格遠
  • 13:07 - 13:11
    y方向上 半軸長爲2
  • 13:11 - 13:15
    這一點 還有這一點
  • 13:15 - 13:23
    橢圓大概像這樣
  • 13:24 - 13:27
    比較扁 這是因爲
  • 13:27 - 13:31
    x半軸長大於y半軸長
  • 13:31 - 13:35
    這個距離和這個距離是3
  • 13:35 - 13:42
    而這個距離和這個距離只有2
  • 13:42 - 13:43
    這些點也可以求出
  • 13:43 - 13:46
    時間關係 我就不都求出了
  • 13:46 - 13:49
    中心是(-2,1)
  • 13:49 - 13:53
    這一點比這個大3
  • 13:53 - 13:58
    也就是(1,1)
  • 13:58 - 13:59
    x方向往這邊
  • 13:59 - 14:01
    有(-5,1)
  • 14:01 - 14:02
    其它點求法一樣
  • 14:02 - 14:04
    這是很好的練習
  • 14:04 - 14:06
    以上就是橢圓
  • 14:06 - 14:08
    以後影片中還有更複雜的問題
  • 14:08 - 14:11
    需要化簡曲線方程來知道
  • 14:11 - 14:13
    這是一個橢圓
Title:
Conic Sections: Intro to Ellipses
Description:

Introduction to the ellipse.
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Video Language:
English
Duration:
14:14
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

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