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Integer sums

  • 0:01 - 0:04
    歡迎參加計算整數的和的課程
  • 0:04 - 0:07
    你可能會問
  • 0:07 - 0:08
    爲什麽我們在平均數之後講這個話題？
  • 0:08 - 0:10
    那麽，如果你仔細想想，所有的平均數
  • 0:10 - 0:13
    都是你用一堆數字的和去除以
  • 0:13 - 0:15
    這堆數字的個數
  • 0:15 - 0:17
    我們今天要做的是兩個代數問題
  • 0:17 - 0:19
    這兩個代數問題首先包括了計算和的過程
  • 0:19 - 0:23
    同時，他們也會涉及到平均數的問題
  • 0:23 - 0:25
    我們先來看第一題
  • 0:25 - 0:33
    首先，我告訴你，我有5個連續整數的和
  • 0:33 - 0:49
    爲200
  • 0:49 - 0:56
    其中最小的那個數是多少？（不好意思，我的書寫有點難看）
  • 0:56 - 1:03
    題目是：這5個整數中最小的那個數是多少？
  • 1:03 - 1:07
    這個問題有幾種解法
  • 1:07 - 1:10
    但是，我認爲最直接的方式是用代數的方法
  • 1:10 - 1:11
    我會這麽認爲
  • 1:11 - 1:15
    我們設最小的那個整數爲x
  • 1:15 - 1:18
    因此，x就是我們想要得到的值
  • 1:18 - 1:25
    假設x是最小的整數，那麽剩下的4個數是什麽呢？
  • 1:25 - 1:26
    我們總共有5個數
  • 1:26 - 1:28
    他們是連續的
  • 1:28 - 1:30
    連續就意味著他們一個接著一個
  • 1:30 - 1:32
    比如5,6,7,8,9,10
  • 1:32 - 1:34
    這些都是連續的整數，對吧？
  • 1:34 - 1:36
    如果你記得的話，整數是完整的數字
  • 1:36 - 1:38
    所以，不可能有分數或者小數
  • 1:38 - 1:41
    因此，如果x是最小的，那麽下一個整數就是
  • 1:41 - 1:44
    x+1
  • 1:44 - 1:47
    之後的那個就是x+2
  • 1:47 - 1:50
    之後的那個是x+3
  • 1:50 - 1:54
    之後的那個是x+4，對吧？
  • 1:54 - 1:56
    可能我寫的這些x讓你覺得有點困惑
  • 1:56 - 2:00
    但是你可以這樣想，加入x是5，那麽這就是6
  • 2:00 - 2:03
    這就是7，這就是8，這就是9
  • 2:03 - 2:05
    這寫就是我所寫的，對吧？
  • 2:05 - 2:08
    所以，假設x是最小的整數
  • 2:08 - 2:15
    那麽5個整數就是：x，x+1，x+2，x+3，x+4，x+5
  • 2:15 - 2:20
    我們知道這5個連續整數的和是200
  • 2:20 - 2:27
    那麽這5個，我們可以說數字或者說算式的和是多少呢？
  • 2:27 - 2:31
    我來看看，我們有5個x，1,2,3,4,5
  • 2:31 - 2:37
    所以x+x+x+x+x等於5x
  • 2:37 - 2:39
    或者你可以直接說5乘以x
  • 2:39 - 2:43
    然後，剩下的就是1+2是3,3加3是6
  • 2:43 - 2:46
    6+4是10
  • 2:46 - 2:48
    所以，這5個整數的和就是5x+10
  • 2:48 - 2:52
    我所做的就是把所有的x相加，然後把所有的常數相加
  • 2:52 - 2:56
    我們已經知道和爲200
  • 2:56 - 2:58
    現在這就只是一個線性代數的等式
  • 2:58 - 3:00
    我們只需要解出x
  • 3:00 - 3:08
    兩邊都減去10後，我們得到5x=190，對吧？
  • 3:08 - 3:15
    然後x等於多少呢？190除以5
  • 3:15 - 3:20
    19除以5等於3余4，3乘以5等於15
  • 3:20 - 3:23
    9減去5是4，0下來
  • 3:23 - 3:26
    40除以5，等於8
  • 3:26 - 3:27
    因此x等於38
  • 3:27 - 3:32
    很簡單的問題，不是嗎？
  • 3:32 - 3:39
    那麽，如果我要問，這5個連續整數的平均數是多少呢？
  • 3:39 - 3:41
    有兩種方法可以解出這個問題。
  • 3:41 - 3:43
    我們已經知道x等於38,
  • 3:43 - 3:52
    我們也就知道另外幾個數是多少了，分別是38,39,40,41,42
  • 3:52 - 3:54
    我們可以算出這5個數的平均數。
  • 3:54 - 3:58
    38+29+40+41+42
  • 3:58 - 3:59
    我們已經知道這5個數的和是多少
  • 3:59 - 4:00
    甚至不需要計算
  • 4:00 - 4:03
    我們已經知道他們的和爲200
  • 4:03 - 4:07
    然後除以5，因爲一共有5個數字
  • 4:07 - 4:09
    因此平均數爲40
  • 4:09 - 4:16
    你可以從幾個方面思考這個問題
  • 4:16 - 4:19
    第一，可以看到40是排在5個數的正中間，因此平均數是40是合理的
  • 4:19 - 4:22
    你可以說40是中間數的時候
  • 4:22 - 4:26
    那是只有當其他的數字平均分布在40前後的時候，
  • 4:26 - 4:28
    如果說我們有一個數字遠遠少於40
  • 4:28 - 4:30
    你就不能選擇中間的數字
  • 4:30 - 4:32
    但是針對這一題，這些事連續的整數，那就可以這麽做
  • 4:32 - 4:34
    另外一種解決這個問題的方法是，
  • 4:34 - 4:38
    假如在SAT考試中，題目是告訴你5個數的和是200，
  • 4:38 - 4:42
    問你這些數的平均值是多少？
  • 4:42 - 4:44
    那麽我所需要做的就是
  • 4:44 - 4:46
    用5除200，得到40。
  • 4:46 - 4:48
    我們來做另外一題
  • 4:48 - 4:50
    我會出的稍微難一點
  • 4:50 - 5:09
    7個奇數的和是......
  • 5:09 - 5:12
    我希望這個數字可以，我正在腦子裏算
  • 5:12 - 5:28
    是217，那麽最大的那個數是多少？
  • 5:28 - 5:36
    我不能說數字，應該說7個是奇數的整數
  • 5:36 - 5:38
    事實上如果是7個奇數，那麽這一題會更難
  • 5:38 - 5:41
    噢，事實上無論如何奇數只能是整數
  • 5:41 - 5:43
    所以你幾乎可以這麽假設
  • 5:43 - 5:45
    7個奇數的和是217
  • 5:45 - 5:50
    最大的那個整數是多少？
  • 5:50 - 5:53
    你們都看得出來我是一邊講一邊在想題目
  • 5:53 - 5:56
    其實我妻子剛才在檢查我
  • 5:56 - 5:57
    他認爲我患有良性暈眩
  • 5:57 - 5:59
    今天早上我去工作的時候覺得頭很暈
  • 5:59 - 6:01
    所以請大家原諒
  • 6:01 - 6:03
    這個更加妨礙了我
  • 6:03 - 6:05
    那麽我們來做這一題
  • 6:05 - 6:11
    我們設x是最大的數
  • 6:11 - 6:14
    那麽x之後是什麽數呢？
  • 6:14 - 6:17
    是x-1嗎？
  • 6:17 - 6:20
    但是，假入x是奇數
  • 6:20 - 6:22
    那麽x-1就是偶數
  • 6:22 - 6:27
    所以，爲了得到緊接著x的數
  • 6:27 - 6:30
    我們需要用x減去2
  • 6:30 - 6:33
    很抱歉，題目應該是
  • 6:33 - 6:34
    7個連續奇數的和
  • 6:34 - 6:36
    我不知道你們是不是假定了這個條件
  • 6:36 - 6:39
    我今天真是努力得在混淆你們！
  • 6:39 - 6:44
    7個連續奇數的和是217
  • 6:44 - 6:47
    最大的整數是多少？
  • 6:47 - 6:49
    加入x最大，那麽第二大的是x-2
  • 6:49 - 6:53
    對吧，因爲是連續的奇數
  • 6:53 - 6:54
    不僅是連續
  • 6:54 - 6:58
    所以連續的奇數應該是例如1,3,5,7
  • 6:58 - 6:59
    跳過了偶數，對吧？
  • 6:59 - 7:01
    那就是爲什麽上下差了2
  • 7:01 - 7:03
    取決於你怎麽看
  • 7:03 - 7:05
    所以下面第二個數是x-2,
  • 7:05 - 7:13
    接著會有x-4，x-6，x-8，x-10，x-12
  • 7:13 - 7:14
    我認爲就到這裡爲止。
  • 7:14 - 7:17
    1,2,3,4,5,6,7，對吧
  • 7:17 - 7:18
    這是那7個數
  • 7:18 - 7:19
    他們中間差了2
  • 7:19 - 7:22
    x是其中最大的，對吧？
  • 7:22 - 7:24
    我們可以假設他們是奇數，因爲很明顯
  • 7:24 - 7:26
    題目解出來後，他們就會是奇數
  • 7:26 - 7:28
    這7個數的和是多少？
  • 7:28 - 7:32
    7個x相加就是7x
  • 7:32 - 7:39
    然後，我們繼續算，2加4等於6,6加6是12,12加8是20
  • 7:39 - 7:43
    20加10是30，30加12是32
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    所以7x-32=217
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    我們只需要解出x。
  • 7:54 - 7:58
    7x等於......兩邊都加32
  • 7:58 - 8:04
    我們得到249
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    讓我們看看7除249，對吧？
  • 8:10 - 8:14
    對
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    7除249，我剛才的加法做得對嗎？
  • 8:18 - 8:19
    我想確認一下
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    2加4是6,6加6是12,12加8是20,20加10是30
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    30加12是42。
  • 8:33 - 8:34
    哦，對了。
  • 8:34 - 8:37
    看吧，我的數學超能力會告訴我
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    這個答案有點可疑
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    所以7x-42
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    兩邊都加42，得到7x=259
  • 8:47 - 8:50
    看我多勇敢，我就這樣實時的出題和做題。
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    259.
  • 8:51 - 8:56
    所以7除259。7除25得3
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    3乘以7是21，49，最後得到37
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    所以我們得到x等於37，這樣就可以了。
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    再回顧一下，因爲我覺得
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    展示的過程中有很多錯誤
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    題目是7個連續奇數的和是217
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    最大的整數是多少？
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    我假設x是最大的整數，那麽如果x是最大的，
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    接下來就是x-2
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    因爲我們說的不僅是連續的整數
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    我們說的是連續的奇數，對吧
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    因此，假設x是37，這是我們剛才解出來的答案，
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    那麽x-2就是35，這是33，這是31，這是29
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    這是27，這是25
  • 9:41 - 9:46
    然後我們把所有x相加
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    我把常數相加，得到的結果是217
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    那麽我們就解出了x
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    我認爲你們現在已經準備好可以嘗試這類的題目啦。
  • 9:53 - 9:55
    玩的開心。
Title:
Integer sums
Description:

Adding sums of consecutive integers
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Video Language:
English
Duration:
09:55
David Chiu edited Chinese, Traditional subtitles for Integer sums
nccu98701038 added a translation

Chinese, Traditional subtitles

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