Tam Sayı Toplamları

Ardışık tam sayıların toplamları

Tam sayıların toplamlarının bulunacağı sunuma hoşgeldiniz.

Muhtemelen bunu neden ortalama alma başlığının altında işledigimizi merak ediyorsunuzdur.

-

Eğer düşünürseniz, ortalama aslında birkaç sayının toplanıp kaç tane sayı varsa ona bölünmesiyle elde edilen değerdir.

-

-

Burada yapacağımız birkaç tane içerisinde ilk önce toplama olan cebir problemi çözmek, sonra da aslında bunlar ortalama sorularına dönüşecekler.

-

-

Bir problemle başlayalım.

Diyelim ki size söyledim, 5 tane ardışık tam sayının toplamı 200'e eşit.

-

-

Bu tam sayıların en küçüğü hangisidir?

Bunu çözmenin aslında birçok yolu var ama bence en kolayı cebirle çözmek.

-

-

Diyelim ki bu sayıların en küçüğü x.

Evet, yani burada bulmak istediğimiz x'in değeri.

Eğer x en küçükse, geriye kalan 4'ü kaç olacak?

Toplamda 5 tane var.

Ve ardışıklar.

Ardışık demek birbirini takip ediyor anlamına geliyor, yani 5,6,7,8,9,10 gibi.

-

Bunlar ardışık tam sayılar, değil mi?

Ve eğer hatırlarsanız, tam sayılar bütün sayılardır, yani kesir veya ondalıklı olamazlar.

-

Yani eğer x en küçükse, takip eden tam sayı da x artı 1 olacaktır.

-

Ondan sonraki x artı 2 sonraki x+3 ve sonuncu da x+4 olur.

-

-

Bu kadar çok x yazmam kafa karıştırabilir.

Eğer düşünürseniz, x'in değeri 5 olsaydı, bunun değeri altı, bununki 7, bununki 8 ve bununki de 9 olurdu.

-

Buraya yazdığım da sadece bu.

x'in bu sayılar arasında en küçük tam sayı olduğunu düşünürsek, tam sayıların hepsi, x, x+1, x+2, x+3 ve x+4 olur.

-

Ve biliyoruz ki bu birbirini takip eden ardışık 5 tam sayının toplamı 200.

Peki bu beş terimin toplamları kaçtır?

Bakalım, burada 5 tane x var -- 1,2,3,4,5

O zaman x artı x artı x artı x artı x 5x'e eşittir.

Ya da 5 kere x de diyebilirdik.

Ve burası da artı 1, artı 2, 3'e, 3 artı 3 6'ya , 6 artı 4 ise 10' a eşittir.

-

Yani buradaki 5 tane tam sayının toplamı 5x artı 10'a eşit, ve burada yaptığım tek şey x'leri ve yanlarındaki sayıları toplamaktı.

-

Ve bunun 200'e eşit olduğunu biliyoruz.

Bu sadece ikinci seviye bir doğrusal denklem.

Bunu x için çözebiliriz.

Elimizde 5x'in 190'a eşit olduğu kalıyor, sadece her iki taraftanda 10 çıkardım.

Ve x 5 bölü 190'a eşittir.

-

-

-

Yani, x 38'e eşittir.

Apaçık bir soruydu bu.

Şimdi, eğer size bu 5 ardışık sayının ortalamasını sorsalar ne olurdu?

Bunu bulmanın iki yolu var.

Burada aslında biliyor olduğumuz şey x'in 38 olduğu, böylece sayıların da kaç olduğunu bilebiliriz, yani 38, 39,40, 41, 42.

-

Bu 5 sayının ortalamasını alabiliriz.

O zaman 38 artı 39 artı 40 artı 41 artı 42.

İşlemi yapmama bile gerek yok, çünkü biliyoruz ki bunların toplamı zaten 200'e eşit.

-

-

Daha sonra toplamlarını 5'e bölüyoruz, çünkü 5 tane sayı var.

Yani ortalamaları 40.

Bunu birkaç yolla düşünebilirsiniz.

İlk yol, görüyorsunuz ki buradaki ortanca sayı 40,

ve bunun ortanca sayı olduğunu söylememiz için bütün sayıların 40'ım etrafında eşit dağılmış olması gerekiyor.

-

Eğer 40'dan çok daha küçük bir sayımız olsaydı direkt olarak ortanca sayıyı seçemezdiniz.

-

Ama bu durumda bu sayılar ardışık ve göze güzel geliyor.

Bu soruyu çözebileceğimiz bir diğer yol ise, bu 5 sayının toplamının 200'e eşit olduğunu bildiğimiz ve ortalamalarının kaça eşit olduğu sorulduğu için 200'ü 5'e bölmek ve 40 elde etmek olurdu.

-

-

-

-

Şimdi bir başka problem çözelim ve bu sefer biraz daha zorlaştırayım..

-

Diyelim ki 7 tane tek sayının toplamı, 217'ye eşittir.

-

Bu sayılardan en büyügü kaçtır?

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

Bu soruyu çözelim.

Diyelim ki x en büyük sayı.

O zaman x'in tam altındaki sayı kaç olurdu?

x eksi 1 mi?

Eğer x tek bir sayıysa, x eksi 1 çift bir sayı olur.

-

O zaman tam altındaki sayıyı bulmak istersek, başka bir tek sayı elde etmek için x eksi 2 yazmalıyız.

-

Benim hatam, 7 tane ardışık tek sayının toplamı diye sormam gerkiyordu.

-

Böyle düşündünüz mü bilemiyorum.

-

7 tane tek tam sayının toplamı 217'ye eşit.

Bu tam sayıların en büyüğü hangisi?

Eğer x en büyükse, ondan sonra gelen küçük sayı da x eksi 2 olur çünkü bunlar ardışık tek sayılar, ardışık sayılar değil.

-

-

Ardışık tek sayılar 1,3,5,7 gibi, yani çift sayıları atlıyorsunuz.

-

Bu yüzden aşağıya veya yukarıya doğru ikişer gidiyorsunuz, nereden baktığınıza göre değişir.

-

Bundan sonraki bir aşağı x eksi 2, ondan sonra x eksi 4, x eksi 6, x eksi 8, x eski 10 ve x eksi 12.

-

Sanırım bu kadar.

Bir, iki, üç, dört, beş, altı, yedi. Tamamdır.

Bunlar 7 tane sayı.

Birbirlerinden iki uzaklıktalar.

x aralarında en büyüğü, değil mi?

Bunların tek sayı olduğunu varsayıyoruz çünkü bu sayılar tek olduğu için problem çözülebilecek.

-

Bu 7 tane sayının toplamı kaç?

7 tane x'in toplamı 7x eder.

Sonra ise, 2 artı 4 6 , 6 artı 6 12, 12 artı 8 20, 20 artı 10 30 ve 30 artı 12 32 eder.

-

Yani 7x eksi 32 217'ye eşittir.

Bu sayede x'i bulmuş olduk.

Bakalım, her iki tarafa da 32 eklersek, 249 elde ediyoruz.

-

249'u da 7'ye böleceğiz.

-

249'u 7'ye bölünecek, acaba doğru topladım mı?

Doğrulamak istiyorum.

2 artı 4 6, 6 artı 6 12, 12 artı 8 20, 20 artı 10 30 ve 30 artı 12 de 42 eder.

-

Tamamdır.

-

-

Yani, burası 7x eksi 42.

Her iki tarafa da eğer 42 eklersek, 7x 259'a eşit olur.

-

-

259'u 7'ye bölüyoruz.

Sonuç olarak, x eşittir 37 ve soru bitti.

-

Yaptığım şeyleri tekrar etmek istiyorum.

-

Soru, toplamları 217 olan 7 tane ardışık tek sayının en büyüğünün kaç olduğuydu.

-

x'in en büyük olduğunu söyledik. Eğer x en büyükse bundan sonraki bir küçük olan x eksi 2'dir.

-

Çünkü sadece ardışık tam sayılar demiyoruz, ardışık tek tam sayılar diyoruz.

-

Yani eğer x 37'ye eşitse, bulduğumuz sonuca göre, o zaman x eksi 2 35'e, bu 33'e, bu 31'e, bu 29'a, bu 27'ye ve bu da 25'e eşit olur.

-

-

Böylece bütün x'leri ve bütün yanlarındaki sayıları topladık ve bunların 217'ye eşit olduğunu söyledik.

-

Bu şekilde x'i bulmuş olduk.

Bence şimdi bu sorulardan birkaç tane denemeye hazırsınız.

İyi eğlenceler.