Integer sums

Adding sums of consecutive integers

Vítajte v prezentácii, ako nájsť súčty čísel.

Najskô premýšľate, prečo toto robíme

v súvislosti s priemermi.

Ak sa nad tým zamyslíte, priemer je

súčet čísel v skupine a tento súčet vydelíte

počtom čísel, ktoré tam máte.

Vyriešime si tu pár príkladov z algebry,

ktoré zahŕňajú tieto súčty a vlastne

potom sa môžu premeniť na príklady na priemer.

Začnime príkladom:

Povedzme, že som vám povedal, že súčet piatich po sebe

idúcich čísel sa rovná 200.

Aké je najmenšie....ospravedľňujem sa za svoj rukopis...

aké je najmenšie z týchto piatich čísel?

Je niekoľko spôsobov, ako to vyriešiť, ale myslím,

že najpriamejšia cesta k výsledku je algebraické riešenie,

povedal by som.

Takže povedzme, že x je najmenšie z čísel.

Dobre, tak x je vlastne to, čo chceme vypočítať.

Ak x je najmenšie, aké budú ostatné štyri čísla?

Máme ich celkom 5.

A sú po sebe idúce.

To znamená, že idú jedno za druhým

Ako napríklad 5,6,7,8,9,10.

Tieto čísla idú postupne po sebe. Je to tak?

A hovoríme o celých číslach. Takže to nemôžu

byť zlomky alebo desatinné čísla.

Takže ak x je najmenšie, tak potom ďalšie celé číslo

bude x + 1.

A to ďalšie celé číslo bude x + 2

a nasledujúce bude x +3

a to ďalšie bude x + 4.

Možno vás mätie, že píšem všetky tie x,

ale keď sa nad tým zamyslíte, keby x bolo 5, potom toto by bolo 6,

toto 7, toto by bolo 8 a toto 9.

A to je všetko, čo tu píšem. Jasné?

Takže to sú, za predpokladu, že x je najmenšie

z celých čísel, päť celých čísel by bolo: x, x+1, x+2, x+3, x+4.

A vieme, že súčet týchto po sebe idúcich celých čísel je 200.

Aký je súčet týchto piatich, asi by sme mohli povedať čísel, alebo výrazov?

Pozrime sa na to, máme päť x...1,2,3,4,5.

Takže x + x + x + x + x = 5x

Alebo môžete povedať 5 krát x.

A potom je to 1 + 2 je 3 + 3

je 6; 6 + 4 je 10.

Takže súčet týchto 5-tich čísel bude: 5x + 10

A to som len sčítal všetky x a konštanty.

Vieme, že sa to bude rovnať 200.

Je to len lineárna rovnica druhej úrovne.

Stačí vypočítať x.

Dostávame 5x = 190... práve som odčítal 10 z ibidvoch strán rovnice.

A potom x = .... vydelím 190 piatimi.

19 deleno 5 je 3, 3 krát 5 je 15,

9 -5 = 4, pripíšem 0.

40 deleno 5 je 8.

Tkže x = 38.

Celkom jasné, nemyslíte?

A teraz, čo by som sa vás opýtal, aký je priemer piatich po sebe idúcich čísel?

Sú dva spôsoby, ako na to prísť.

Teraz, keď už vieme, že x je 38, vieme že

ďalšie čísla budú... 38,39,40,41,42.

Mohli by sme len spočítať priemer.

Mohli by ste povedať: 38 + 39 + 40 + 41 + 42.

A to už vieme, ani to nemusím

počítať.

Už viete, že ich súčet je 200.

A potom vydelíme súčet 5, pretože tu máme 5 čísel.

Takže priemer je 40.

Môžete o tom premýšľať niekoľkými spôsobmi.

Zaprvé, je vidieť, že 40 je prostredné číslo, to dáva zmysel.

A že je prostredné, môžeme povedať len

ak sú okolité čísla rozmiestnené okolo 40-tky rovnomerne.

Mohli by sme mať číslo, ktoré by bolo omnoho menšie ako 40, alebo

prípad, keby ste nemohli vybrať prostredné číslo.

Ale v tomto prípade po sebe idúcich čísel to dáva zmysel.

Iný spôsob riešenia je, ak by ste zrovna

písali test a v zadaní by sa vás pýtali: Súčet 5-tich čísel

je 200. Koľko je priemer týchto čísel?

Poviete si: všetko,čo musím urobiť, je vydeliť 200

5-timi a dostanem 40.

Pustíme sa dodalších príkladov a tentokrát bude

trošku zložitejší.

Povedzme, že súčet siedmich nepárnych čísel, vymýslím nejaké dobré...

dúfam,že to vyjde, skúsim to z hlavy...

je 217, aké je najväčšie číslo?

Nemal by som hovoriť číslo... sedem celých nepárnych čísel.

Bol by to omnoho ťažší príklad, ak by to bolo len

sedem nepárnych čísel...vlastne nepárne čísla môžu byť aj tak len celé

čísla. Takže to môžete predpokladať.

Súčet siedmich nepárnych celých čísel je 217.

Aké celé číslo je z nich najväčšie?

Ako vydíte, vymýšľam to "za pochodu".

A moja žena stanovila moju diagnózu, myslí si

že trpím závratmi.

Ráno mi nebolo dobre, mal som závrať, tak

ma prosím ospravedlňte.

Trochu ma to ruší.

Vyriešme ten príklad.

Povedzme, že x je najväčšie.

Potom aké bude ďalšie číslo menšie než x?

Bude to x - 1?

No, pokiaľ je x nepárne číslo, x - 1 by bolo

párne číslo.

Takže, aby sme dostali číslo menšie než x nepárne,

musíme zadať x - 2. Tak získame ďalšie nepárne číslo.

Osprevedlňujem sa --malo to byť súčet siedmich po sebe

idúcich nepárnych čísel.

Neviem, či ste to automaticky prdpokladali.

Dnes robím všetko pre to, aby som vás zmiatol.

Súčet siedmich po sebe idúcich nepárnych čísel je 127.

Ktoré je najväčšie z tých čísel?

Ak je x najväčšie, potom predchádzajúce menšie by bolo

x -2, pretože sú to po sebe idúce nepárne čísla.

ńie len po sebe idúce.

Takže po sebe idúce nepárne čísla ako 1,3,5,7...

vynechávame párne, je to tak?

To je dôvod prečo sa posúvate o dve čísla hore alebo dole,

v závislosti od uhla pohľadu.

Takže ďalšie menšie číslo bude x-2, potom budeme

mať x-4, x-6, x-8, x-10, x-12.

Myslím, že je to všetko.

1,2,3,4,5,6,7,, v poriadku.

Je to 7 čísel.

Vždy po dvoch po sebe

x je z nich najväčšie.

Môžeme predpokladať, že sú nepárne, pretože

príklad vyjde len ak sú nepárne.

Tak, aký je súčet týchto siedmich čísel?

Tých sedem x môžeme zapísať ako 7x,

a potom, pozrieme sa nato, 2+4 je 6; 6+6 je 12; 12+8 je

20; 20+ 10 je 30 a 30 +12 je 32

Takže 7x - 32 = 217

Počítame x

7x = ---ak pričítame 32 na obidve strany rovnice

dostaneme 249.

Tak sa pozrime, 249 deleno 7...je to tak?

Áno, je.

249 deleno 7... sčítal som to dobre?

Radšej to preverím.

2+4 je 6; 6+6 je 12; 12+8 je 20; 20+10j

je 30; 30+12 je 42.

No áno,tu to máme.

Moja matematická intuícia mi napovedala,

že niečo nesedí.

Tak 7x - 42

Takže ak pričítame 42 na obidve strany rovnice, tak 7x =259

Vidíte, aký som odvážny? Robím to za pochodu.

259

259 deleno 7....25deleno 7 je 3

3 krát 7 je 21, 49..výsledok je 37

Vyšlo nám, že x je 37 a máme hotovo.

Poďme sa na to pozrieť znovu, pretože myslím,že som mal

v prezentácii tohoto príkladu spústu chýb.

Otázka znela: Súčet siedmich po sebe idúcich nepárnych čísel je 217.

Aké je najväčšie číslo?

Povedal som, že x je najväčšie a pokiaľ je x najväčšie,

predchádzajúce menšie bude x - 2.

Pretože nehovoríme o po sebe idúcich číslach,

ale hovoríme o po sebe idúcich nepárnych číslach.

Takže, ak x je 37, čo je naše riešenie, potom x-2

je 35, toto je 33, toto 31, toto 29, toto je

27 a toto je 25.

A potom som sčítal x a sčítali sme

všetky konštanty a povedali, že ich súčet je 217.

Potom sme vypočítali x.

Myslím, že už ste pripravení tieto príklady počítať.

Tak si to užite:-).