Integer sums

Adding sums of consecutive integers

Bem-vindo à apresentação sobre encontrar somas de números inteiros.

Estão, provavelmente, a perguntar-se por que estamos a fazer isto

no contexto das médias.

Bem, se pensarmos bem, uma média é: tomamos

uma soma de um conjunto de números e dividimos

pelo número de números que temos.

Vamos fazer aqui alguns problemas de álgebra

que envolvem apenas as partes de soma primeiro, e na verdade eles podem

tomar-se como problemas de médias também.

Vamos começar com um problema.

Digo-vos que tenho: a soma de cinco números inteiros

consecutivos é igual a 200.

Qual é o menor -- peço desculpa pela minha caligrafia

--qual é o menor dos cinco números inteiros?

Bem, há algumas maneiras de fazer isto, mas acho que

a mais simples é fazê-lo algebricamente,

Digo eu.

Vamos dizer que x é o menor dos números inteiros,

certo, x é de facto o que vamos querer descobrir.

Se x é o menor, o que vão ser os outros quatro?

Temos um total de cinco.

Bem, eles são consecutivos.

Consecutivos significa que eles se seguem uns aos outros,

como 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Todos estes são números inteiros consecutivos, certo?

E se se lembrarem, números inteiros são apenas números inteiros,

não podem ser uma fração ou um decimal.

Portanto, se x é o menor, o próximo número inteiro

vai ser x mais 1.

E o número depois desse vai ser x mais 2.

E o número depois desse vai ser x mais 3.

E o número depois desse vai ser x mais 4, certo?

Pode parecer confuso que estou escrevendo todos esses x

Mas se pensarem bem, se x fosse 5, então isto seria 6,

isto seria 7, isto seria 8 e isto seria 9.

É apenas isso que estou aqui a escrever, certo?

Assim estes seriam, assumindo que x é o menor dos

números inteiros, os cinco números inteiros seriam x, x + 1, x + 2, x + 3 e x + 4.

E sabemos que a soma destes cinco números inteiros consecutivos é 200.

Qual é a soma destes cinco, poderíamos dizer, números ou expressões?

Vejamos, temos cinco x's -- 1, 2, 3, 4, 5.

x mais x mais x mais x mais x é igual a 5x.

Ou poderíamos apenas dizer 5 vezes x.

E, em seguida, mais 1 mais 2 é 3, 3 mais 3

é 6, 6 mais 4 é 10.

Portanto, a soma destes cinco números inteiros vai ser 5x mais

10, e tudo que fiz foi somar os x 's e somar as constantes.

E sabemos que isso vai ser igual a 200.

Esta é uma equação linear de nível dois.

Podemos resolver para x.

Assim, obtemos 5x é igual a 190 -- subtraí 10 de ambos os lados, certo?

E, em seguida, x é igual a -- vou dividir 190 por 5.

Em 19 há três vezes 5, 3 vezes 5 é 15.

9 menos 5 é 4, baixa-se o 0.

Em 40, há oito vezes 5.

x é igual a 38.

Um problema bastante simples, não acham?

Agora, se vos perguntasse qual é a média dos cinco números consecutivos?

Bem, há duas maneiras de fazer isto.

Agora que já sabemos que x é 38, sabemos que os outros

números vão ser 38, 39, 40, 41, 42.

Bem, poderíamos encontrar a média desses quatro números.

Podíamos dizer apenas 38 mais 39 mais 40 mais 41 mais 42.

E também já sabemos que aqueles -- nem sequer

temos de fazer a conta.

Já sabemos que a média é, que eles somam 200

e, em seguida, dividimos a soma por 5, porque há 5 números.

Portanto, a média é 40.

Há várias maneiras de pensar nisto.

Primeiro, vemos que 40 é o número do meio, por isso faz sentido.

E as únicas vezes em que podemos realmente dizer que é o número do meio

é quando os números são distribuídos igualmente em torno do 40.

Se tivéssemos um número que fosse muito menor que 40,

não poderíamos simplesmente escolher o número do meio.

Mas neste caso os números são consecutivos e faz sentido.

Outra maneira que podíamos ter usado para resolver este problema, se fossemos, por exemplo

tirar a SAT e nos perguntassem: a soma de cinco

números é 200, qual é a média dos números?

Bem, tudo o que tenho a fazer é dividir esse 200

por 5 e vou obter 40.

Vamos fazer outro problema e eu vou

dificultar um pouco mais.

Vamos dizer que a soma de sete números ímpares -- e deixem-me compor um

bom -- espero que este funcione, vou tentar fazê-lo

na minha cabeça -- é 217, qual é o maior número?

Eu não deveria dizer número -- sete números inteiros ímpares.

Na verdade, torna-se um problema muito mais difícil se fosse apenas

sete números ímpares -- bem, na verdade, a única coisa que poderia ser ímpar

são os números inteiros,por isso, poder-se-ía assumir.

Mas a soma de sete números inteiros ímpares é 217.

O que é o maior dos números inteiros?

Como devem notar, estou a inventar isto no momento.

Na verdade, a minha mulher diagnosticou-me, ela acha

que eu tenho vertigem benigna.

Fiquei muito zonzo, hoje de manhã, quando ía para o trabalho,

vão ter que me perdoar por isso também.

Isso está a prejudicar-me ainda mais.

Então vamos fazer este problema.

Vamos dizer que x é o maior.

Então qual seria o número logo abaixo de x?

Seria x menos 1?

Bem, se x é um número ímpar, x menos 1

seria um número par.

Portanto, a fim de obter o número logo abaixo, temos que

fazer x menos 2 para obter um outro número ímpar.

As minhas desculpas -- deveria ter dito: a soma de sete

números ímpares consecutivos.

Não sei se assumiram isso.

Hoje estou a tentar o meu melhor para vos confundir.

A soma de sete números inteiros ímpares consecutivos é 217.

O que é o maior dos números inteiros?

Portanto, se x é o maior, então o próximo menor será x

menos 2, certo, porque são números ímpares consecutivos,

não apenas consecutivos.

Números ímpares consecutivos são 1, 3, 5, 7

saltamos os pares, certo?

É por isso que andamos para cima ou para baixo de dois em dois,

dependendo de como o virmos.

O próximo número abaixo será x menos 2, então vamos ter x

menos 4, x menos 6, x menos 8, x menos 10, x menos 12.

Acho que é isso.

Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, certo.

São sete números.

Estão separados por dois.

X é o maior deles, certo?

Podemos assumir que são ímpares porque, aparentemente,

o problema vai funcionar para que sejam ímpares.

Então, qual é a soma desses números sete?

Os sete x's vão somar 7x.

E agora vamos ver, 2 e 4 é 6, 6 e 6 é 12, 12 e 8 é

20, 20 e 10 é 30, 30 e 12 é 32. (42!)

Portanto 7x menos 32 é igual a 217.

Resolvemos para x.

7x é igual a -- vejamos, se somarmos 32 a ambos os lados

desta equação obtemos 249. (259!)

Vamos ver, em 249 quantas vezes há 7 -- isto está certo?

Certo.

Portanto, em 249 há 7 -- eu fiz esta adição corretamente?

Quero certificar-me.

2 mais 4 é 6, 6 mais 6 é 12, 12 mais 8 é 20, 20 mais 10

é 30, 30 mais 12 é 42.

Oh, cá está.

Vêem, o meu sentido de aranha matemática dizía-me que algo

aqui era suspeito.

É 7x menos 42.

Portanto, se somarmos 42 a ambos os lados, temos 7x é igual a 259.

Vêem que corajoso sou, faço isto em tempo real.

259.

Então, em 259 quantas vezes há 7 -- vejamos, em 25 há três

vezes 7, 3 vezes 7 é 21, 49 -- há 37 vezes 7.

Ficamos com x é igual a 37 e acabámos.

Só para rever, porque acho que havia um monte de erros

neste problema quando o apresentei.

A pergunta era: a soma de sete números inteiros ímpares consecutivos é 217.

O que é o maior dos números inteiros?

Eu disse que x é o maior, então, se x é o maior,

o próximo menor será x menos 2.

Porque não estamos a dizer apenas números inteiros consecutivos,

estamos a dizer números inteiros ímpares consecutivos, certo?

Portanto, se x é 37, que é aquele para o qual resolvemos, então x menos 2 é

35, este é 33, este é 31, este é 29, este é

27, este é 25.

E, em seguida, adicionamos todos os x's e eu adicionei

todas as constantes e disse: bem, eles somam 217.

E, em seguida, resolvemos para x.

Acho que agora estão prontos para experimentar alguns desses problemas.

Divirtam-se.