Sumy licz całkowitych

Adding sums of consecutive integers

Witam na prezentacji dotyczącej sum liczb całkowitych

Zapewne zastanawiasz się dlaczego się tym zajmujemy

w lekcjach o średniej?

Cóż, jeśli weźmiesz wszystkie średnie,

dodasz je do siebie, a następnie podzielisz przez ich ilość,

otrzymasz wtedy średnią.

Ok, zajmijmy się najpierw zagadnieniami

dotyczącymi sumy, a następnie

przejdziemy do zagadnień dotyczących średniej.

Gotowy? To zaczynamy!

Powiedzmy, że suma 5 KOLEJNYCH liczb całkowitych

równa się 200.

Jaka z tych liczb... Ups, przepraszam za mój charakter pisma ;)

Jaka z tych licz całkowitych jest najmniejsza?

Jest kilka sposobów na rozwiązanie tego zadania,

ale najprostszym sposobem jest metoda algebraiczna,

według mnie.

Powiedzmy, że to "x" jest najmniejszą z naszych liczb,

a więc x jest liczbą której szukamy.

Jeśli x jest najmniejszą liczbą, to jakie są 4 inne?

Ok, mamy wszystkie 5 liczb

Mamy kolejne pięć liczb

Kolejne to znaczy występujące po sobie,

np. 5,6,7,8,9,10

Zauważ, że wszystkie są liczbami całkowitymi.

a jak już wiesz, liczby całkowite

nie mogą być ułamkiem.

Ok, jeśli x jest najmniejszy, to następna liczba

wynosi x + 1

i kolejna x + 2,

następna x + 3

a największa x + 4, prawda?

To może być trochę dziwne, że piszę wszystkie te iksy,

ale jeśli przyjmiemy, że x wynosi 5, to następną liczbą będzie 6

kolejną 7, później 8 i 9

I właśnie to tutaj zapisałem, nieprawdaż?

Zakładając, że x jest najmniejszą z naszych liczb

to pięć kolejnych liczb całkowitych wynosi x + x+1 + x+

Wiemy, że suma pięciu kolejnych liczb całkowitych

Jak można zapisać to równanie?

Spójrz, mamy pięć iksów,

czyli x+x+x+x+x = 5x

Można powiedzieć, że 5 razy x

Teraz trzeba jeszcze dodać 1+2 to 3+3

to 6+4 to 10

Tak więc suma tych pięciu liczb wynosi 5x + 10

Tak wychodzi po dodaniu wszystkich liczb

Wiemy, że wszystko równa się 200

Teraz rozwiążmy to równanie liniowe

Naszym szukanym jest x

A więc 5x = 190 bo odjeliśmy 10

Teraz dzielimy 190 przez 5

w 19-stce 5-tka występuje 3 razy

zostaje 4, dopisujemy 0

a w 40-tce 5-tka występuje 8 razy.

A więc x równa się 38.

Bardzo proste rozwiązanie, nie uważasz?

A teraz zobaczmy jakie to ma znaczenie dla liczenia średniej

Pokażę Ci dwie drogi osiągnięcia tego.

Wiemy już że x wynosi 38 i wiemy również,

że kolejne liczy to 39, 40, 41, 42

Możemy policzyć ich średnią

Musimy dodać je wszystkie do siebie

Już wiemy co dalej robić aby obliczyć srednią

z poprzednich lekcji.

Suma wszystkich liczb wynosi 200,

która podzielimy teraz prze 5, bo jest pięć liczb

i otrzymamy średnią 40.

Są dwa sposoby na obliczenie tego.

Jeden, to taki, że widzimy, ze 40 jest środkową

Ale tylko w tym przypadku możemy powiedzieć, że 40 jest środkową

gdyż pozostałe liczby są równomiernie rozłożone wokół liczby 40

Gdybyśmy mieli więcej liczb mniejszych od 40

wtedy nie moglibyśmy w ten sposób

Ale w tym przypadku są to kolejne liczby i ta metoda ma sens.

Kolejnym sposobem na obliczenie średniej

w przypadku pięciu liczb

których suma wynosi 200. Wiesz jak to zrobić?

Ok, Wszystko co musimy zrobić to podzielić 200

przez 5 i otrzymamy wtedy 40.

Pozwólcie, że kolejny przykład

będzie troszkę trudniejszy.

Powiedzmy, że suma siedmiu liczb nieparzystych

pozwól, że wykonam teraz małe obliczenie w głowie,

mam już..., suma 7 liczb wynosi 217, jaka jest największa liczba?

Nie powinienem powiedzieć po prostu liczb - lecz 7 nieparzystych liczb całkowitych

Teraz przykład stał się znacznie trudniejszy,

bo są to tylko nieparzyste liczby całkowite.

I tylko takie nas interesują.

A więc suma siedmiu nieparzystych liczb całkowitych wynosi 217,

To jaka liczba jest największa?

Wiesz jak to zrobić najprościej?

Właśnie moja żona stwierdziła,

że mam lekkie zawroty głowy.

Dziś rano, kiedy szedłem do pracy czułem się nieco oszołomiony

więc musicie mi za to wybaczyć.

Bo liczenie sprawia mi większą trudność.

Ale wróćmy do zadania.

Powiedzmy, że x jest największą liczbą.

Więc jaka może być liczba mniejsza niż x?

Czy może być to x minus 1?

Dobrze, skoro x jest nieparzystą liczbą, x - 1

jest więc liczbą parzystą.

Więc musimy wziąć następną mniejszą liczbę

czyli weźmy x minus 2, by otrzymać kolejną liczbę nieparzystą.

Oh przepraszam, powinienem powiedzieć - suma siedmiu

KOLEJNYCH liczb nieparzystych.

Nie wiem, czy to założyłeś wcześniej

Dziś nie jest mój najlepszy dzień :)

Czyli suma siedmiu kolejnych nieparzystych liczb całkowitych równa się 217

Która liczba jest największą?

Jeśli x jest największą, wtedy następną mniejszą będzie

x -2, prawda? Pamiętaj, że to są kolejne nieparzyste liczby.

a nie zwyczajnie kolejne.

Więc, kolejne nieparzyste liczby to 1, 3, 5, 7

pomijając liczby parzyste.

Więc będziemy schodzić w dół co 2

jak się zorientowałeś.

Następna w dół od x to x -2

a poźniej x - 4, x -6, x -8, x -10, x -12.

To wszystko?

Raz, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, siedem, zgadza się!

A więc mamy siedem liczb.

Które są kolejnymi nieparzystymi.

z jest największą z nich

Przyjmujemy, że są one nieparzyste,

Bo tak założyliśmy na początku zadania.

A więc suma tych siedmiu liczb

wynosi 7x od którego musimy odjąć

2 + 4 =6, 6 + 6 = 12, 12 + 8 = 20

20 + 10 = 30, 30 + 12 = 32

A więc 7x -32 równa się 217

Teraz możemy obliczyć x

7x równa się... dodajmy teraz 32 do obu stron

i otrzymamy wynik 7x = 249

Sprawdźmy czy 249 dzieli się przez 7?

Hmm..

249 dzieli się przez 7...? Ja jednak upewnię się

Czy dodałem wszystko prawidłowo.

2 + 4 =6, 6 + 6 = 12, 12 +8 = 20, 20 + 10 = 30

30 + 12 = 42.

A jednak popełniłem wcześniej błąd.

Mój matematyczny zmysł podpowiedział mi,

że coś wcześniej było nie tak.

A więc 7x - 42

Jeśli dodamy 42 to dwóch stron to otrzymamy 7x = 259

Teraz rozwiążemy to równanie

259

7 mieści się w 25 trzy raz

zostaje nam 4, dopisujemy 9, otrzymujemy 49 podzielić przez 7

Wynik jest 37

Teraz to sprawdźmy, bo wcześniej zdarzył mi się błąd

jak dodawałem do siebie liczby.

Pytanie brzmiało: suma siedmiu kolejnych nieparzystych

Jaka jest największa liczba tworząca ta sumę?

Wcześniej powiedziałem, że x jest największą

a kolejną mniejszą jest x - 2

Ponieważ są to kolejne liczby całkowite,

oczywiście nieparzyste liczby całkowite.

Jeśli x = 37, to kolejna liczba wynosi x - 2

czyli 35, później 33, następnie 31, 29

27 i w końcu 25.

Kiedy dodamy te wszystkie liczby do siebie

otrzymamy 217

Czyli się zgadza.

Myślę, że teraz sam dasz sobie radę z takimi zadaniami :)

Powodzenia :))