Integer sums

Adding sums of consecutive integers

Benvenuti alla presentazione sulla ricerca di somme di numeri interi.

Probabilmente ti stai chiedendo perché lo stiamo facendo

dentro al contesto delle medie.

Beh, se ci pensi, la media è prendere

la somma di una serie di numeri e poi dividerla

per il numero di numeri che hai.

Quello che faremo è fare un paio di problemi di algebra

che coinvolgono prima solo la somma e che effettivamente

possono portarsi appresso anche problemi di media.

Cominciamo con un problema.

Diciamo che la somma di 5 interi consecutivi

interi è uguale a 200.

Qual è il più piccolo --- mi scuso per la mia scrittura

--- qual è il più piccolo dei 5 numeri interi?

Beh ci sono un paio di modi per farlo, ma credo

che il modo più semplice sia farlo algebricamente,

direi.

Quindi diciamo che x è il più piccolo dei numeri interi,

giusto, quindi x è in realtà quello che

Beh, se x è il più piccolo, come diventano gli altri quattro?

Abbiamo un totale di 5.

Bene, sono consecutivi.

Consecutivi significa che si susseguono,

come il 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Questi sono tutti numeri interi consecutivi, giusto?

E se ti ricordi, i numeri interi sono senza virgola,

non possono essere una frazione o un decimale.

Quindi se x è il più piccolo, il numero intero successivo sara'

x + 1.

E quello dopo sarà x + 2.

E quello dopo sarà x + 3.

E quello dopo sarà x + 4, giusto?

Magari ti confonde il fatto che scrivo tutte queste x.

Ma se ci pensi, se x è 5 questo sarebbe 6,

questo sarebbe 7, questo sarebbe 8, e questo sarebbe 9.

Ed è questo quello che sto scrivendo qui, giusto?

Quindi, questi sarebbero, assumendo che x sia il più piccolo

degli interi, i 5 numeri interi sarebbero x, x + 1,

E sappiamo che la somma di questi 5 interi consecutivi

Quant' è la somma di questi 5, potremmo dire

Bene vediamo, abbiamo 5 x --- 1, 2, 3, 4, 5.

Quindi x + x + x + x + x è 5x.

O potresti dire semplicemente 5 per x.

E poi questo è 1 + 2 fa 3, 3 + 3

fa 6, 6 + 4 fa 10.

Quindi la somma di questi 5 numeri interi sarà

5x + 10 e tutto quello che ho fatto è sommare la x e sommarci le costanti.

E sappiamo che sara' uguale a 200.

Ora, questa è solo un'equazione lineare di livello due.

Possiamo risolvere x.

Percio' otteniamo 5x = 190 --- ho solo sottratto 10

E poi x è pari a --- fammi dividere il 5 nel 190.

5 sta nel 19 tre volte, 3 x 5 fa 15.

9 - 5 fa 4, porto giu' lo 0.

5 sta nel 40 otto volte.

Quindi x = 38.

Problema piuttosto semplice, non credi?

Ora, se ti chiedessi qual è la media dei

Bene, ora, ci sono due modi per farlo.

Ora che sappiamo già che x è 38, sappiamo che

gli altri numeri saranno --- beh questo è 38, 39, 40, 41, 42.

Beh potremmo calcolare la media di questi 4 numeri.

Potremmo dire 38 + 39 + 40 + 41 + 42.

E sappiamo già quanto fa ---

non ho nemmeno bisogno di fare i conti.

Sai già che la media, la somma fa 200

e poi dividiamo il risultato per 5, perché ci sono 5 numeri.

Quindi la media è 40.

Ci sono un paio di modi in cui potresti pensarci.

Uno, il 40 e' il numero centrale quindi ha senso.

E l'unica volta in cui possiamo davvero dire che è il numero in mezzo

è quando i numeri sono distribuiti in modo uniforme intorno al 40.

Se avessimo avuto un numero molto più piccolo di 40

o roba del genere, non avresti potuto prendere

Ma in questo caso sono consecutivi e ha un senso.

Un altro modo in cui avremmo potuto fare questo problema, se tu stessi, diciamo,

prendendo il SAT e ti chiedessero: la somma di 5

numeri è 200, qual è la media dei numeri?

Bene dici: beh, tutto quello che devo fare è dividere 200

per 5 e ottengo 40.

Facciamo un altro problema e lo farò un

po' più difficile.

Diciamo che la somma di 7 numeri dispari, e fammene inventare

uno bello --- spero che vada bene, provero' a farlo

a mente --- fa 217, qual è il numero più grande?

Non dovrei dire numeri --- 7 interi dispari.

In realtà diventa un problema molto più difficile se c'è solo

7 dispari --- in realtà, le uniche cose che possono essere dispari

sono comunque interi, quindi potresti quasi assumerlo.

Ma la somma di 7 numeri interi dispari è 217.

Qual è il più grande dei numeri interi?

Come puoi ben vedere lo sto facendo al volo.

In effetti mia moglie mi ha appena diagnosticato, lei pensa che io

abbia la vertigine benigna.

Ho avuto molte vertigini questa mattina quando sono andato a lavorare, quindi

devi perdonarmi anche per quello.

Danneggia il mio lavoro ancora di più.

Allora, facciamo questo problema.

Diciamo che x è il più grande.

Allora come sarebbe il numero subito sotto a x?

Sarebbe x - 1?

Bene, se x è un numero dispari, x - 1 sarebbe

un numero pari.

Quindi, al fine di ottenere il numero giusto sotto x, dobbiamo

fare x - 2 per ottenere un altro numero dispari.

Le mie scuse --- dovrebbe dire la somma di sette

dispari consecutivi.

Non so se l'hai assunto da te.

Sto facendo del mio meglio oggi per confonderti.

La somma di 7 numeri interi dispari consecutivi è 217.

Qual è il più grande dei numeri interi?

Quindi, se x è il più grande, il successivo più piccolo sarebbe

x - 2, giusto, perché sono numeri consecutivi dispari,

non consecutivi e basta.

Numeri consecutivi dispari come 1, 3, 5, 7 ---

salti i pari, giusto?

Ecco perché sali o scendi di 2, a seconda

di come la vedi.

Quindi il prossimo in basso e' x - 2, poi avremo

x - 4, x - 6, x - 8, x - 10, x - 12.

Penso che ci siamo.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, giusto.

Questi sono 7 numeri.

Sono separati da due.

x è il maggiore, giusto?

Possiamo supporre che siano dispari perché a quanto pare

il problema si risolverà in modo che siano dispari.

Qual è dunque la somma di questi 7 numeri?

Ben la somma di sette x e' 7x.

E poi vediamo, 2 + 4 fa 6, 6 + 6 fa 12, 12 + 8 fa 20,

20 + 10 fa 30, 30 + 12 fa 32.

Quindi 7x - 32 = 217.

Abbiamo appena risolto per x.

7x è pari a --- vediamo, se sommiamo 32 su entrambi i lati

di questa equazione ottieniamo 249.

Vediamo, 7 sta nel 249 --- è giusto?

Giusto.

Quindi il 7 sta nel 249 --- ho fatto questa somma correttamente?

Voglio essere sicuro.

2 + 4 fa 6, 6 + 6 fa 12, 12 + 8 fa 20, 20 + 10 fa 30,

30 + 12 fa 42.

Oh, ecco qua.

Vedi, i miei sensi di ragno matematici mi dicevano che

c'era qualcosa di strano.

Ecco, questo è 7x - 42.

Quindi, se sommiamo 42 su entrambi i lati è 7x = 259.

Vedi come sono coraggioso, faccio questa cosa in tempo reale.

259.

Quindi il 7 sta nel 259 --- vediamo, il 7 sta nel 25

3 volte, 3 x 7 fa 21, 49 --- ci sta 37 volte.

Percio' otteniamo x = 37 e abbiamo finito.

Quindi, per ricapitolare, perché ho fatto un sacco di errori

su questo problema quando l'ho presentato.

La domanda era la somma di sette interi

Qual è il più grande dei numeri interi?

Ho detto x è il più grande, e poi se x è il più grande, il

successivo più piccolo sarà x - 2.

Perché non stiamo dicendo solo numeri interi consecutivi,

stiamo dicendo consecutivi interi dispari, giusto?

Quindi, se x è 37, che è quello che abbiamo risolto, allora x - 2 è

35, questo è 33, questo è 31, questo è 29, questo è

27, questo è 25.

E poi abbiamo sommato tutte le x

e le costanti e detto: beh la somma e' 217.

E poi abbiamo risolto x.

Penso che tu sia pronto per provare alcuni di questi problemi.

Buon divertimento.

5 numeri consecutivi?

consecutivi dispari è 217.

da entrambi i lati, giusto?

il numero centrale.

numeri o espressioni?

vogliamo capire.

x + 2, x + 3 e x + 4.

è 200.