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Bienvenidos a la presentación sobre cómo resolver sumas de números enteros.
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Se estaran preguntando por qué estamos haciendo esto en
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el contexto de Promedios.
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Bien, si lo piensas un poco, un promedio no es más que
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la suma de de un montón de números que después dividiremos por el
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número total de números que tenemos.
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Lo que haremos aqui es resolver un par de problemas de algebra
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que involucran primero sólo la parte de la suma, y que de hecho pueden
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continuar hacia problemas de promedios también.
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Comencemos con un problema.
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Digamos que tengo una suma de cinco números
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enteros consecutivos que sume a 200.
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Cual es el más pequeño - me disculpo por mi caligrafía
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- cual es el más pequeño de los cinco números enteros?
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Pues bien, hay un par de maneras de hacer esto, pero pienso que la
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manera más directa es hacerlo de forma algebraica,
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yo diría.
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Entonces digamos que x es el más pequeño de los enteros,
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verdad?, x es lo que vamos a querer averiguar.
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Pues bien, si x es el más pequeño, qué serán los otros cuatro?
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Tenemos un total de cinco.
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Son consecutivos.
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Consecutivos simplemente significa que se siguen unos a otros,
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como 5, 6, 7, 8, 8, 10.
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Todos esos son números enteros consecutivos, verdad?
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Y si se recuerdan, números enteros son simplemente números completos, por lo que
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no pueden ser fracciones ni decimales.
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Entonces si x es el más pequeño, entonces el próximo entero
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será x más 1.
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Y el siguiente será x más 2.
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Y el que le sigue será x más 3.
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Y el que le sigue a ese será x más 4, verdad?
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Puede parecer confuso al escribir todas estas x's.
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Pero si lo piensas, si x fuera 5, entonces este sería 6,
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este sería 7, este sería 8 y este sería 9.
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Y eso es todo lo que estoy escribiendo aqui, verdad?
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Entonces estos serían, asumiendo que x es el más pequeño de los
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enteros, los cinco enteros serían x, x+1, x+2, x+3 y x+4.
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Y sabemos que la suma the estos cinco enteros consecutivos es 200.
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Cual es la suma de estos cinco, podríamos decir, números o expresiones?
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Pues veamos, tenemos cinco x's - 1, 2, 3, 4, 5.
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Entonces x más x más x más x más x es simplemente igual a 5x.
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O podrías simplemente decir 5 por x.
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Y luego eso más 1 más 2 es 3, 3 más 3
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es 6, 6 más 4 es 10.
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Por lo tanto la suma de estos cinco números enteros consecutivos será 5x más
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10, y lo único que hice es sumar las x's y añadirle las constantes.
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Y sabemos que eso es igual a 200.
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Ahora, eso es simplemente una ecuación linear de segundo nivel.
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Podemos simplemente resolverla en función de x.
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Entonces tenemos que 5x es igual a 190 - sólo substraemos 10 de ambos lados, verdad?
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Y entonces x es igual a - déjame dividir 190 entre 5.
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5 entra en 19 tres veces, 3 por 5 es 15.
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9 menos 5 es 4, bajo el 0.
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5 entra en 40 ocho veces.
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Por lo tanto x es igual a 38.
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Bastante sencillo el problema, no creen?
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Ahora, qué pasaría si les pregunto cuál es el promedio de cinco números consecutivos?
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Pues bien, hay dos maneras de resolver eso.
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Ahora que ya sabemos que x es igual a 38, sabemos que los otros
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números serán - bueno este es 38, 39, 40, 41, 42.
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Bueno, podríamos simplemente promediar estos cuatro números.
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Podrían simplemente decir 38 más 39 más 40 más 41 más 42.
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Y ya sabemos que esos - ni tengo
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que hacer el cálculo.
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Ya saben que promedian, que suman 200
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y entonces dividimos la suma por 5, porque tenemos 5 números.
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Por lo tanto el promedio es 40.
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Hay un par de maneras de pensar sobre esto.
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Uno, pueden ver que 40 es sencillamente el número del medio y eso hace sentido.
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Y la única instancia en la que realmente podemos decir que es el número del medio
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es cuando los números estan distribuídos equitativamente alededor de 40.
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Si tuviéramos un número mucho más pequeño que 40 o
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algo, no podrían necesariamente escoger el número del medio.
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Pero en este caso estos son números consecutivos y hace sentido.
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Otra manera de resolver este problema, si fueran digamos,
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a tomar el SAT y les dijeran que la suma de cinco
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números es 200, cuál es el promedio de los números?
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Pues bien, dirían que lo único que tienen que hacer es dividir ese 200
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por 5 y obtendrán 40.
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Hagamos otro problema y lo pondré
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un poco más dificil.
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Digamos que la suma de siete números impares, y déjenme hacer un
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buen - espero que este funcione, trataré de calcularlo
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en mi cabeza - es 217, cuál es el número más grande?
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No debiera decir número - siete números enteros impares.
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De hecho se convierte en un problema mucho más dificil si fueran sólo
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siete impares - bueno, de hecho, los únicos que podrían ser impares
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son los enteros de todas maneras, lo pueden casi asumir.
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Pero la suma de siete enteros impares es 217.
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Cuál el mayor de los enteros?
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Como pueden darse cuenta, estoy haciendo esto en el camino.
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De hecho mi esposa me acaba de diagnosticar, ella piensa que
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tengo vértigo benigno.
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Me mareé mucho cuando fui al trabajo esta mañana, asi que
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me deben disculpar por eso también.
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Eso me está menoscabando aun más.
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Hagamos este problema.
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Digamos que x es el meas grande.
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Entonces cuál sería el número justo debajo de x?
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Sería x menos 1?
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Bueno, si x es un número impar, entonces x menos 1 sería
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un número par.
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Entonces para obtener el número justo debajo, necesitamos
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calcular x menos 2 para asi obtener otro número impar.
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Mis disculpas - no debería decir la suma de siete
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impares consecutivos.
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No see si lo asumieron.
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Hoy estoy haciendo mi mejor esfuerzo para confundirlos.
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La suma de siete números impares consecutivos es 217.
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Cuál es el mayor?
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Si x es el mayor, entonces el siguiente meeas pequeño sería x
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menos 2, verdad?, porque son números impares consecutivos.
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no simplemente consecutivos.
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saltándonos los pares, verdad?
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Por eso van haca arriba o hacia abajo de a dos. dependiendo
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de cómo lo vean.
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Entonces el siguiente hacia abajo sería x menos 2, luego tendremos x
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menos 4, x menos 6, x menos 8, x menos 10, x menos 12.
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Creo que eso es todo.
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Uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, verdad?
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Son siete números.
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Estan separados por dos.
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x es el mayor de ellos, verdad?
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Podemos asumir que son impares porque aparentemente
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el problema resultará en que son impares.
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Entonces, cuál es la suma de estos siete números?
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Bueno, las siete x's suman 7x.
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Y veamos, 2 más 4 es 6, 6 más 6 es 12, 12 más 8 es
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20, 20 más 10 es 30, 30 más 12 es 32.
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Entonces 7x menos 32 es igual a 217.
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Resolvemos en función de x.
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7x es igual a - veamos, si le sumamos 32 a cada lado
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de la ecuación tenemos 249.
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Veamos, 7 cabe en 249 - es eso cierto?
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Cierto.
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entonces 7 entra en 249 - sumé correctamente?
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Quiero cerciorarme.
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2 más 4 es 6, 6 más 6 es 12, 12 más 8 es 20, 20 más 10
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es 30, 30 más 12 es 42.
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Oh, aqui vamos.
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Ven, mi sentido matemático arácnico me dijo que había algo
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raro con esto.
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Entonces, 7x menos 42.
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Entonces si sumamos 42 a ambos lados da que 7x es igual a 259.
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Ven que valiente soy, lo hago en tiempo real.
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259.
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Entonces 7 cabe en 259 - veamos, 7 entra en 25 tres
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veces, 3 veces 7 es 21, 49 - entra 37 veces.
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Entonces tenemos que x es igual a 37 y terminamos.
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Entonces, para repasar porque creo que hice muchos errores en
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este problema cuando lo presenté.
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La pregunta era la suma de siete números enteros consecutivos es 217.
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Cuál de ellos es el mayor?
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Dije que x es el mayor, luego si x es el mayor,
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el siguiente menor será x menos 2.
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Porque no estamos diciendo números enteros consecutivos,
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estamos diciendo números enteros consecutivos impares, verdad?
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Entonces si x es 37, que fue lo que resolvimos, entonces x mnos 2 es
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35, este es 33, este 31, este 29, este es
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27, este es 25.
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Y entonces simplemente sumamos todas las x's y todas
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las constantes y dijimos, bueno suman 217.
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Entonces despejamos la x.
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Creo que ahora ya estan listos para intentar resolver algunos de estos problemas.
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Diviértanse.
