Sum af heltal

Brug af ligninger til at finde fortløbende heltal, når vi kender deres sum.

Det er måske forvirrende, hvorfor den her video

er i afdelingen, som omhandler gennemsnit.

Hvis man tænker over det

er gennemsnit bare at tage summen

af en gruppe tal, og så dividerer man det med

antallet af tal, der er.

Hvad vi skal lave her er at lave nogle algebraregnestykker,

som kun involverer summen først, og faktisk kan det

overføres til gennemsnitsregnestykker.

Lad os komme igang med et stykke.

Lad os sige, at vi har en sum af 5 fortløbende

heltal, som er lig med 200.

.

Hvad er det mindste af de 5 tal?

Der er et par måder at gøre det på, men den mest

ligefremme måde er at gøre det algebraisk.

.

Lad os sige, at x er det mindste af heltallene.

x er faktisk, hvad vi vil regne ud.

Hvis x er det mindste, hvad vil de øvrige 4 så være?

Vi har i alt 5.

De er fortløbende.

Fortløbende betyder bare, at tallene er i rækkefølge

som 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Alle de her tal er fortløbende heltal.

Heltal er bare hele tal, så det

kan ikke være en brøk eller et decimaltal.

Hvis x er det mindste, vil det næste heltal

være x plus 1.

Det næste vil være x plus 2,

og det næste vil være x plus 3,

og efter det vil det være x plus 4.

Det kan virke forvirrende, at vi skriver alle de her x'er.

Hvis x var 5, ville det her være 6.

Det her ville være 7, det ville være 8, og det ville være 9.

.

Hvis vi antager, at x er det mindste af

heltallene, vil de 5 heltal være x, x plus 1, x plus 2, x plus 3 og x plus 4.

Vi ved, at summen af de her 5 fortløbende tal er 200.

Hvad er summen af de her 5?

Lad os se Vi har 5 x'er. 1, 2, 3, 4, 5.

x plus x plus x plus x plus x er lig med 5x.

Vi kan også bare sige 5 gange x.

Så er det plus 1 plus 2 er 3, 3 plus 3

er 6, 6 plus 4 er 10.

Summen af de her 5 heltal bliver 5x plus

10, og alt vi gjorde var at lægge x'erne sammen og lægge konstanterne sammen.

Vi ved, at det skal være lig med 200.

Nu er det bare en lineær ligning på niveau 2.

Vi kan finde resultatet af x.

Vi får 5x er lig med 190. Vi trak lige 10 fra på begge sider.

Lad os dividere 5 op i 190.

5 går op i 19 3 gange, 3 gange 5 er 15.

9 minus 5 er 4, træk 0 ned.

5 går op i 40 8 gange.

x er lig med 38.

Hvad hvis vi nu vil finde

gennemsnittet af de 5 fortløbende tal?

.

Nu, hvor vi allerede ved, at x er lig med 38, ved vi, at de andre

tal vil være 38, 39, 40, 41, 42.

Vi kunne bare tage gennemsnittet af de her 5 tal.

Du kunne bare sige 38 plus 39 plus 40 plus 41 plus 42.

.

.

Vi ved allerede, at gennemsnittet er 200,

og så skal vi dele det tal med 5, fordi der er 5 tal.

Gennemsnittet er altså 40.

.

40 er bare et midtertal, så det giver mening.

Den eneste gang, vi virkelig kan sige, at det er det midterste tal

er, når tallene er fordelt jævnt omkring 40.

Hvis vi havde et tal, der var meget mindre end 40 eller

noget, kunne du ikke bare nødvendigvis vælge det midterste tal.

I det her tilfælde er de her fortløbende og giver mening.

En anden måde at regne det ud på var, hvis vi

skulle tage vores eksamen, og de spurgte, hvad gennemsnittet af

5 tal var, når summen af dem er 200.

Vi deler 200

med 5, og vi får 40.

Lad os lave et nyt stykke.

.

Lad os sige, at summen af 7 fortløbende ulige tal

.

er 217. Hvad er det største tal?

.

.

.

.

Summen af syv ulige heltal er 217.

Hvad er det største af de tal?

.

.

.

.

.

.

Lad os regne det ud.

Lad os sige, at x er det største.

Hvad ville tallet lige under x være?

Ville det være x minus 1?

Hvis x er et ulige tal, vil x minus 1 give

et lige tal.

For at få tallet lige under det er vi nødt til at sige

x minus 2, så vi får et ulige tal.

.

.

.

.

Summen af 7 fortløbende ulige heltal er 217.

Hvad er den største af de tal?

Hvis x er det største, vil det næste tal være x

minus 2. Det er jo fortløbende ulige tal

og ikke kun fortløbende.

Fortløbende ulige tal er for eksempel 1, 3, 5, 7.

Vi springer de lige tal over.

Det er derfor, vi springer 2 op eller 2 ned, alt efter

hvordan man ser det.

Det næste tal nedad vil være x minus 2, og så vil det næste være x

minus 4, x minus 6, x minus 8, x minus 10, x minus 12.

.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Det er 7 tal.

De er adskilt med 2.

x er den største af dem, ikke?

Vi kan antage, at de er ulige,

for ellers ville regnestykket ikke gå op.

Hvad er summen af de her 7 tal?

7 x'ere er lig med 7x.

Lad os se. 2 og 4 er 6, 6, og 6 er 12, 12 og 8 er

20, 20 og 10 er 30 og 30 og 12 er 32.

7x minus 32 er altså lig med 217.

Vi har lige løst, hvad x er.

Lad os se. Hvis vi lægger 32 til begge sider

af den her ligning, får vi 249.

Lad os se. 7 går op i 249. Er det rigtigt?

Det er det.

Lavede vi regnestykket rigtigt?

Lad os lige tjekke igen.

2 plus 4 er 6, 6 plus 6 er 12, 12 plus 8 er 20, 20 plus 10

er 30 og 30 plus 12 er 42.

Her var det. Der er en fejl.

Vi kom til at skrive 32

i stedet for 42 til sidst.

Det er 7x minus 42.

Hvis vi lægger 42 til begge sider, er det 7x er lig med 259.

.

259.

Hvor mange gange går 7 op i 259? Det går op i 25 3

gange, 3 gange 7 er 21, 49. Det går op i 259 37 gange.

Vi får, at x er lig med 37, og så vi er færdige.

Lad os lige sikre os, at det er rigtigt.

Vi lavede jo nogle fejl tidligere.

Summen af 7 fortløbende ulige tal er 217.

Hvad er det største af de tal?

Vi kaldte x for det største, og så vil det

næststørste være x minus 2.

Vi arbejder jo ikke kun med fortløbende tal.

Vi arbejder med ulige fortløbende tal.

Hvis x er 37, som vi fandt ud af, er x minus 2

35, det her er 33, det her er 31, det her er 29, det her er

27, det her er 25.

Så lægger vi bare alle x'erne sammen, og vi lægger alle

konstanterne sammen og finder ud af, at det giver 217.

Nu har vi så løst, hvad x er.

Vi er nu klar til at røve nogle flere af de her opgaver.

God fornøjelse.