Součty celých čísel

Součty po sobě následujících celých čísel

Vítejte v prezentaci jak najít součty čísel.

Nejspíš přemýšlíte, proč tohle děláme

v souvislosti s průměry.

Pokud se nad tím zamyslíte, průměr je

součet čísel ve skupině a tento součet vydělíte

počtem čísel, která tam máte.

Vyřešíme si tu pár příkladů z algebry,

které zahrnují tyto součty a vlastně

pak se mohou přeměnit na příklady na průměr.

Začneme příkladem:

Řekněme, že jsem vám řekl, že součet pěti po sobě

jdoucích čísel se rovná 200.

Jaké je nejmenší -- omlouvám se za svůj rukopis

-- jaké je nejmenší z těchto pěti čísel?

Je několik způsobů, jak to vyřešit, ale myslím

že nejpřímější cesta k výsledku je algebraické řešení.

Řekl bych.

Takže řekněme, že x je nejmenší z čísel,

dobrá, tak x je vlastně to co chceme vypočítat.

Pokud x je nejmenší, jaká budou ostatní čtyři čísla?

Máme jich celkem 5.

A jsou po sobě jdoucí.

To znamená, že jdou jedno za druhým.

Jako třeba 5,6,7,8,9,10.

Tato čísla jdou postupně po sobě. Je to tak?

A mluvíme o celých číslech, takže to nemohou

být zlomky nebo desetinná čísla.

Takže pokud x je nejmenší, tak potom další celé číslo

bude x plus 1.

A to další celé číslo bude x+2.

A následující bude x+3.

A to další bude x+4.

Možná vás mate, že píšu všechna ta x.

Ale když se nad tím zamyslíte, kdyby x bylo 5, pak toto by bylo 6,

tohle 7, toto by bylo 8 a tohle 9.

A to je všechno, co tu píšu, jasné?

Takže to jsou, za předpokladu, že x je nejmenší

z celých čísel, pět celých čísel by bylo: x, x+1, x+2, x+3, a x+4.

A víme, že součet těchto po sobě jdoucích celých čísel je 200.

Jaký je součet těchto pěti, asi bychom mohli říci čísel, nebo výrazů?

Podíváme se na to, máme pět x -- 1, 2, 3, 4, 5.

Takže: x plus x plus x plus x plus x se rovná 5x.

Nebo můžete říct 5 krát x.

A pak je to 1 plus 2 je 3, 3 plus 3

je 6, 6 plus 4 je 10.

Takže součet těchto 5ti čísel bude 5x plus

10. A to jsem jen sečetl všechna x a konstanty.

Víme, že se to bude rovnat 200.

Je to jen lineární rovnice druhé úrovně.

Stačí vypočítat x.

Dostáváme 5x se rovná 190 -- právě jsem odečetl 10 z obou stran rovnice.

A pak x se rovná -- vydělím 190 pěti.

19 děleno pěti je 3, 3 krát 5 je 15.

9 mínus 5 je 4, sepíšu nulu.

Čtyřicet děleno 5 je 8.

Takže x = 38.

Celkem jasné, nemyslíte?

A teď, co kdybych se vás zeptal, jaký je průměr pěti po sobě jdoucích čísel?

Jsou dva způsoby, jak na to přijít.

Teď , když už víme, že x je 38, víme, že

další čísla budou -- 38, 39, 40, 41, 42.

Mohli bychom jen spočítat průměr.

Mohli byste si říct: 38 plus 39 plus 40 plus 41 plus 42.

A to už víme, ani to nemusím

počítat.

Už víte, že jejich součet je 200.

A pak vydělíme součet pěti, protože tu máme 5 čísel.

Takže průměr je 40.

Můžete o tom přemýšlet několika způsoby.

Zaprvé, je vidět, že 40 je prostřední číslo, to dává smysl.

A že je prostřední, můžeme říct pouze,

pokud jsou okolní čísla rozmístěna kolem 40ti ronvoměrně.

Mohli bychom mít číslo, které by bylo o mnoho menší než 40, nebo

případ, kdybyste nemohli vybrat prostřední číslo.

Ale v tomto případě u po sobě jdoucích čísel to dává smysl.

Jiný způsob řešení je, pokud byste zrovna

psali test a v zadání by se vás ptali: Součet pěti čísel

je 200. Kolik je průměr těchto čísel?

Řeknete si: vše co musím udělat je vydělit 200

pěti a dostanu 40.

Pustíme se do dalších příkladů a tentokrát bude

trošku složitější.

Řekněme, že součet sedmi lichých čísel, vymyslím nějaká dobrá --

-- doufám, že to vyjde, zkusím to z hlavy --

-- je 217, jaké je největší číslo?

Neměl bych říkat číslo -- sedm celých lichých čísel.

Byl by to mnohem těžší příklad, pokud by to bylo jen

sedm lichých -- vlastně lichá mohou být stejně jen celá

čísla. Takže to můžete předpokládat.

Součet sedmi lichých celých čísel je 217.

Jaké celé číslo je z nich největší?

Jak vidíte, vymýšlím to "za pochodu".

A má žena stanovila mou diagnózu, myslí si

že trpím závratěmi.

Ráno mi nebylo dobře, měl jsem závrať, tak

mě prosím omluvte.

Trochu mě to ruší.

Vyřešme ten příklad.

Řekněme, že x je největší.

Potom, jaké bude další číslo menší než x?

Bude to x-1?

No, pokud je x liché číslo, x mínus 1 by bylo

sudé číslo.

Takže abychom dostali číslo menší než x,

musíme zadat x-2, tak získáme další liché číslo.

Omlouvám se -- mělo to být součet sedmi po sobě

jsoucích lichých čísel.

Nevím, jestli jste to automaticky předpokládali.

Dnes dělám všechno pro to, abych vás zmátl.

Součet sedmi po sobě jdoucích lichých čísel je 217.

Které je největší z těch čísel?

Pokud x je největší, potom predcházející menší by bylo

x-2, protože jsou to po sobě jdoucí lichá čísla,

ne pouze po sobě jdoucí.

Takže po sobě jdoucí lichá čísla jako 1,3,5,7 --

vynecháváte sudá, je to tak?

To je důvod proč se posouváte o 2 čísla nahoru nebo dolů,

v závislosti na úhlu pohledu.

Takže další menší číslo bude x-2 a potom budeme

mít x-4, x-6, x-8, x-10, x-12.

Myslím, že to je všechno.

1,2,3,4,5,6,7, v pořádku.

Je to sedm čísel.

Vždy po dvou od sebe.

x je z nich největší.

Můžeme předpokládat, že jsou lichá, protože

příklad vyjde a takže jsou lichá.

Tak, jaký je součet těchto sedmi čísel?

Těch sedm x můžeme zapsat jako 7x.

A pak, podíváme se na to, 2 a 4 je 6, 6 a 6 je 12, 12 a 8 je

20, 20 a 10 je 30, 30 a 12 je 32.

Takže 7x - 32 = 217.

Počítáme x.

7x = -- pokud přičteme 32 na obě strany rovnice

dostaneme 249.

Tak se podívejme, 249 děleno 7 -- je to tak?

Ano, je.

249 děleno sedmi -- sečetl jsem to dobře?

Radši to prověřím.

2+4 je 6, 6+6 je 12, 12+8 je 20, 20+10

je 30, 30+12 je 42.

No jo, tady to máme.

Moje matematická intuice mi napovídala,

že něco nesedí.

Tak 7x - 42.

Takže pokud přičteme 42 na obě strany rovnice, tak 7x se rovná 259.

Vidíte, jak jsem odvážný? Dělám to za pochodu.

259.

259 děleno 7 -- 25 děleno 7 je 3

3 krát 7 je 21, 49 -- výsledek je 37.

Vyšlo nám, že x je 37 a máme hotovo.

Pojďme se na to podívat znovu, protože myslím, že jsem měl

v prezentaci tohoto příkladu spoustu chyb.

Otázka zněla: Součet sedmi po sobě jdoucích lichých čísel je 217

Jaké je největší číslo?

Řekl jsem, že x je největší a pokud je x největší,

předchozí menší bude x-2.

Protože neříkáme po sobě jdoucí čísla,

říkáme po sobě jdoucí lichá čísla.

Takže pokud x je 37, což je naše řešení, potom x-2

je 35, toto je 33, toto 31, toto 29, toto je

27 a tohle je 25.

A pak jsem sečetli x a sečetli jsme

všechny konstanty a řekli, že jejich součet je 217.

Pak jsme vypočítali x.

Myslím, že už jste připraveni tyto příklady počítat.

Tak si to užijte :-).