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Law of cosines

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    上個影片中
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    我們做了一個應用問題
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    我們必須
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    計算出三角形的邊長
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    但是 你們知道
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    如果是直角三角形
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    僅僅用勾股定理即可
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    這是一個普通的三角形
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    它不是直角三角形
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    我們使用
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    SOH CAH TOA定義方法和簡單的三角函數
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    我們得到了
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    正確的答案
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    我現在想要做的
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    就是給你們介紹
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    餘弦定理
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    實際上在上個影片中我們已經證明了
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    但我想用一種更嚴謹的方法來證明 你們知道
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    不涉及到應用問題
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    我想告訴你們
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    一旦你們知道了餘弦定理
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    就可以將它應用於問題中
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    就如我們以前所做的一樣
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    你們會做題做得更快
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    有關餘弦定理我有一點混亂
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    因爲我不喜歡記東西
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    大家知道 當你們40歲時
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    可能不記得
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    餘弦定理了
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    但是如果你們有能力
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    從三角函數開始
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    一直推理出 你們將一直能夠記得餘弦定理
  • 0:54 - 0:55
    如果你們在40歲時還做三角題目
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    我將會很受感動 誰知道呢？
  • 0:57 - 0:59
    那麽讓我們開始看看
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    餘弦定理是關於什麽的
  • 1:00 - 1:04
    我們知道這個角θ
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    我們稱這個邊爲- 我不知道 爲a吧
  • 1:12 - 1:15
    不 稱它爲b吧
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    在這裡有一點隨意
  • 1:17 - 1:22
    實際上 我們用邊的顏色來標記吧
  • 1:22 - 1:28
    稱這條邊爲b 這條邊爲c
  • 1:28 - 1:31
    這條邊爲a
  • 1:31 - 1:32
    如果這是一個直角三角形
  • 1:32 - 1:33
    我們就可以使用
  • 1:33 - 1:38
    勾股定理了 但是現在我們不能
  • 1:38 - 1:38
    那我們做什麽呢？
  • 1:38 - 1:39
    我們知道a
  • 1:39 - 1:42
    假設我們知道b 知道c
  • 1:42 - 1:45
    知道θ 然後求a
  • 1:45 - 1:49
    通常 只要你知道他們中的三個
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    一旦你知道了餘弦定理
  • 1:50 - 1:52
    就能求出第四個量
  • 1:52 - 1:53
    我們怎麽做呢？
  • 1:53 - 1:55
    我們將會使用和
  • 1:55 - 1:57
    做上個問題一樣的方法來做這個問題
  • 1:57 - 2:01
    在這裡 我們可以畫一條線
  • 2:01 - 2:02
    哦 天哪 畫亂了
  • 2:02 - 2:04
    我還以爲我在使用直線工具
  • 2:04 - 2:05
    編輯 撤銷
  • 2:08 - 2:11
    我可以畫一條像這樣的線
  • 2:11 - 2:14
    我就有了兩個直角
  • 2:14 - 2:16
    一旦我有了直角三角形
  • 2:16 - 2:16
    我就可以開始
  • 2:16 - 2:19
    使用三角函數和勾股定理
  • 2:19 - 2:20
    等等
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    讓我們瞧瞧 這是個直角
  • 2:23 - 2:25
    這是個直角
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    這條邊是多少？
  • 2:30 - 2:31
    我換個顏色
  • 2:31 - 2:32
    我可能要
  • 2:32 - 2:34
    用到所有的顏色
  • 2:34 - 2:36
    僅僅爲了有助於你們理解
  • 2:36 - 2:37
    這條邊是多長？
  • 2:37 - 2:41
    這條紫色的邊多長呢？
  • 2:41 - 2:44
    這條紫色的邊正好 你們知道
  • 2:44 - 2:45
    可以使用SOH CAH TOA
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    我剛要把SOH CAH TOA寫到這上面
  • 2:51 - 2:55
    這條紫色的邊是θ的鄰邊
  • 2:55 - 2:58
    這條藍色或說淡紫色的邊b
  • 2:58 - 3:04
    是這個直角三角形的斜邊
  • 3:04 - 3:05
    所以我們知道
  • 3:05 - 3:06
    我要固定使用一種顏色
  • 3:06 - 3:08
    因爲如果我一直換顏色
  • 3:08 - 3:09
    我就要一直換下去
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    我們知道cosθ 我們稱這條邊
  • 3:13 - 3:16
    我們稱這條邊爲 我不知道
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    我們稱之爲d 邊d
  • 3:21 - 3:27
    我們知道cosθ等於d除以b
  • 3:27 - 3:28
    對吧？
  • 3:28 - 3:30
    我們知道b
  • 3:30 - 3:37
    那麽d等於什麽呢？
  • 3:37 - 3:43
    它等於 bcosθ
  • 3:43 - 3:48
    現在 稱這兒的這條邊爲e
  • 3:48 - 3:49
    那麽e是什麽？
  • 3:49 - 3:51
    e是整個c邊-
  • 3:51 - 3:53
    c邊 這很有趣
  • 3:53 - 3:57
    整個c邊減去d邊 對吧？
  • 3:57 - 4:03
    所以e等於c減去d
  • 4:03 - 4:09
    我們剛解出了d 所以e等於
  • 4:09 - 4:12
    c減bcosθ
  • 4:15 - 4:16
    所以這就是e
  • 4:16 - 4:19
    我們通過這個方法求出了e
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    那麽 這條洋紅色的邊是多少？
  • 4:21 - 4:23
    我們稱這條洋紅色的邊爲
  • 4:23 - 4:26
    我們稱洋紅色邊爲m
  • 4:27 - 4:30
    m是θ的對邊
  • 4:31 - 4:32
    現在 我們就可以求出它了
  • 4:33 - 4:35
    我們同樣求出了c
  • 4:35 - 4:36
    但是我們知道b b很簡單
  • 4:36 - 4:39
    什麽樣的關係得到m除以b呢？
  • 4:39 - 4:41
    或說什麽樣的關係包含對邊和斜邊呢？
  • 4:41 - 4:45
    是正弦關係 對邊除以斜邊
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    所以我們知道m除以b等於sinθ
  • 4:50 - 4:53
    我們知道 我寫在這裡
  • 4:53 - 4:56
    m除以b 正確 因爲這是斜邊
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    等於sinθ
  • 5:02 - 5:10
    或說m等於bsinθ 對嗎？
  • 5:10 - 5:13
    所以我們算出m 算出e
  • 5:13 - 5:15
    現在我們想算出a
  • 5:15 - 5:16
    這下怎麽做就很清楚了
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    我們有一個直角三角形的兩條邊
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    我們要算出斜邊
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    我們可以用勾股定理
  • 5:22 - 5:26
    勾股定理告訴我們
  • 5:26 - 5:28
    a的平方等於m的平方
  • 5:28 - 5:32
    加上e的平方 對吧？
  • 5:32 - 5:34
    就是另外兩條邊的平方
  • 5:34 - 5:36
    m的平方加上e的平方等於多少？
  • 5:36 - 5:39
    我隨便換一種顏色
  • 5:39 - 5:42
    a的平方等於m的平方(加上)-
  • 5:42 - 5:44
    m等於bsinθ
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    所以它等於bsinθ的平方加上e的平方
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    我們算出來e等於這個
  • 5:56 - 6:03
    所以加上(c-bcosθ)的平方
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    現在 讓我們用代數知識慢慢來做
  • 6:05 - 6:13
    所以這個等於bsin- b的平方乘以sinθ的平方
  • 6:13 - 6:14
    sinθ的平方就是
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    sinθ的平方 對吧？
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    我們需要把括號裏面拆開
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    盡管我不喜歡這麽做
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    我把它乘開
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    c的平方減去2cbcosθ加上b的平方乘以cosθ的平方
  • 6:34 - 6:35
    對吧？
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    我只是通過相乘把這個展開
  • 6:38 - 6:40
    現在我來看看能不能做點有趣的事
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    如果我們把這項和這項合並
  • 6:45 - 6:52
    我們得到 這兩個項等於b方乘以sinθ方
  • 6:52 - 6:54
    加上b的平方乘以cosθ
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    這個應該取平方 對了
  • 6:57 - 6:58
    因爲我們對它取平方
  • 6:58 - 7:02
    b的平方cosθ的平方
  • 7:02 - 7:04
    然後我們已經加上c的平方
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    減去2bccosθ
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    那麽 這個可以化簡成什麽呢？
  • 7:12 - 7:18
    這個和b的平方乘以
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    sinθ的平方加上cosθ的平方是一樣的
  • 7:22 - 7:26
    你可能突然想到了什麽
  • 7:26 - 7:33
    它加上c的平方減去2bccosθ
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    對任何角度來講
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    它的正弦的平方加上餘弦的平方是1
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    這是以前使用的恆等式之一
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    這兒是勾股定理
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    所以這等於1 然後我們還剩下-
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    回到我最初的顏色
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    我們差不多做出來了 a的平方等於
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    這一項變成1 所以b取平方
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    我們只留下b的平方加上c的平方
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    減2bccosθ
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    這很工整
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    這叫做餘弦定理
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    餘弦定理很有用
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    如果你們知道任何一個三角形的一個角
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    和兩條邊
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    你們可以求出另一條邊
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    實際上 如果你們願意
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    如果知道三角形的三條邊
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    就可以求出它的任意一個角
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    所以這也很有用
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    爲什麽我有點- 你們知道 這裡
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    我不
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    如果你們正在學習三角知識
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    你們可能參加考試 你們應該記住這個公式
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    因爲這會令你們做題更快
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    這樣會更快地
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    得到答案
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    如果我不知道一個東西是如何得來的
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    我是不喜歡記住它的
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    因爲一兩年後
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    當你們進入大學
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    過了四年 當你們看到三角形
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    你們可能忘記了餘弦定理
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    如果突然遇到一個三角問題
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    最好通過推導得出結論
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    如剛才所說 這是餘弦定理
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    如果你們使用餘弦定理
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    我們剛才做的那個問題早就解出來了
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    我們更快地解出來 因爲我們剛才
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    你們知道 只要建立三角形
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    然後代入餘弦定理
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    你們可能已經在上節那個偏離正常航線的問題中
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    算出a來了
  • 9:24 - 9:26
    下個影片再見
Title:
Law of cosines
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:27

Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles

Incomplete

Revisions

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