Радіани та градуси.

Що таке радіан. Перетворення радіанів на градуси та навпаки.

Доброго дня! Ласкаво просимо на урок, присвячений градусам і радіанам.

Отже, ви всі мабуть достатньо знайомі

з поняттям «градусів».

Я думаю у наших моделях кутів ми насправді потренуємося

на групі завдань.

Вам напевне відомо, що кут...

що прямий кут складає 90 градусів.

Чи те, що половина прямого кута дорівнює 45 градусам.

А також ви напевне знайомі з поняттям, що

в колі...

... це моя найліпша спроба намалювати коло...

в колі 360 градусів.

Так, сьогодні я познайомлю вас з іншою одиницею виміру кутів,

вона називається «радіан».

Отже, що це таке?

Почну з визначення і, думаю,

вам стане більш зрозуміло,

чому це називається «радіан».

Отже, за визначенням...

Дайте мені використати інший компонент та намалювати чудове коло.

Ой, я забув його вимкнути.

Ось так краще.

Це радіус довжиною r.

Радіан – це кут, який спирається на дугу.

«Спиратися» означає…

ось кут

і ось дуга

цей кут спирається на цю дугу,

і ця дуга спирається на цей кут.

Отже, 1 радіан – це кут, який спирається на дугу,

довжина якої дорівнює довжині радіуса.

Тому довжина цієї дуги теж дорівнює r.

І кут дорівнює 1 радіан.

Ой, якось начеркане.

Давайте я намалюю коло побільше.

Ось так.

Чому я це роблю? Тому що мене самого колись вражало,

чому це називається "радіан".

Ми все знаємо про градуси.

Але, якщо подивитись на радіани,

в них також є сенс.

Я зараз використаю інструмент для малювання ліній.

Припустимо, це радіус довжиною r,

і довжина цієї дуги, ось тут, теж дорівнює r.

Цей кут, який називається тета, дорівнює одному радіану.

Тепер становиться зрозуміло, чому це називається радіаном.

Ця назва схожа на «радіус».

Дозвольте вас спитати: скільки радіанів

в колі?

Отже, якщо це дорівнює r

яка довжина всього кола?

Вона дорівнює 2πr, правильно?

Ви знаєте це з роликів по основам геометрії.

Отже, якщо радіан – це кут, який спирається на дугу r,

то кут, який спирається на дугу 2πr, дорівнює 2π радіан.

Так, цей кут дорівнює 2π радіан.

Якщо ви все ще не зрозуміли,
подумайте ось так:

кут 2π радіан, проходячи по колу,

спирається на дугу довжиною 2π радіусів.

Чи може радіуса.

Не певен як сказати радіус у множині.

Напевно, радіусів.

Сам не знаю.

Отже, чому я говорю всю цю абракадабру і збиваю вас з пантелику?

Я хочу тільки одного: дати вам зрозуміти,

чому це називається «радіаном» і як він співвідноситься з колом.

Потім, знаючи, що в колі міститься 2π радіан,

ми зможемо знайти відношення радіанів
до градусів.

Давайте я це видалю.

Отже, ми з’ясували що у колі

2π радіан.

А скільки в колі градусів?

Якщо ми пройдемо по всьому колу, скільки це буде градусів?

Це буде 360 градусів.

Дивіться.

У нас є рівняння, за допомогою якого ми можемо

перевести радіани в градуси.

Отже, один радіан дорівнює
360/2π градусів

Я просто розділив обидві частини рівняння на 2π,

що у свою чергу дорівнює 180/π градусів.

Аналогічно, це можна було б зробити
іншим чином.

Можна було б розділити обидві частини рівності на 360 і сказати, що

1 градус… ділимо обидві частини на 360

і переставляю рівняння...

1 градус дорівнює 2π/360 радіан.

Що у свою чергу дорівнює π/180 .

Отже, у нас є рівність:
1 радіан = 180/π градусів

і 1 градус = π/180 радіан.

Навіть якщо ви забудете це..

нескладно їх вивчити напам’ять...

Але якщо ви колись забудете, завжди зможете повернутись до цього:

2π радіан = 360 градусів.

Чи є інший спосіб, який власне робить обчислення трошки простіше,

якщо ви візьмете половину кола.

Половина кола – ось цей кут – це 180 градусів, так?

Це значок градуса.

Я міг б також написати «градусів».

І це також дорівнює π радіан.

Отже, π радіан = 180 градусів, і ось ми бачимо наші вирази:

1 радіан = 180/π градусів

чи 1 градус = π/180 радіан.

Давайте вирішимо пару завдань

для кращого розуміння.

Якщо я прошу вас

45 градусів перевести в радіани…

Ми знаємо, що 1 градус = π/180 радіан.

Тому 45 градусів дорівнює 45 разів по (π/180) радіан.

І, бачите, 45 ділимо на 180,

4 рази по 45 буде 180,

так що 45 градусів = π/4 радіани

45 градусів = π/4 радіан.

Майте на увазі, що це дві різні одиниці виміру

чи два різних способи вимірювання кутів.

Я розповідаю про це тому, що радіани – це фактично

математичний стандарт для вимірювання кутів, хоча

багато з нас мають справу з градусами

у повсякденному житті.

Давайте вирішимо парочку інших прикладів.

Тільки завжди пам’ятайте:

1 радіан = 180/π градусів,

1 градус = π/180 радіан.

Якщо ви плутаєтесь, просто запишіть це.

Як я зараз зробив, тому що я завжди забуваю,

що з них 180/π, а що π/180.

Я тільки пам'ятаю, що π радіанів = 180 градусів

Давайте вирішимо ще один приклад.

Отже, якщо б я спитав: π/2 радіан –

скільки це буде у градусах?

Ну ось, я вже забув, що щойно писав, тому

нагадаю сам собі, що π радіан = 180 градусів.

О, моя дружина тільки-но зайшла додому, тому я залишу

презентацію так, та продовжу пізніше.

Хоча давайте спочатку ми закінчимо з нашими прикладами і тоді

я піду до дружини.

Ми знаємо, що π радіан = 180 градусів, так?

Тому 1 радіан дорівнює 180/π градусів.

Я вивів формулу знову,

тому що завжди її забуваю.

Отже, повернемось сюди.

Так, π/2 радіан

= (π/2)*(180/π)градусів.

І це дорівнює 90 градусів.

Розв’яжу ще один приклад.

Давайте візьмемо 30 градусів.

Ще раз, я забув формулу, тому нагадую,

що π радіан = 180 градусів.

Так, 1 градус дорівнює π/180 радіан.

Тому 30 градусів = 30*(π/180) радіан,

що у свою чергу, якщо скоротити дріб,

дорівнює π/6 радіан.

Сподіваюсь, тепер ви знаєте, як перевести градуси в радіани і навпаки,

а також чому ця одиниця виміру називається «радіан»?

Тому що вона тісно пов’язана з радіусом.

Також, сподіваюсь, що ви будете спокійні, коли хтось вас попросить, наприклад,

попрацювати з радіанами, а не з градусами.

До зустрічі
на наступному уроці!