1차방정식

방정식 7x =14 이 있습니다

이 방정식을 풀기 전에

식이 뜻하는 바를 먼저 생각해 봅시다

7 x = 14

이것은 7 곱하기 x 는 14와 같다는 것을 말합니다

아마도 암산하여 답을 구할 수도 있을겁니다

구구단 7단을 외워보면 되겠지요

7 곱하기 1은 7이므로 답이 아니지요

7 곱하기 2는 14이므로 x=2가 정답이 됩니다

이런 식으로 이 문제를 금방 풀 수 있을 거에요

서로 다른 숫자를 대입하면서

x=2가 답이라는 걸 금방 알 수 있지요

하지만 이번 영상에서는

좀더 체계적으로 푸는 방법에 대해
생각해보려고 합니다

방정식이 점점 복잡해질수록

간단히 암산하여

머릿 속에서 풀 수 없기 때문입니다

그래서 이번 강의에서 중요한 점은

먼저 방정식을 어떻게 다루는지 이해하는 것이고

더 중요한 것은 식의 의미를 이해하는 것입니다

이 식은 글자 그대로
7 곱하기 x 는 14 라는 것을 의미합니다

대수에서는 곱하기 기호를 잘 쓰지 않습니다

두 숫자를 나란히 적거나,

숫자 뒤에 변수를 함께 쓰면

두 항을 곱했다는 의미입니다

짧게 줄여쓰는 방식이지요

일반적으로 곱하기 기호를 쓰지 않는 이유는

x 가 가장 흔하게 쓰이는 변수라서

곱하기 기호와 혼동되기 때문이지요

만약 7 × x=14 라는 식을 쓰면서

곱하기 기호를 쓰거나
x를 조금 이상하게 쓰면

xx 나 곱하기곱하기(××) 처럼 보이게 되지요

그래서 일반적으로 방정식을 다룰 때,

특히 변수 중에 x가 있을 때에는

곱하기 기호(×)를 잘 사용하지 않습니다

곱하기 기호를 쓰는 대신

가운데 점을 쓰기도 합니다

7 (가운데 점) x 는 14와 같이 쓸 수 있지요

그리 일반적인 경우는 아닙니다

변수에 숫자를 곱할 때에는

그냥 7x 와 같이 쓰세요

그것만으로 7 곱하기 x를 뜻합니다

이제 방정식의 해를 구하는 법을 이해하기 위해

이 과정을 시각화해봅시다

먼저 7 곱하기 x, 이게 뭘까요?

이 식을 다른 방법으로 시각화해보겠습니다

이 식을 다른 방법으로 시각화해보겠습니다

먼저 7 곱하기 x를 바꾸어보지요

이건 문자 그대로
x를 일곱번 더하라는 것입니다

이것이 바로 곱하기의 정의이지요

x + x + x + x + x+ x+ x

7개의 x가 있습니다

이렇게 x 가 일곱 개 있습니다.

이제 이 방정식이 말하는 것은
x 일곱 개의 합이 14와 같다는 것입니다

그러니까 이것이 14와 같다는 겁니다

여기에 동그라미 14개를 그려 보지요

하나, 둘, 셋, 넷, 다섯,......

(14까지 모두 셈)

x 일곱 개가
동그라미 14개와 같다는 것을 의미합니다

양쪽이 서로 같은 등식입니다

이런 방식으로 방정식을 그려서 표현하면

양변을 똑같이 7로 나누었을 때

어떻게 되는지 확실히 이해할 수 있습니다

이 화살표는 지울게요

판서 좀 정리하도록 하지요

하나 남은 동그라미 좀 그리구요

일반적으로 계수는 문자에 곱해져있는

숫자를 의미합니다

어떤 숫자 곱하기 문자

즉, 계수 곱하기 변수는

다른 것과 같다는 식으로 읽을 수 있겠지요

이 경우엔 양변을 7로 나누려합니다

다시 말해 양변을 계수인 7로 나누는 것이지요

양변을 7로 나누게 되면 무엇이 남나요?

7 곱하기 어떤 것을 7로 나누면

원래의 "어떤 것"만 남게 됩니다

우변의 7은 소거되고,
좌변은 14 나누기 7이어서 2가 되겠네요

그래서 해는 2입니다 x=2

머릿 속으로 더 확실히 이해하기 위해서

실제로 양변을 7로 나누었을 때

어떻게 되는지 그림으로 살펴보지요

이건 방정식입니다

좌변과 우변이 서로 같습니다

좌변에 어떤 계산을 하면
우변에도 똑같은 시행을 해야합니다

양변이 같다는 전제하에 풀이를 했으므로

한쪽 변에만 어떠한 변화를 주었을 때
서로 같아지지 않습니다

양변은 원래 서로 같았지요

그런데 좌변을 7로 나누면

자, 이런 식으로 7개 묶음으로 나눠보죠

x가 일곱개 있습니다

하나, 둘, 셋, 넷,

다섯, 여섯, 일곱...

좌변을 일곱 개 묶음으로 나눴으므로

우변도 일곱 개 묶음으로 표현해보겠습니다

하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯, 일곱

좌변과 우변 전체가 서로 같기 때문에

우리가 나눠놓은 이 작은 일곱 개 묶음도

서로 같게 됩니다

따라서 이 묶음은 저 묶음과 같아야 합니다

이 묶음은 이 묶음과 같습니다

모두 같은 묶음이지요

각각 양쪽에 7묶음씩 있지요

각 x는 두 개의 동그라미와 같게 됩니다

그래서 이번 경우는

x가 동그라미 두 개와 같아서

x=2 입니다

예제를 몇 개 더 풀어봅시다

이제는 방정식을 풀 때 한쪽 변에 어떠한 연산을 하면

다른 쪽 변에도 똑같은 연산을 해줘야 한다는 것을

확실히 이해했을 겁니다

자, 밑으로 좀 내려가서 판서할게요

3 x=15 라는 방정식을 살펴보겠습니다

전과 같이 암산으로 풀 수 있을 것입니다

이 식은 3 곱하기 어떤 숫자가

15와 같다는 것을 말합니다

구구단 3단을 주욱 외워보면 찾을 수 있지요

방정식을 체계적으로 풀고 싶다면

이 점을 알아야 합니다

좌변의 값과 우변의 값이 서로 같다는 것입니다

좌변에 x만 남게 하려면

무엇을 해야 할까요?

x만 남기려면 3으로 나누면 됩니다

이렇게 하는 이유는

3 곱하기 무엇을 3으로 나누면

3은 소거되고 x만 남기 때문입니다

3x=15 이므로,

좌변을 3으로 나누었으면

등식을 만족시키도록 우변도 3으로 나눠야 합니다

자, 결과적으로 어떻게 됐나요?

좌변에는 x 만 남고

좌변에는 x 만 남고

우변은 15 나누기 3이 되어

5가 되겠군요

이 방정식을 조금 다른 방식으로 풀어보지요

결국에는 같은 방법이지만 말입니다

3x=15에서

양변을 3으로 나누는 대신에

양변에 1/3을 곱하는 겁니다

이렇게 해도 3을 소거하여 x만 남길 수 있지요

양변에 1/3 을 곱하여도

역시 방정식이 풀립니다

보다시피 3의 1/3은 1이지요

이 부분에 곱하기를 한건데요

1/3 × 3 = 1이므로 결국 1x 가 되지요

1x 가 15 × 1/3과 같으므로
즉, 5와 같게 됩니다

1 곱하기 x는 x이므로

x=5입니다

이 방법은 사실 처음한 방법과 같은 방법입니다

양변을 3으로 나누는 것은

양변에 1/3을 곱하는 것과 같기 때문입니다

한 문제를 더 풀어볼건데

조금 복잡할 수 있습니다

변수를 조금 바꿔 보지요

2y + 4y = 18 이라는 식을 봅시다

갑자기 머리 속에서 하기엔

조금 어려워졌지요

이 식은 2 × 어떤 것 + 4 × 어떤 것이

18과 같다는 것을 의미합니다

단번에 y 값이 얼마인지 생각하기 어렵지요

그래도 한 번 해볼까요

만약 y에 1을 대입하면
2 × 1 + 4 × 1 이 18이 아닌 6이 되어

답이 아닌 것을 알 수 있습니다

어떻게하면 이 방정식을 체계적으로 풀 수 있을지
생각해 봅시다

계속 숫자를 대입하다 보면
결국에는 해를 찾을 수도 있겠지만

체계적으로 푼다는 것은 또 다른 이야기입니다

시각화해보도록 하지요

2y가 의미하는 것이 무엇일까요?

y 두 개를 서로 더했다는 것입니다

y + y 와 같지요

거기에 4y를 더해 봅시다

더하기 4y는 y 네 개를 더했다는

것을 의미합니다

y + y+ y + y를 더하는 것이지요

이 둘을 더한 것이

18과 같아야 합니다

좌변에 y가 몇 개 있나요?

좌변에 y가 몇 개 있나요?

하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, 여섯 개의 y가 있습니다.

이렇게 6y=18 으로 식을 정리할 수 있습니다

잘 이해가 되지요?

식으로 보면

2y + 4y= 6y 입니다

만약 사과 두 개에 사과 네 개를 더하면

사과 총 여섯 개가 되는 것과 같은 원리입니다

이렇듯 2y에 4y를 더하면
6y가 되는 겁니다

그리고 6y가 18과 같다는 겁니다

어떻게 푸는지 알고 있지요?

6 곱하기 무엇이 18과 같다는 것이므로

양변을 6으로 나누면, 그 무엇을 찾을 수 있겠지요

좌변을 6으로 나누고

우변도 6으로 나눕시다

남는 것은 y =3 입니다

맞는지 검산해 봅시다

방정식의 멋진 점 중에 하나는 바로

올바른 답을 찾았는지
항상 확인할 수 있다는 겁니다

y에 3을 대입하여 검산해보지요

2 × 3 + 4 × 3은

2 × 3 = 6,

4 × 3 = 12 이므로

6 + 12 = 18 입니다

맞는 답이군요!