સામાન્ય સમીકરણો

આ પ્રસ્તુતિ માં કોઈ પણ સમીકરણ કેવી રીતે બને છે, તે શુ દર્શાવે છે અને દરેક સામાન્ય સમીકરણ ને તમે કેવી રીતે ઉકેલી શકસો, તેની સમજણ આપવા માં આવી છે.

ધારો કે આપણી પાસે એક સમીકરણ છે ૭ વખ્ત એક્સ બરાબર ચૌદ..

હવે આ સમીકરણ નો ઉકેલ કરતા પહેલા,

હું વચારવા માંગુ છુ કે આ સમીકરણનો મતલબ શું છે.

સાત X બરાબર ચૌદ,

આનો અર્થ એ જ થયો જેમ કે અપડે કહીએ સાત વાર x, મને અહિયાં લખવા દો, સાત વાર x, x નારંગી રંગ માં, સાત વખ્ત x બરાબર ચૌદ છે

હવે તમે તમારા મન મા કદાચ આ ઉકેલી શકશો

હવે તમે સાત ના ઘિડયા નો ઉપયોગ કરી શકો છો.

સાત ગુણ્યા એક બરાબર સાત, એટલે X બરાબર એક ના હોઇ શકે.

સાત ગુણ્યા બે બરાબર ચૌદ, એ અહીયાં ચાલશે.

તેથી તમે આ તરત ઉકેલી શકશો.

તમે ખાલી જુદા જુદા નંબર નેા ઉપયોગ કરીને તરત

કહી શકશો કે અરે આનો જવાબ તો ૨ જ છે.

પણ આ ક્લાસ મા આપણે વિચારીશું કે

કઈ રીતે પધ્ધતી સર ઉકેલવુ.

કારણ કે જેમ આ સમીકરણો વધારે ને વધારે

અઘરા થતા જશે, તેમ તમે ખાલી

વિચારીને તમારા મગજ મા નહી ઉકેલી શકો.

તેથી પહેલા કઈ રીતે આ સમીકરણને સરળ બનાવવુ, એ જાણવું બહુ જ જરુરી છે,

પણ એનાથી પણ વધારે જરુરી તે શું

રજુ કરે છે એ સમજવુ.

તે ખરેખર એમ કહે છે કે સાત ગુણ્યા X બરાબર ચૌદ છે.

બીજગણિત મા આપણે ગુણ્યા નથી લખતા.

જ્યારે આપણે બે આંકડા જોડે લખીએ કે અહિયાં ની જેમ અંક અને

પરિવર્તનશીલ અક્ષર (ચલ) લખીએ, એ નો મતલબ એ છે કે

તમે ગુણાકાર કરો છો.

આ તો ખાલી ટૂંકી રીતે લખવાનો રીવાજ છે.

અને સામાન્ય રીતે આપણે ગુણાકાર ની નિશાની નથી વાપરતા, કારણ કે

તે ગૂંચવણમાં મૂકે છે , કારણ કે X એ સૌથી સામાન્ય રીતે

બીજગણિતમા વાપરવામા આવતો ચલ છે.

અને જો અપડે લખવું હોત, સાત વાર બરાબર ચૌદ, જો હું મારી ગુણાકાર નું

ચીન્હ અહિયાં મુકું તો આ થોડું વિચિત્ર લાગશે, એવું લાગશે કે

x બે વાર મુક્યો છે અથવા ગુણ્યા ગુણ્યા લખ્યું છે એવું લાગશે.

એટલે જયારે તમે સમીકરણો સાથે રમી રહ્યા હોય ત્યારે

અને ખાસ કરી ને ત્યારે જયારે ચલ x હોય, તમે પારંપરિક

ગુણાકાર ચીન્હ નો ઉપયોગ નહી કરો.

તમે કંઇક આવું કરી સકો છો- તમે દોટ અથવા ટપકું નો ઉપયોગ

કરી સકો છો ગુણાકાર દર્શાવા માટે.

એટલે તમારી પાસે રેહશે સાત વાર x બરાબર ૧૪.

પણ આ થોડું વિચિત્ર લાગશે.

જયારે તમારી પાસે કશું પણ હોય જે ચલ સાથે ગુણાકાર માં હોય

તો તમે ખાલી ૭x એવું લખશો.

તેનો શાબ્દિક અર્થ થશે ૭ વાર x.

હવે તમે સમજો કે તમે આ સમીકરણ ને કેવી રીતે ઉકેલી

શકસો, ચાલો આપણે વિચારીએ.

૭ વાર એક્સ , એ શું થયું?

એ જ વસ્તુ થઇ- હું અહિયાં આ સમીકરણ ને

ફરી વાર લખવાનો છુ પણ હું આને થોડું દેખાવડી રીતે લખું છુ.

એટલે કે સાત વખત એક્સ.

એટલે એનો શાબ્દિક અર્થ થયો કે તેમાં ૭ વખત x ઉમેરાયો છે.

એ જ તો ગુણાકાર ની વ્યાખ્યા છે.

એટલે એનો શાબ્દિક અર્થ થશે x વતા x વતા x વતા x વતા x - અહિયાં જોવો,

જે ૫x છે - વતા x વતા x

એટલે અહિયાં આપણ ને ખરેખર માં ૭ x મળશે.

આ ૭x છે અહિયાં.

મને નીચે આને ફરી થી લખવા દો.

આ અહિયાં ૭x છે .

અને આ સમીકરણ આપણ ને કહે છે કે ૭x બરાબર ૧૪ છે.

એટલે હું ખાલી એવું કહું છુ કે આ બરાબર છે ૧૪ ને.

મને અહિયાં ૧૪ વસ્તુઓ દોરવા દો.

એટલે ધારો કે અહિયાં છે: ૧,૨,૩,૪,૫,૬,૭,૮,

૯,૧૯,૧૧,૧૨,૧૩,૧૪.

એટલે અપડે ખરેખર એવું કહી રહ્યા છીયે કે ૭x બરાબર છે ૧૪ વસ્તુઓ ને.

આ બંને સરખા તારણો છે.

હવે પ્રમુખ કારણ કે મેં આને આવી રીતે દોર્યું એ છે કે

તમે સમજી સકો કે આપણે શું કરી રહ્યા હશું જયારે આપણે

બંને બાજુ ને સાત વડે ભાગીશું.

એટલે મને આ ભૂસી લેવા દો.

એટલે આ વિશિષ્ટ પગલું જયારે- મારે એ નથી કરવું,

માટે મને આ કરવા દો, મને અહિયાં એક છેલ્લું વર્તુર દોરવા દો.

એટલે કે સામાન્ય રીતે જયારે આપણે કોઈ પણ સમીકરણ ને ઉકેલીએ તો

ગુણાંક એ સંખ્યા છે જે

ચલ ને ગુણાકાર માં છે.

એટલે કોઈ સંખ્યા જે ચલ વડે ગુણેલી હોય અથવા તમે કહી સકો

એ ચલ ના ગુણાંક વડે ગુણેલી સંખ્યા બરાબર છે

કોઈ બીજી વસ્તુ ને.

તમે અહિયાં કરવા શું માંગો છો કે તમે બંને બાજુ ને સાત

વડે અથવા ગુણાંક વડે ભાગવા માંગો છો.

એટલે જો તમે બંને બાજુ ને સાત વડે ભાગો તો તમને શું મળે?

સાત વખત કોઈ સંખ્યા ભાગ્યા સાત આપણ ને એ જ

સંખ્યા પાછી આપશે.

બંને ૭ નીકળી જશે ને આપણી પાસે રેહશે ૧૪ ભાગ્યા ૭ જેનો જવાબ ૨ છે.

એટલે તમારો જવાબ રેહશે x બરાબર ૨.

પણ તમારા મગજ માં આ સરખી રીતે બેસાડવા માટે કે અહિયાં થઇ શું રહ્યુ છે

કે આપણે સમીકરણ ની બંને બાજુ ને સાત વડે ભાગી રહ્યા છીયે.

અને શાબ્દિક અર્થ માં, આપણે ભાગી રહ્યા છીયે.

આ એક સમીકરણ છે.

એ એવું કઈ રહ્યુ છે કે આ વસ્તુ બરાબર પેલી વસ્તુ છે

જે પણ હું ડાબી બાજુ પર કરું મારે એ જ વસ્તુ જમણી બાજુ પર પણ કરવી પડશે.

જો અપડે શુરુઆત માં જ એવું કહીએ કે એ બંને સરખા છે, તો હું એક જ બાજુ પર

કોઈ પ્રક્રિયા કરી ને એવું નાં કહી શકું કે એ બંને સરખા છે.

એ બંને સરખા હતા.

એટલે જો અપડે ડાબી બાજુ ને ૭ વડે ભાગીયે, મને એને સાત ભાગ

માં વેંચી લેવા દો.

એટલે અહિયાં આપડી પાસે સાત x છે, આ એક છે, બે, ત્રણ,

ચાર, પાંચ, છ, સાત.

એટલે અહિયાં છે એક,બે,ત્રણ,ચાર,પાંચ,છ,સાત ભાગ.

હવે જો મે ડાબી બાજુ ના સાત ભાગ કર્યા તો મારે જમણી

બાજુ પર પણ ૭ ભાગો કરવા પડશે.

એક, બે, ત્રણ, ચાર , પાંચ, છ, સાત.

એટલે જો આખી વસ્તુ બરાબર છે આ આખી વસ્તુ ને તો

દરેક નાની વસ્તુ જે આપણે છુટ્ટી પાડી, આ સાત ભાગો ને પણ

બરાબર અને સરખા બનાવી દેશે.

એટલે તમે કહી સકો કે આ ટુકડો પેલા ટુકડો ને બરાબર છે.

આ ટુકડો પેલા ટુકડો ને બરાબર છે-- બંને

સરખા છે.

અહિયાં સાત ટુકડાઓ છે ને ત્યાં પણ સાત ટુકડાઓ છે.

એટલે દરેક x આ બંને વસ્તુઓ ને બરાબર હોવું જોઈએ.

એટલે આપણ ને મળશે x બરાબર છે, આ ઉદાહરણ માં

આપણે એ વસ્તુ દોરી લીધી છે જેની સંખ્યા બે છે.

x બરાબર બે.

હવે, અપડે હજુ એક-બે પ્રશ્નો ઉકેલવા નો પ્રયાસ કરીએ જે થી

કરી ને તમારા મગજ માં એ વસ્તુ બરાબર બેસી જાય કે આપણે સમીકરણ સાથે વર્તી રહ્યા છીયે

અને જે પ્રક્રિયા આપણે સમીકરણ ની એક બાજુ કરીએ છે, આપણે

બીજી બાજુ પર પણ એ પ્રક્રિયા કરવી જ પડે.

એટલે મને હવે થોડું નીચે આવી જવા દો.

હવે, ધારો કે મારી પાસે છે, ત્રણ વખ્ત એક્સ બરાબર પંદર.

ફરી થી, તમે આને તમારા મન માં ઉકેલી શકસો.

આ એવું કહી રાખ્યું છે કે ત્રણ વાર કોઈ

સંખ્યા પંદર ને બરાબર છે.

તમે ૩ નો ઘડીયો યાદ કરી ને આનો જવાબ મેળવી સકો છો.

પણ જો તમારે વ્યવસ્થિતપણે સમજવું હોય તો, અને

વ્યવસ્થિત રીતે આને સમજવું એ બહુ જ જરૂરી છે, તમે કહી શકો

કે આ ડાબી બાજુ પર ની વસ્તુ જમણી બાજુ ની વસ્તુ ને બરાબર છે.

મારે આ ડાબી બાજુ પર શું કરવું પડશે જે થી કરી ને

મને ત્યાં ખાલી x જ મળે?

હવે ત્યાં ખાલી એક્સ રાખવા માટે, હું એને ત્રણ વડે ભાગી નાખીશ.

અને આની પાછળ નું મારું મૂળ મંતવ્ય એ છે કે ત્રણ વખ્ત

કોઈ પણ સંખ્યા ને જયારે આપણે ત્રણ વડે ભાગીયે છે, તો બંને ત્રણ નીકળી જશે અને

મારી પાસે ખાલી x રેહશે.

એટલે, ત્રણ વખ્ત x બરાબર છે ૧૫ ને.

હું ડાબી બાજુ ને ત્રણ વડે ભાગી નાખીશ, અને

સમાનતા ને જાળવી રાખવા માટે, મારે જમણી બાજુ ને પણ ત્રણ વડે ભાગવું પડશે.

આવું કરવા થી આપણ ને શું મળશે?

હવે ડાબી બાજુ પર આપણી પાસે ખાલી

એક x રેહશે, એટલે આપણી પાસે રેહશે ખાલી એક જ x.

અને જમણી બાજુ પર, પંદર ભાગ્યા ૩ શું થશે?

જેનો જવાબ પાંચ મળશે.

હવે તમે આ સમીકરણ ને થોડી અલગ રીતે પણ ઉકેલી

શકેત, ભલે ને તે એક જ સમાન હોય

એટલે જો અપણે ૩x થી શરૂઆત કરીએ એટલે કે ૩x બરાબર પંદર, તો તમે કહેશો

કે ઓ! સલમાનભાઈ!, ૩ વડે ભાગવા ને બદલે એવુ કઈ કરી શકાય જે થી મને આ

ત્રણ નો છુટકારો મળી જાય. હવે જો મારી પાસે ખાલી x જ રેહશે જો

હું સમીકરણ ની બંને બાજુ ને ૧/૩ વડે ગુણી લઈશ.

એટલે જો હું સમીકરણ ની બંને બાજુ ને ૧/૩ વડે ગુણી લઈશ

તો પણ આપણું કામ થઇ જશે.

તમે કહેશો કે જોવો, ત્રણ નો ત્રીજો ભાગ એક છે.

જયારે તમે આ ભાગ ને ગુણી લેશો, ૧/૩ વખ્ત

૩, જે બરાબર છે એક ને, ૧x.

૧x બરાબર છે પંદર વખ્ત એક/ ત્રણ ને એટલે કે ૫.

અને એક વખ્ત x એટલે સ્વાભાવિક રીતે અપડે એને x એવું લખી શકીએ, એટલે

આપણે એવું કહી શકીએ કે x બરાબર છે ૫ ને.

અને ખરેખર માં આ બને ઉકેલવા માટે ની સમાન રીતો છે .

આપણે બંને બાજુ ને ત્રણ વડે ભાગી લઈએ, એ સમાન છે એ રીતે ને જેમાં

આપણે સમીકરણ ની બંને બાજુ ને ૧/૩ વડે ગુણી લઈએ.

ચાલો આપણે હજુ એક કરીએ અને હું આને થોડો

કઠીન બનવાનો છુ.

અને હું ચલ (variable) ને પણ થોડો બદલી નાખવાનો છુ.

એટલે ચાલો માની લઈએ કે આપડી પાસે છે ૨ વખ્ત y વતા ૪ વખ્ત y બરાબર છે અઢાર ને.

હવે અચાનક જ આને મન માં ઉકેલવું

થોડું મુશ્કિલ છે.

આપણે કહી રહ્યા છીયે કે ૨ વખ્ત કોઈ પણ વસ્તુ વતા ૪ વખ્ત એજ વસ્તુ

બરાબર છે અઢાર ને.

એટલે થોડું કઠીન છે એ વિચારવું કે આ સંખ્યા કઈ હશે.

તમે પ્રયત્ન કરી સકો છો.

ધારો કે હું કહું y બરાબર છે ૧ ને, તો આપણ ને મળશે ૨ વખ્ત એક વતા

૪ વખ્ત એક જે નહી કામ કરે.

પણ ચાલો અપણે વિચાર કરીએ કે અપણે આને વ્યવસ્થિતપણે કેવી રીતે ઉકેલી શકીએ.

તમે અનુમાન લગાડવા નો પ્રયાસ ચાલુ રાખી શકો અને તમને કદાચ

જવાબ મળી પણ જાય, પણ તમે આને વ્યવસ્થિતપણે અને પદ્ધતિપૂર્વક કેવી રીતે ઉકેલ્સો.

ચાલો અપડે થોડો વિચાર કરીએ..

મારી પાસે બે y છે તેનો અર્થ શું થયો?

એનો શાબ્દિક અર્થ એ થાય કે મારી પાસે બે y છે જેનો સરવાળો થયેલો છે એક બીજા માં.

શાબ્દિક અર્થ એ થાય કે, y વતા y.

અને પછી હું ચાર y વધારે ઉમેરું છુ.

અને તેમાં હું ચાર y ઉમેરી રહ્યો છુ, જેનો શાબ્દિક અર્થ એ છે કે

ચાર y એક બીજા માં ઉમેરેલા છે.

એટલે એ છે y વતા y વતા y વતા y

અને એ અઢાર ને બરાબર હોવું જોઈએ.

આ અઢાર ને બરાબર છે.

હવે, અહિયાં ડાબી બાજુ પર આપણી પાસે કેટલા y રેહશે?

કેટલા y છે મારી પાસે?

મારી પાસે છે એક,બે,ત્રણ,ચાર, પાંચ,છ y.

એટલે તમે આને સરળ રીતે લખી સકો કે છ વખ્ત y બરાબર છે અઢાર ને.

અને જો તમે થોડો વિચાર કરો તો તમને સમાજ પડશે કે આ બહુ સ્વાભાવિક છે.

એટલે આ વસ્તુ અહિયાં, ૨ વખ્ત y વતા ૪ વખ્ત y બરાબર છે ૬y ને.

એટલે ૨y વતા ૪y બરાબર છે ૬y ને જે એકદમ સ્વાભાવિક છે.

જો મારી પાસે છે ૨ અનાનસ હોય અને તેમાં હું ૪ અનાનસ ઉમેરું તો મારી

પાસે ૬ અનાનસ રહે ને.

એ જ રીતે જો મારી પાસે હોય ૨y વતા ૪y હોય, તો મારી પાસે રેહશે ૬y.

અને એ બરાબર છે અઢાર ને.

અને હવે આશાપૂર્વક રીતે, અપણે આને સમજવાનો પ્રયાસ કરીએ.

જો મારી પાસે હોય ૬ વખ્ત કોઈ સંખ્યા જે બરાબર છે ૧૮ ને અને જો

હું સમીકરણ ની બંને બાજુ ને ૬ વડે ભાગી લઉં, હું અને ઉકેલીસ કોઈ સંખ્યા માટે.

એટલે ડાબી બાજુ ને છ વડે ભાગી લઉં, અને જમણી બાજુ ને પણ

છ વડે ભાગી લઉં.

અને આપણી પાસે રેહશે y બરાબર ત્રણ.

અને તમે પ્રયત્ન કરી સકો છો આને ઉકેલવા માટે.

કોઈ પણ સમીકરણ ની સારી વસ્તુ એ જ છે.

તમે દર વખતે ચકાસી શકો છો કે તમને સાચો જવાબ મળ્યો છે કે નહી.

ચાલો જોઈએ કે આ સિદ્ધાંત કામ કરે છે કે નહી..

બે વખ્ત ત્રણ વતા ચાર વખ્ત ત્રણ બરાબર છે કઈ સંખ્યા ને?

બે વખ્ત ત્રણ, એ બરાબર છે ૬ ને.

અને ત્યારબાદ ૪ વખ્ત ૩ બરાબર છે ૧૨ ને

૬ વતા ૧૨ બરાબર છે ૧૮ ને.

અને આપણે કહી શકીએ કે આ કામ કરે છે.