Simple Equations

Nehmen wir die Gleichung 7 mal x ergibt 14.

Bevor wir überhaupt versuchen, die Gleichung zu lösen,

werde ich erst mal überlegen, was das eigentlich bedeutet:

7 x ergibt 14,

Es ist genau das gleiche wie zu sagen: 7 mal x.

Du könntest das im Kopf machen.

Du könntest durch die 7er Reihe gehen.

Du sagst also 7 mal eins ist gleich 7, also das funktioniert nicht.

7 mal 2 ist gleich 14 - also 2 passt hier!

Also kannst Du es sofort lösen.

Du würdest sofort, nur durch Durchprobieren verschiedener Zahlen

sagen: Hey, die gesuchte Zahl x wird 2 sein.

Aber, was wir in diesem Video machen werden, ist uns zu überlegen,

wie wir das systematisch lösen können.

Weil wir nämlich merken werden, wenn die Gleichungen

immer und immer komplizierter werden, können wir nicht

einfach die Lösung im Kopf.

Also ist es zum einen wirklich wichtig, dass Du verstehst, wie man

diese Gleichungen umstellen kann, aber viel wichtiger ist zudem,

dass Du verstehst, was die Gleichung eigentlich darstellt.

Wortwörtlich heißt das nur 7 mal x ist ergibt 14.

In Algebra schreiben wir nicht "mal".

Wenn man zwei zahlen nebeneinander oder eine Zahl neben

eine Variable wie hier, bedeutet das einfach das Du

multiplizierst.

Es einfach eine kürzere Schreibweise, eine Abkürzung.

Ganz allgemein verwenden wir das (englische) Multiplikations-Symbol nicht, weil

es irreführend ist, da x die meist verwendetete Variable

in Algebra ist.

Und wenn ich 7 mal x ergibt 14 schreiben würde, und ich mein

"mal" Zeichen oder mein x ein wenig unordentlich schreiben würde, könnte es

wie xx or mal mal aussehen.

Also wenn wir mit solchen Gleichungen zu tun haben

besonders wenn eine der Variablen ein x ist,

verwenden wir nicht das (englische) Multiplikationssymbol.

Man könnte etwa -- einen Punkt nehmen

der die Multiplikation repräsentiert.

Also du hast 7 mal ergibt 14.

Aber das ist noch immer etwas merkwürdig.

Wenn man etwas mit einer Variable multiplizierst,

schreibt man einfach 7x.

Was wörtlich 7 mal x bedeutet.

Um nun zu verstehen, wie du diese Gleichung umformen, kannst um

sie zu lösen, lass uns das kurz aufzeigen:

Also 7 mal x, was ist das?

Das ist das gleiche -- also ich schreibe das mal um.

Ich schreibe die Gleichung einfach in einer visuellen Form auf.

Also 7 mal x.

Wörtlich bedeutet das x 7 mal auf sich selbst addiert.

Das ist die Definition von Multiplikation.

Also wirklich x plus x plus x plus x plus x -- schauen wir mal,

das sind 5 x'e -- plus x plus x.

Also das hier sind wirklich 7 x'e.

Das hier ist 7x.

Lass mich das noch mal hinschreiben.

Das hier ist 7x.

Diese Gleichung sagt uns, dass 7x gleich 14 ist.

Also sagt uns das nur, dass das gleich 14 ist.

Lass mich 14 Objekte hinzeichnen.

Sagen wir Ich habe 1,2,3,4,5,6,7,8,

9,10,11,12,13,14.

Also wörtlich sagen wir 7x ist gleich 14 Sachen.

Das sind gleiche Aussagen.

Der Grund, warum ich das so gezeichnet habe, ist, dass

Du wirklich verstehst, was wir machen, wenn wir

beide Seiten durch 7 teilen.

Also lass mich das hier löschen.

Also der Standard-Schritt -- das wollte ich jetzt nicht so machen

das machen wir so, und dann zeichne ich noch den letzen Kreis.

Also generell, wann immer du eine Gleichung vereinfachst

-- ein Koeffizient ist nur die Zahl, mit der du

die Variable multiplizierst.

Also irgendeine Zahl, die die Variable multipliziert. Oder wir könnten auch sagen

Koeffizient mal Variable ist gleich

etwas anderes.

Was wir hier eigentlich vorhaben ist, beide Seiten durch 7 zu dividieren,

oder beide Seiten durch den Koeffizienten zu dividieren

Also, wenn wir beide Seiten durch 7 dividieren, was kriegen wir dann raus?

7 mal irgendwas durch 7 wird einfach wieder

das ursprüngliche irgendwas.

Die 7er kürzen sich heraus und 14 durch 7 ist 2.

Also wird die Lösung x gleich 2 sein.

Um es wirklich konkret zu machen:

Was passiert hier, wenn wir beide Seiten der

Gleichung durch 7 teilen? Wir teilen jetzt mal beide Seiten durch 7.

Es ist eben eine Gleichung,

die uns sagt: Diese Seite ist gleich der anderen

Alles was ich auf der linken Seite tue, muss ich auch auf der rechten Seite machen.

Wenn beide Seiten der Gleichung von Anfang an gleich sind, kann ich nicht einfach irgendeine Operation

auf nur einer Seite ausführen und glauben, dass beide Seiten immer noch gleich seien.

Dann waren sie mal gleich.

Also wenn ich die linke Seite durch 7 dividiere, also ich teile

sie mal in 7 Gruppen.

Also da sind 7 x'e hier, also dass ist eins, zwei, drei,

vier, fünf, sechs, sieben.

Also sind es eins, zwei, drei, vier, fünf. sechs, sieben Gruppen

Wenn wir jetzt das in sieben Gruppen aufteilen, will ich

die rechte Seite jetzt auch in sieben Gruppen aufteilen.

Eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben.

Also wenn das Ganze hier, gleich dem Ganzen auf dieser Seite ist, dann ist jeder

von diesen kleinen Brocken hier, von diesen sieben Brocken mein ich,

genau gleichwertig.

Also dieser Brocken hier, könnte man sagen, ist gleichwertig wie dieser andere Brocken

Dieser Brocken ist gleich dem Brocken -- sie sind

alle gleichwertig.

Da sind sieben Brocken hier, und sieben Brocken dort.

Also muss jedes x genau gleich sein - wie zwei von diesen Dingern.

Also kriegen wir x ist gleich, in diesem Fall -- in diesem Fall

haben wir ja alle Dinger hingemalt und das sind zwei von

ihnen. x ist gleich 2.

Also, machen wir einfach noch ein paar andere Beispiele, nur damit

du auch wirklich merkst, dass wir hier mit Gleichungen hantieren,

und dass jede operation, die du auf einer Seite der Gleichung durchführst,

auf auf der anderen Seite durchgeführt werden soll.

Lasst mich mal ein bisschen nach unten scrollen

Sagen wir, wir haben, also wir haben 3x ist gleich 15.

Wieder einmal ist es möglich, dass du dass in deinem Kopf lösen könntest

indem du sagst, drei mal welche

Zahl ist gleich 15?

Du könntest die Dreierreihe durchgehen und es rausfinden.

Aber wenn wir es einfach systematischer machen wollten,

und es ist gut es systematisch zu machen, zum Beispiel, das

Zeug auf der linken Seite ist gleich dem Zeug auf der rechten.

Was muß ich jetzt mit dem Zeug auf der Linken machen

damit dort nur ein x stehen bleibt?

Nun, um dort nur ein x stehen zu lassen, dividiere ich einfach durch 3.

Und dass mach ich nur aus dem Grund, weil 3 mal

irgendwas, dividiert durch 3, die 3er kürzen sich raus, einfach

nur ein x auf der Linken übrig lässt.

3x war also gleich 15

Wenn ich jetzt die linke Seite durch 3 dividiere, muss ich, um die Gleichheit beizubehalten,

auch die rechte Seite durch 3 dividieren.

Was kommt dabei heraus?

Genau, auf der linken Seite bleibt uns nur

das x übrig, also das wird einfach ein x.

und dann, die rechte Seite, Was ist 15 dividiert durch 3?

Nun, es ist einfach 5.

Du hättet diese Gleichung genauso ein bisschen anders

lösen können, obwohl da genau das Gleiche rauskommt.

Wenn ich mit 3x gleich 15 anfange, da könntest du sagen hey Sal,

anstatt durch 3 zu dividieren, könnte ich diese 3 genauso gut loswerden

und mir würde nur ein x übrigbleiblen, wenn ich beide seiten

dieser Gleichung mit 1/3 (einem Drittel) multipliziere.

Also wenn ich beide Seiten der Gleichung mit 1/3 multiplizieren würde,

müsste das genauso funktionieren.

Weil, 1/3 von 3 gleich 1 ist.

Wenn du einfach diesen Teil hier, 1/3 mal

3, dass ist einfach nur 1, 1x.

1x ist gleich 15 mal 1/3 was genau 5 ergibt.

Und 1 mal x ist das gleiche wie nur x, so das ist das Gleiche

wie x ist gleich 5.

Das sind also zwei gleichwertige Wege die Gleichung zu lösen.

Wenn du beide Seiten durch 3 teilst, ist es das Gleiche wie

beide Seiten der Gleichung mit 1/3 zu multiplizieren.

Machen wir noch ein Beispeil, und ich werde es diesmal ein wenig

komplizierter machen.

Ich werde die Variable ein wenig verändern.

Wenn wir 2y plus 4y ist gleich 18.

Dann wird es plötzlich ein bisschen schwerer,

das im Kopf zu lösen.

Sagen wir 2 mal irgendwas plus 4 mal das gleiche

irgendwas ist genau gleich 18.

Dann wir es schwerer rauszufinden, was die gesuchte Zahl sein könnte.

Du könntest es ausprobieren.

Wenn y 1 wäre, wäre es 2 mal 1 plus 4 mal 1,

also dass funktioniert nicht.

Aber versuchen wir es einfach wieder systematisch.

Du könntest natürlich auch herumraten und würdest sicher irgendwann

die richtige Antwort herausfinden, aber wie gehts systematisch?

Zeichnen wir´s mal auf.

Ich habe 2 y´s, was heißt das?

Es heißt buchstäblich ich habe 2 y´s, die ich aufaddiere.

Also heißt es eigentlich y plus y.

Und dann zähle ich nochmal 4 y´s dazu.

Ich zähle 4 y´s dazu, also genau 4 y´s

zusammengezählt.

Also ist es y plus y plus y plus y.

und dass muss gemeinsam 18 ergeben.

Das enstpricht also 18.

Wie viele y´s habe ich jetzt auf der linken Seite?

Wie viele y´s sind es?

Ich habe eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs y´s.

Ich kann das jetzt zu 6y ist gleich 18 vereinfachen.

Wenn du darüber nachdenkst, macht das auch wirklich Sinn.

Dass hier, die 2y plus 4y ist 6y.

2y plus 4y ist also 6y, was wirklich Sinn macht.

Wenn ich zu 2 Äpfeln noch 4 Äpfel dazugebe,

bekomme ich 6 Äpfel.

Wenn ich 2 y´s und 4`y zusammenzähle, bekomme ich 6`y

Und dass soll gleich 18 sein.

Und jetzt verstehen wir hoffentlich wie wir das machen müssen.

Wenn ich "6 mal irgendwas ist gleich 18" habe, und beide Seiten

der Gleichung durch 6 dividiere, werde ich die Gleichung nach dem irgendwas auflösen.

Ich teile demnach die linke Seite durch 6, und teile

die rechte Seite durch 6.

Und übrig bleibt: y ist gleich 3.

Du kannst es auspropieren.

Das ist ja genau das coole an Gleichungen.

Du kannst immer überprüfen ob du die richtige Antwort hast.

Schaun wir mal, ob´s funktioniert.

2 mal 3 plus 4 mal 3 ist gleich ... was?

2 mal 3, ist genau 6.

Und 4 mal 3 ist 12.

6 plus 12 ist, genau, es ist 18.

Hat es also geklappt.