< Return to Video

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN | PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN | KHAN ACADEMY

  • 0:01 - 0:03
    Đến thời điểm này thì mình đã nắm được
  • 0:03 - 0:06
    một chút về phương trình vi phân, vậy mình sẽ giải thử vài bài nha
  • 0:06 - 0:09
    Nhóm thứ nhất của phương trình vi phân
  • 0:09 - 0:11
    mà mình muốn giới thiệu gọi là phương trình vi phân tách biến
  • 0:11 - 0:14
    Và bạn có thể thấy là thực ra mình
  • 0:14 - 0:14
    không có học cái gì quá mới hết
  • 0:14 - 0:19
    Dùng kiến thức giải tích đạo hàm và
  • 0:19 - 0:22
    tích phân đã được học, bạn có thể giải được một phương trình vi phân tách biến
  • 0:22 - 0:25
    Lí do nó được gọi là tách biến là bởi vì
  • 0:25 - 0:28
    bạn có thể tách được biến y và biến x, rồi tích phân nó
  • 0:28 - 0:30
    một cách tách biệt để giải được
  • 0:30 - 0:31
    phương trình vi phân này
  • 0:31 - 0:34
    Nên nó là tách biến
  • 0:34 - 0:36
    phương trình vi phân tách biến
  • 0:36 - 0:39
    Mình thử giải vài câu nha, rồi nó sẽ dễ hiểu hơn một chút
  • 0:39 - 0:43
    Dạng này thực ra chỉ cần tính toàn đại số
  • 0:43 - 0:44
    thôi
  • 0:44 - 0:49
    Vậy phương trình vi phân tách biến đầu tiên là dy
  • 0:49 - 0:57
    trên dx bằng với x bình trên 1 trừ y bình
  • 0:57 - 0:58
    Mình ôn tập một chút về các thuật ngữ
  • 0:58 - 0:59
    đã nha
  • 0:59 - 1:01
    Đầu tiên, cấp của phương trình vi phân
  • 1:01 - 1:02
    này là gì
  • 1:02 - 1:05
    Đạo hàm cao nhất của nó sẽ chỉ là đạo
  • 1:05 - 1:08
    hàm cấp 1, vậy cấp của phương trình bằng với 1
  • 1:08 - 1:11
    vậy nó là cấp 1
  • 1:11 - 1:14
    Nó bình thường thôi vì mình chỉ có một đạo hàm
  • 1:14 - 1:16
    bình thường chứ không có đạo hàm riêng
  • 1:16 - 1:18
    Vậy cái này là tuyến tính hay phi tuyến tính?
  • 1:18 - 1:21
    Nhìn nó có vẻ giống như phương trình tuyến tính
  • 1:21 - 1:22
    vì mình không nhân đạo hàm với
  • 1:22 - 1:23
    cái gì cả
  • 1:23 - 1:25
    Nhưng nếu bạn nhìn kĩ, có một cái
  • 1:25 - 1:26
    khá là thú vị ở đây
  • 1:26 - 1:28
    Đầu tiên, bạn sẽ có một y bình
  • 1:28 - 1:30
    y là biến phụ thuộc nha
  • 1:30 - 1:31
    y là một hàm số của x
  • 1:31 - 1:34
    vậy mình có y bình, là nó trở thành phi tuyến tính
  • 1:34 - 1:37
    Và thậm chí nếu nó là y, nếu bạn thử nhân
  • 1:37 - 1:39
    hai vế của phương trình này với 1 trừ y, và đưa nó
  • 1:39 - 1:43
    về dạng phương trình mình cho bạn xem lúc trước, bạn
  • 1:43 - 1:47
    sẽ có 1 trừ y bình
  • 1:47 - 1:49
    Thực ra đây là bước đầu tiên mà mình phải làm
  • 1:49 - 1:50
    nên mình sẽ viết nó xuống
  • 1:50 - 1:52
    vậy nếu mình nhân hai vế của phương trình này
  • 1:52 - 1:57
    với 1 trừ y bình, bạn có 1 trừ y bình nhân với dy
  • 1:57 - 2:01
    dx bằng với x bình
  • 2:01 - 2:04
    Và mình có thể thấy ngay, thậm chí không cần cái này
  • 2:04 - 2:07
    phải bình phương, bạn sẽ nhân y với dy dx
  • 2:07 - 2:10
    và nó cũng sẽ làm phương trình này phi tuyến tính
  • 2:10 - 2:12
    vì bạn đang nhân một biến phụ thuộc với
  • 2:12 - 2:13
    đạo hàm của chính nó
  • 2:13 - 2:15
    làm cho phương trình vi phân này phi tuyến tính
  • 2:15 - 2:17
    Được rồi, giờ quay lại giải bài này nha
  • 2:17 - 2:19
    Đây là bước đầu tiên
  • 2:19 - 2:21
    Mình chỉ nhân hai vế với 1 trừ y bình
  • 2:21 - 2:24
    và mục tiêu cuối cùng là tách được các biến y và
  • 2:24 - 2:26
    các biến x, rồi tích phân hai vế
  • 2:26 - 2:27
    mình gần xong rồi
  • 2:27 - 2:30
    Vậy cái mình muốn làm ở đây là nhân hai vế với
  • 2:30 - 2:33
    dx để mình có thể bỏ được dx, vậy mình có một dx ở đây
  • 2:33 - 2:34
    và bỏ được dx ở đây
  • 2:34 - 2:38
    để mình viết nó ra chỗ này
  • 2:38 - 2:47
    Vậy mình có 1 trừ y bình dy bằng với x bình dx
  • 2:47 - 2:51
    mình đã tách biến x và y và các
  • 2:51 - 2:52
    vi phân
  • 2:52 - 2:55
    Nãy giờ mình chỉ nhân hai vế của phương trình
  • 2:55 - 2:57
    với dx để có được cái này
  • 2:57 - 3:00
    Giờ mình sẽ tích phân hai vế
  • 3:00 - 3:02
    thử làm nha
  • 3:02 - 3:03
    Bạn làm cái gì với một vế thì bạn cũng phải
  • 3:03 - 3:05
    làm y hệt vậy bên vế còn lại
  • 3:05 - 3:07
    Cái này thì đúng với cả phương trình bình thường
  • 3:07 - 3:08
    và phương trình vi phân luôn
  • 3:08 - 3:09
    Vậy mình tích phân hai bên
  • 3:09 - 3:13
    Tích phân của cái này theo y là gì?
  • 3:13 - 3:13
    Để xem nào
  • 3:13 - 3:20
    Tích phân của 1 là y, tính phân của y bình thì sẽ
  • 3:20 - 3:27
    là trừ y mũ ba, phần 3
  • 3:27 - 3:30
    Mình sẽ viết cộng c ở đây để cho bạn thấy
  • 3:30 - 3:33
    rõ hơn, nhưng bạn không cần phải viết cộng c
  • 3:33 - 3:34
    ở hai vế
  • 3:34 - 3:37
    Mình sẽ gọi là cộng một hằng số theo y
  • 3:37 - 3:39
    tích phân của y
  • 3:39 - 3:40
    Bạn sẽ không thấy cái này trong lớp giải tích,
  • 3:40 - 3:42
    nhưng mình chỉ muốn làm rõ nó ở đây
  • 3:44 - 3:46
    Mình muốn cho bạn thấy là cái cộng c
  • 3:46 - 3:48
    nó vẫn ở đó, không mất đi từ lúc mình lấy
  • 3:48 - 3:49
    nguyên hàm gốc của mình
  • 3:49 - 3:50
    Vậy đạo hàm của cái này là gì?
  • 3:50 - 3:52
    Nó sẽ là x mũ ba phần ba
  • 3:57 - 4:01
    và cái này cũng sẽ có một cộng c
  • 4:01 - 4:04
    theo biến x
  • 4:04 - 4:07
    Bây giờ lý do vì sao mình viết cái này bằng màu
  • 4:07 - 4:09
    tím là để đánh dấu nó, vì bạn thực ra chỉ phải
  • 4:09 - 4:11
    viết một cái cộng c vào một vế của phương trình
  • 4:11 - 4:14
    Và nếu như bạn vẫn chưa rõ lắm, thì mình có thể trừ
  • 4:14 - 4:20
    c ở cả hai vế, và mình có y trừ,
  • 4:20 - 4:23
    để mình lùi xuống dưới một chút
  • 4:23 - 4:29
    y trừ y mũ 3 phần 3 bằng với x mũ ba
  • 4:29 - 4:33
    phần ba cộng với hằng số mà mình vừa lấy nguyên hàm
  • 4:33 - 4:36
    của x, trừ hằng số của nguyên hàm khi mình
  • 4:36 - 4:37
    lấy y đi
  • 4:37 - 4:40
    Nhưng hai hằng số này nó chỉ là hằng số thôi
  • 4:40 - 4:40
    ý mình là mình không biết cụ thể nó là gì
  • 4:40 - 4:41
    Nó là các hằng số bất kì
  • 4:41 - 4:43
    nên mình chỉ viết là c ở đây thôi
  • 4:43 - 4:46
    Bạn phải có một hằng số, nhưng nó không
  • 4:46 - 4:48
    nhất thiết phải ở hai vế của phương trình, vì
  • 4:48 - 4:50
    nó là hai hằng số bất kì
  • 4:50 - 4:52
    cx trừ cy, nó sẽ lại là một hằng số khác
  • 4:52 - 4:54
    Và nếu mình muốn rút gọn phương trình này hơn
  • 4:54 - 4:56
    Mình có thể nhân hai vế với ba
  • 4:56 - 4:57
    để nhìn nó rõ ràng hơn một chút
  • 4:57 - 5:05
    và bạn sẽ có 3y trừ y mũ ba bằng với x mũ
  • 5:05 - 5:09
    ba cộng-- thực ra mình có thể viết 3c ở đây
  • 5:09 - 5:11
    Nhưng một lần nữa, c chỉ là một hằng số bất kì
  • 5:11 - 5:14
    vậy 3 nhân với một hằng số bất kì sẽ chỉ là một
  • 5:14 - 5:15
    hằng số bất kì khác
  • 5:15 - 5:19
    Vậy mình sẽ viết c ở đây
  • 5:19 - 5:20
    Vậy là xong rồi đó
  • 5:20 - 5:22
    Mình đã giải xong phương trình vi phân này
  • 5:22 - 5:26
    Dù nó đang ở dạng ẩn và cũng khá là
  • 5:26 - 5:28
    phức tạp để chuyển nó sang dạng khác
  • 5:28 - 5:32
    Mình có thể cho c về một bên, thì nghiệm
  • 5:32 - 5:37
    sẽ là ba y trừ y mũ ba trừ x mũ ba bằng với c
  • 5:37 - 5:39
    Một vài bạn có lẽ sẽ thích để ở dạng này hơn
  • 5:39 - 5:40
    Cái này là nghiệm
  • 5:40 - 5:42
    Và bạn để ý là nghiệm, giống như khi bạn lấy
  • 5:42 - 5:47
    nguyên hàm, nghiệm sẽ là một nhóm các hàm số
  • 5:47 - 5:48
    ản, trong trường hợp này
  • 5:48 - 5:49
    Và tại sao nó lại là một nhóm?
  • 5:49 - 5:52
    Vì mình có hằng số ở đây
  • 5:52 - 5:55
    Dựa vào số mà mình chọn ở đó,
  • 5:55 - 5:56
    nghiệm sẽ khác đi
  • 5:56 - 5:59
    Nhưng bất kì hằng số nào cũng đều thỏa mãn
  • 5:59 - 6:04
    phương trình vi phân này, ở trên đây
  • 6:04 - 6:06
    Cái này là phương trình vi phân gốc
  • 6:06 - 6:08
    Và nếu bạn muốn giải được hằng số này,
  • 6:08 - 6:10
    đề bài phải cho bạn một điều kiện ban đầu
  • 6:10 - 6:16
    Đề bài phải nói là ví dụ như khi x bằng 2, y bằng 3
  • 6:16 - 6:18
    Thì bạn mới có thể giải được c
  • 6:18 - 6:20
    Được rồi, vậy mình cùng làm một bài nữa
  • 6:20 - 6:23
    có điều kiện ban đầu nha
  • 6:23 - 6:27
    Để mình xóa bảng đi
  • 6:27 - 6:32
    để bài toán nhìn cho nó rõ ràng
  • 6:32 - 6:37
    Vậy cái này sẽ là đạo hàm lần một của y theo
  • 6:37 - 6:50
    x bằng với ba x bình cộng 4x cộng 2 trên
  • 6:50 - 6:52
    2 nhân y trừ 1
  • 6:52 - 6:54
    cái này là dấu ngoặc chứ không phải trị tuyệt đối nha
  • 6:54 - 6:56
    Đề bài cho mình điều kiện ban đầu
  • 6:56 - 7:01
    Đề nói là y của 0 sẽ bằng với -1
  • 7:01 - 7:03
    Vậy khi mình giải được phương trình vi phân này, và
  • 7:03 - 7:06
    nó là một phương trình vi phân tách biệt, mình có thể
  • 7:06 - 7:09
    dùng điều kiện ban đầu này, khi x bằng 0, y bằng
  • 7:09 - 7:11
    với 1, để tìm được hằng số
  • 7:11 - 7:12
    Vậy giờ mình tách phương trình này ra đã
  • 7:12 - 7:16
    Mình sẽ nhân hai vế với 2y trừ 1
  • 7:16 - 7:25
    và bạn có 2y trừ 1 nhân dy dx bằng với 3x
  • 7:25 - 7:29
    bình cộng 4x trừ 2
  • 7:29 - 7:30
    nhân hai vế với dx
  • 7:30 - 7:34
    Cái này thực ra chỉ là tính toán đại số
  • 7:34 - 7:39
    Mình có thể nhân cái này ra luôn, bạn sẽ có 2y trừ 2
  • 7:39 - 7:41
    nó sẽ là như vầy, dy
  • 7:41 - 7:47
    Mình nhân hai vế với dx rồi, vậy nó là 3x bình
  • 7:47 - 7:53
    cộng 4x cộng 2 dx
  • 7:53 - 7:55
    Mình đã tách được phương trình này
  • 7:55 - 7:58
    Mình đã tách được biến độc lập ra khỏi biến phụ thuộc
  • 7:58 - 8:01
    và đạo hàm của nó, vậy bây giờ mình
  • 8:01 - 8:02
    có thể tích phân
  • 8:02 - 8:03
    Để mình viết nó màu tím nha
  • 8:06 - 8:09
    Nguyên hàm của biểu thức này
  • 8:09 - 8:10
    theo y là gì?
  • 8:10 - 8:10
    Để xem thử
  • 8:10 - 8:14
    Nó là y bình trừ 2y
  • 8:14 - 8:15
    Mình sẽ không viết cộng c ở đây
  • 8:15 - 8:17
    mình sẽ viết nó bên vế phải
  • 8:17 - 8:20
    Nó bằng với ba x bình
  • 8:20 - 8:25
    Nguyên hàm là x mũ ba, cộng với 2x bình
  • 8:25 - 8:30
    cộng 2x cộng c
  • 8:30 - 8:32
    Và cái c đó sẽ đại diện cho hằng số ở cả hai vế
  • 8:32 - 8:34
    của phương trình, mình mong là bạn hiểu vì sao
  • 8:34 - 8:35
    từ ví dụ lúc nãy mình làm
  • 8:35 - 8:39
    Nhưng mình có thể giải được c sử dụng điều kiện ban đầu y của 0
  • 8:39 - 8:41
    bằng với -1
  • 8:41 - 8:43
    Mình thử ha
  • 8:43 - 8:45
    Khi x=0 thì y=-1
  • 8:45 - 8:50
    Vậy cho y là -1, mình có -1 bình
  • 8:50 - 8:56
    trừ 2 nhân -1, đó là giá trị của y
  • 8:56 - 8:58
    sẽ bằng với khi x=0
  • 8:58 - 9:01
    Vậy khi x=0, nó là 0 mũ ba cộng 2
  • 9:01 - 9:05
    nhan 0 bình cộng 2 nhân 0 cộng c
  • 9:05 - 9:06
    Vậy nó khá là rõ ràng
  • 9:06 - 9:09
    Nguyên cái cụm này là 0
  • 9:09 - 9:15
    Còn cái này, trừ 1 bình là 1
  • 9:15 - 9:21
    trừ 2 nhân trừ 1 là 2, bằng với c
  • 9:21 - 9:25
    vậy c bằng 3
  • 9:25 - 9:29
    Vậy nghiệm ẩn chính xác của
  • 9:29 - 9:30
    phương trình vi phân của mình
  • 9:30 - 9:36
    giờ không còn là một nhóm nữa vì mình đã biết điều kiện ban đầu
  • 9:36 - 9:43
    là y bình trừ 2y bằng với x mũ ba cộng 2x bình
  • 9:43 - 9:46
    cộng 2x cộng 3
  • 9:46 - 9:49
    Mình đã tìm được giá trị của c
  • 9:49 - 9:50
    Và thực ra, nếu muốn thì bạn có thể viết nó
  • 9:50 - 9:53
    dưới dạng tường minh bằng cách hoàn thiện bình phương này
  • 9:53 - 9:54
    Cái này thì chỉ là tính toán đại số thôi
  • 9:54 - 9:55
    là xong
  • 9:55 - 9:55
    Cái này là dạng ẩn
  • 9:55 - 9:58
    Nếu bạn muốn dạng tường minh, bạn có thể thêm 1
  • 9:58 - 9:59
    vào hai vế
  • 9:59 - 10:01
    Mình chỉ đang hoàn thiện cái bình phương này
  • 10:01 - 10:04
    Vậy y bình trừ 2y cộng 1
  • 10:04 - 10:07
    nếu mình thêm 1 bên này thì mình phải thêm 1 bên này luôn
  • 10:07 - 10:13
    thì nó sẽ thành x mũ ba cộng 2x bình cộng 2x cộng 4
  • 10:13 - 10:15
    Mình vừa thêm một vào hai vế
  • 10:15 - 10:16
    Tại sao mình lại làm vậy?
  • 10:16 - 10:18
    Vì mình muốn vế này chuyển về một bình
  • 10:18 - 10:19
    phương của y
  • 10:19 - 10:25
    Để mình có thể viết nó thành y trừ 1 bình bằng với
  • 10:25 - 10:30
    x mũ ba cộng 2x bình cộng 2x cộng 4
  • 10:30 - 10:35
    Vậy mình có thể nói y trừ 1 bằng với cộng trừ
  • 10:35 - 10:40
    căn của x mũ ba cộng 2x bình cộng
  • 10:40 - 10:43
    2x cộng 4
  • 10:43 - 10:47
    Mình thêm 1 vào hai vế và mình sẽ có y bằng với 1
  • 10:47 - 10:52
    cộng trừ căn của x mũ ba cộng 2x bình
  • 10:52 - 10:56
    cộng 2x cộng 4
  • 10:56 - 10:58
    Và nếu nó có dấu cộng trừ ở đây, nếu mình phải chọn một
  • 10:58 - 11:00
    trong hai, mình sẽ lại xét điều kiện ban đầu
  • 11:03 - 11:09
    Điều kiện ban đầu cho mình biết là y của 0 bằng
  • 11:09 - 11:10
    với -1
  • 11:10 - 11:17
    Vậy nếu mình cho x=0, mình có y bằng 1 cộng trừ
  • 11:17 - 11:19
    0 cộng 4
  • 11:19 - 11:22
    vậy 1 cộng trừ 4
  • 11:22 - 11:25
    vậy y sẽ bằng với -1
  • 11:25 - 11:29
    cộng trừ-- xin lỗi, 2
  • 11:29 - 11:32
    Nếu cái này bằng với -1, thì cái này
  • 11:32 - 11:34
    bằng 1 trừ 2
  • 11:34 - 11:37
    Vậy dạng tường minh thỏa mãn
  • 11:37 - 11:39
    điều kiện ban đầu của đề bài
  • 11:39 - 11:43
    bạn có thể bỏ cái cộng 1 trừ nguyên cái đống này
  • 11:43 - 11:45
    Nó sẽ thỏa mãn điều kiện ban đầu của đề
  • 11:45 - 11:49
    Và bạn có thể tính được tại đâu nó thỏa, trên
  • 11:49 - 11:51
    khoảng nào nó thỏa
  • 11:51 - 11:53
    Nó thỏa khi cái này là dương, cái này
  • 11:53 - 11:56
    trở thành âm, và nó sẽ không xác định trong tập số thực,
  • 11:56 - 11:56
    và tất cả cái này
  • 11:56 - 11:58
    Mình hết thời gian mất rồi
  • 11:58 - 12:00
    nên hẹn gặp bạn trong video tiếp theo nha
Title:
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN | PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN | KHAN ACADEMY
Description:

Giới thiệu về phương trình vi phân tách biến

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/differential-equations/first-order-differential-equations/separable-equations/v/separable-differential-equations-2?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=DifferentialEquations

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/differential-equations/first-order-differential-equations/separable-equations/v/particular-solution-to-differential-equation-example?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=DifferentialEquations

Môn học Phương trình vi phân trên Khan Academy sẽ bao gồm những chủ đề như sau: Phương trình vi phân, phương trình phân tách, trực giác phương trình hoàn toàn, thừa số tích phân, và phương trình vi phân thuần nhất

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
12:01

Vietnamese subtitles

Incomplete

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.