Limit properties

Điều tôi muốn nói trong video này

là đưa ra các tính chất của giới hạn

nhưng sẽ không sa vào các chứng minh chặt chẽ ở đây -

- bởi vì để có được các chứng minh chặt chẽ

chúng ta cần định nghĩa về giới hạn một cách chặt chẽ

mà trong video hướng dẫn này chúng ta sẽ không làm điều đó

- các bạn sẽ được nói kỹ hơn trong video hướng dẫn về định nghĩa epsilon-delta của giới hạn

- nhưng đừng lo, hầu hết các tính chất đều khá trực quan

và nó sẽ rất có lợi trong việc đơn giản hóa các bài toán giới hạn

sau này

Bây giờ chúng ta sẽ nói về giới hạn của một số hàm

f(x) khi x tiến dần tới c là L

và chúng ta cũng biết giới hạn của một số

hàm khác, gọi giới hạn của g(x) khi x tiến tới c

là M

bây giờ, với các dữ kiện trên, giới hạn của

f(x) cộng g(x) khi x tiến dần tới c là bao nhiêu?

Có thể hình dung bằng mắt điều này

- nếu bạn nhìn đồ thị của 2 hàm bất kỳ

bạn đơn giản chỉ cần lấy tổng của 2 hàm đó -

khá rõ ràng rằng nó sẽ bằng -

- một lần nữa tôi nhắc lại, tôi sẽ không đưa ra chứng minh chặt chẽ

Tôi sẽ nêu ra các tính chất -

- nó sẽ bằng giới hạn của f(x) khi x tiến tới c

cộng với giới hạn của g(x) khi x tiến tới c

và bằng - ở ngay đây -

(tôi sẽ viết nó bằng cùng màu)

- cái này sẽ bằng L: vì thế kết quả sẽ bằng

L cộng M - cái bên này thì bằng M

Không quá khó

Tính chất trên được gọi là Tính chất Tổng

hay Tính chất tổng giới hạn

tương tự, chúng ta sẽ xem tiếp một tính chất tương tự

với một khác biệt nhỏ - giới hạn khi x tiến dần tới c của f(x) trừ g(x)

là L trừ M

Nó đơn giản là giới hạn của f(x) khi x tiến tới c

trừ đi giới hạn của g(x) khi x tiên tới c

vì vậy nó là L trừ...

L trừ M

Tính chất trên được gọi là Tính chất Hiệu

hay còn gọi là Tính chất Hiệu của giới hạn

và lại một lần nữa, một tính chất rất, rât (hy vọng vậy)

rất trực quan

Bây giờ điều gì xảy ra nếu lấy tích của 2 hàm số?

Giới hạn của f(x) nhân g(x) khi x tiến tới c?

Điều may mắn là nó sẽ bằng

giới hạn của f(x) khi x tới c nhân với giới hạn của g(x) khi x tới c

Thật may mắn, lại là một tính chất trực quan nữa của giới hạn

Vì thế trong trường hợp này, nó sẽ bằng -

- bằng L nhân M

L nhân ...

...đó là L nhân M

Giống hệt, nếu thay một hàm số bằng một hằng số

thì ta có giới hạn -

(Tôi sẽ viết bằng cùng màu)

- giới hạn của k nhân f(x) khi x tiến tới c

trong đó k là một hằng số

sẽ bằng k nhân với giới hạn

của f(x) khi x tiến tới c và bằng...

...đó là L...

Giới hạn đó bằng L, vì thế kết quả cuối cùng

viết đơn giản là k nhân...

... k nhân L

Và như vậy, ta được kết quả tương tự -

- nó được gọi là Tính chất nhân với hằng số -

- chúng ta có thể làm tương tự

Bây giờ nếu ta có giới hạn khi x tiến tới c

của f(x) chi cho g(x), kết quả chính bằng

chính bằng giới hạn của f(x) khi x tiến tới c

chia cho giới hạn của g(x) khi x tiến tới c

và bằng -

- Bạn có thể đã trả lời được -

- nó bằng L chia M

- nó được gọi là Tính chất Thương -

- cuối cùng, ta sẽ xem xét tính chất lũy thừa

Nếu ta có...

... nếu ta có giới hạn của -

- tôi sẽ viết nó theo cách này -

- của f(x) lũy thừa nào đó

- và thực ra thì ngay cả khi

đó là số mũ hữu tỉ -

mũ r chia s

trong đó r và s là các số nguyên -

thì giới hạn của f(x) mũ r chia s

khi x tiến tới c sẽ bằng

giới hạn của f(x) khi x tiến tới c

mũ r chia s

một lần nữa, khi r và s là các số nguyên

và s khác không, nếu ngược lại lũy thừa này

sẽ không có ý nghĩa

và một điều tương tự là...

... một điều tương tự là khi L...

... một điều tương tự là khi L mũ r chia s

Nó sẽ bằng L ...

... L mũ r chia s

Vì thế, sử dụng những tính chất này, chúng ta có thể tìm được giới hạn

của rất, rất, nhiều thứ. Một điều rõ ràng là

các tính chất của giới hạn dường như là các thứ

hết sự tự nhiên và nếu bạn

vẽ đồ thị của những hàm số này ra, nó

trở nên khá trực quan