Gränsvärdesegenskaper

Gränsvärdesegenskaper

Det jag vill göra i den här videon

är att ge dig en hög med egenskaper för gränsvärden,

och vi kommer inte att bevisa dem noggrant här --

för att göra ett noggrant bevis för de här egenskaperna

behöver vi en noggrann definition av vad ett gränsvärde är

och det kommer vi inte göra i den här videon --

vi kommer att göra det i videon om epsilon-delta-definitionen av gränsvärde --

men det mesta av det här borde vara ganska intuitivt

och de är väldigt användbara för att förenkla gränsvärdesproblem

i framtiden.

Så säg att vi vet att gränsvärdet för en funktion

f(x) då x går mot x är lika med L,

och säg att vi också vet att gränsvärdet för en

annan funktion, g(x), då x går mot c

är lika med M.

Om vi nu vet det, vad skulle gränsvärdet

av f(x) plus g(x) vara då x går mot c?

Man kan se det här visuellt --

om man kollar på graferna av två funktioner

så adderar man i stort sett bara de två funktionerna --

det kommer att vara ganska uppenbart att det här kommer att vara lika med --

och än en gång, jag gör inte ett noggrannt bevis;

det enda jag gör är att skriva upp egenskaperna här.

Det här kommer att vara gränsvärdet för f(x) då x går mot c

plus gränsvärdet för g(x) då x går mot c

som är lika med... ja, det här är --

vi gör det i samma färg --

det här kommer bara att vara lika med L, det kommer att vara lika

med L plus... L plus M. Det här kommer att vara lika med M.

Inte alltför svårt.

Det här kallas ofta summaregeln,

eller summaegenskapen för gränsvärden.

Och vi skulle kunna skriva upp en liknande regel

med differenser - gränsvärdet då x går mot c för f(x) minus g(x)

kommer att vara L minus M.

Det är bara gränsvärdet för f(x) då x går mot c

minus gränsvärdet för g(x) då x går mot c.

Så det kommer bara att vara L minus...

L minus M.

Det kallas ofta differensregeln,

eller differensegenskapen för gränsvärden.

Och än en gång hoppas jag att de här är

iallafall ganska intuitiva.

Vad händer om man skulle ta produkten av funktionerna?

Gränsvärdet för f(x) gånger g(x) då x går mot c?

Ja, som tur är så kommer det att vara lika med

gränsvärdet för f(x) då x går mot c gånger gränsvärdet för g(x) då c går mot c.

Som tur är så är det här en ganska intuitiv gränsvärdesegenskap.

Så i det här fallet kommer det att vara lika med --

det är L gånger M.

L gånger...

Det här kommer bara att bli L gånger M.

Samma sak, men om vi istället för en funktion hade en konstant här:

Så om vi bara visste gränsvärdet --

jag gör det i samma färg --

gränsvärdet av k gånger f(x) då x går mot c

där k bara är någon konstant.

Det här kommer att samma sak som k gånger gränsvärdet

av f(x) då x går mot c och det är bara lika med...

Det här är bara lika med L...

Det här är lika med L, så hela den här saken

förenklas till k gånger...

k gånger L.

Och vi kan göra samma sak med kvoterna--

det här brukar förresten kallas konstanta multipelegenskapen --

vi kan göra samma sak med kvoterna.

Så om vi har gränsvärdet då x går mot c

för f(x) dividerat med g(x), så kommer det här att vara exakt

samma sak som gränsvärdet för f(x) då x går mot c

dividerat med gränsvärdet för g(x) då x går mot c,

som kommer att vara lika med --

jag tror du fattar nu --

det här kommer att vara lika med L delat med M.

Och till slut -- det här brukar förresten kallas kvotegenskapen --

till slut ska vi kolla på exponentegenskapen.

Om jag har...

om jag har gränsvärdet för --

jag skriver det så här --

för f(x) upphöjt till något --

och jag ska faktiskt

skriva det som en bråkexponent --

upphöjt till r delat med s,

där båda r och s är heltal.

I så fall kommer gränsvärdet för f(x) upphöjt till r delat med s

då x går mot c att vara exakt samma

sak som gränsvärdet för f(X) då x går mot c

upphöjt till r delat med s.

Än en gång, när r och s båda är heltal,

och s inte är lika med noll, annars skulle den här exponenten

inte vara särskilt vettig.

Och det här är samma sak...

Det här är samma sak som L...

Det här är samma sak som L upphöjt till r delat med s.

Det här är lika med L upphöjt...

L upphöjt till r delat med s.

Så, med hjälp av dessa kan vi faktiskt hitta gränsvärdet

för många, många, många saker och det som är fint med det

är att gränsvärdesegenskaperna är sådana saker som

du naturligt skulle ha gjort, och om du

ritar några av dessa funktioner märker du att det

faktiskt blir ganska intuitivt.