Limit properties

Ce que je veux faire dans cette vidéo,

est de vous donner un "package" de définitions sur les limites

et nous n'allons pas les prouver rigoureusement ici.

Tout d'abord pour avoir une preuve rigoureuse de ces propriétés

nous avons besoin d'une définition rigoureuse de ce qu'est une limite

et nous ne ferons pas ça dans ce tutorial

Nous ferons ça dans le tutorial sur les définitions de limites "epsilon -delta"

mais la plupart d'entre elles devrait être assez intuitive

et elles sont réellement utiles pour simplifier des problèmes de limite

dans le futur.

Donc, disons que nous savons que la limite d'une fonction

f(x) pour x qui tend vers c est égal à L

et disons que nous savons aussi que la limite d'une

autre fonction, par exemple g(x) pour x tendant vers c

est égal à M

Maintenant, en sachant ça, quelle serait la limite

de g(x) + f(x) pour x qui tend vers c ?

Et vous pourriez le représenter graphiquement

si vous regardez les graphes de 2 fonctions aléatoires

vous ajoutes essentiellement ces 2 fonctions.

Il serait alors plutôt clair que ça soit égal à

etc. je ne suis pas en train de faire une preuve rigoureuse

Je suis juste en train de vous donner les propriétés ici

ça sera donc la limite de f(xà pour x qui tend vers c

plus la limite de g(x) pour x qui tend vers c

ce qui est égal à - bon c'est juste là..-

(on va faire ça de la même couleur)

c'est juste ici égal à L : ça sera alors égal

à L + M - ceci est égal à M

Pas si difficle

C'est souvent appellé la règle de la somme.

ou la propriété de la somme des limites

et nous pourrions en conclure avec une similaire

avec une différence : la limite pour x qui tend vers c de f(x) moins g(x)

sera juste L moins M

C'est juste la limite de f(x) pour x qui tend vers c

moins la limite de g(x) pour x qui tend vers c

Donc ça sera juste L moins ...

L moins M

c'est souvent appellé la règle de différence

ou la propriété de la différence des limites

et celles ci encore une fois, sont vraiment vraiment (j'espère)

assez intuitive

Maintenant, que çe passe-t-il si vous prenez le produit des fonctions ?

la limite de f(x) fois g(x) pour x qui tend vers c

Bon, nous sommes chanceux, ça sera égal à

la limite de f(x) pour x qui tend vers c fois la limite de g(x) pour x qui tend vers c

Toujours chanceux, c'est en quelque sorte une propriété des limites assez intuitive

Donc dans ce cas, ça sera juste égal à -

- ça c'est L fois M

L fois ...

... ça sera donc égal à L fois M

Même chose, si au lieu d'avoir une fonction, nous avions une constante

alors si nous avions seulement la limite

(Je ferais ça de la même couleur)

la limite de k fois f(x) pour x qui tend vers c

ou k est une constante aléatoire.

Ca sera donc la même chose que k fois la limite

de f(x) pour x qui tend vers c et c'est juste égal à

... c'est juste égal à L ...

C'est égal à L, donc tout ceci

se simplifie à k fois...

... k fois L

Et nous pouvons faire la même chose avec les differences

c'est souvent appelé la Propriété des constantes multiple

Nous pouvons faire la même choses avec les différences

Donc si nous