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Ci chiedono: a quale insieme
numerico appartiene il numero 8?
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È un buon modo per ripassare
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gli insiemi numerici di cui
abbiamo parlato spesso.
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Il primo insieme da considerare
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sono i numeri naturali.
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Sono in pratica i numeri che
si usano per contare, senza lo 0.
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Se stai contando degli oggetti,
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e ne hai almeno 1,
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parliamo di numeri naturali.
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Quindi 1, 2, 3, e così via.
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Quindi chiaramente
8 è un numero naturale.
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Puoi contare fino a 8.
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Puoi contare 8 oggetti.
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Quindi 8 appartiene ai numeri naturali.
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Il prossimo insieme da considerare
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sono i numeri interi.
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Consideriamo i numeri interi.
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I numeri interi sono in pratica
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la stessa cosa dei numeri naturali
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ma ora includiamo lo 0.
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Quindi 0, 1, 2, 3, e così via.
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Chiaramente 8 appartiene a questo insieme.
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Puoi arrivare fino a 8,
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elencando i numeri interi.
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Un altro modo di vederlo è che
sono i numeri non negativi.
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Chiaramente 8 appartiene a questo insieme.
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Espandiamo ancora l'insieme.
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Pensiamo agli interi relativi.
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Sono tutti i numeri che,
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beh puoi contare dal basso
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fino a -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
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e così via.
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Chiaramente, 8 è uno di questi.
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Puoi contare fino a 8.
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Mettiamo la spunta qui.
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In generale, gli interi relativi
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contengono sia i numeri positivi
che i numeri negativi, e lo 0
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che puoi considerare come positivo,
negativo, o nessuna delle due cose.
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Ecco qui gli interi relativi.
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E i numeri interi sono un
sottoinsieme degli interi relativi.
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Lo disegno così.
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I numeri interi sono qui,
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questi sono i numeri interi.
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E abbiamo escluso tutti i numeri negativi.
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Perciò questi sono tutti
numeri non negativi.
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O meglio, tutti i numeri
interi non negativi.
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Questi sono i numeri interi.
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E poi i numeri naturali sono
un sottoinsieme di questi.
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Sono tutti questi.
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E l'unico elemento dei numeri interi
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che non sta anche nei numeri
naturali è il numero 0.
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In questo spazio qui c'è solo il numero 0.
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È importante.
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Lo rendo chiaro.
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Questo cerchio
rappresenta i numeri interi,
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poi ho i numeri naturali
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che sono un sottoinsieme.
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Ovviamente non è disegnato in scala.
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I numeri naturali sono un sottoinsieme.
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8 è un elemento di entrambi gli insiemi.
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8 sta qui.
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Quindi è un elemento dei numeri naturali,
dei numeri interi e degli interi relativi.
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Ora continuiamo ad espanderci.
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Parliamo dei numeri razionali.
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Sono numeri che possono essere espressi
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nella forma p/q, dove
p e q sono interi relativi.
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8 può essere espresso in questo modo?
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Puoi esprimere 8 come 8 fratto 1.
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O come 16 fratto 2.
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O ancora come 32 fratto 4.
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Puoi esprimerlo con diversi p e q,
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dove sia p che q sono interi relativi.
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Quindi è sicuramente un numero razionale.
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E in realtà tutti questi
sono numeri razionali.
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Lo disegno.
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Questo è un sottoinsieme
dei numeri razionali.
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8 è sicuramente un elemento.
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Numeri razionali, metto la spunta qui.
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Ora, per i numeri irrazionali?
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Numeri irrazionali.
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Per definizione, sono
numeri che non sono razionali.
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Sono numeri che non possono
essere espressi in questa forma,
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con p e q interi relativi.
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Se un numero è razionale,
allora non può essere irrazionale.
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Quindi 8 non è un elemento
dei numeri irrazionali.
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I numeri irrazionali sono un
insieme completamente separato.
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Lo disegno così.
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Questo spazio qui
sono i numeri irrazionali.
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Irrazionali.
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I razionali non sono un
sottoinsieme dei razionali,
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sono insiemi mutuamente esclusivi.
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Non puoi stare in entrambi gli insiemi.
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Qui ci sono gli irrazionali.
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E infine ci chiediamo:
8 è un elemento dei numeri reali?
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I numeri reali sono
in pratica tutti questi.
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Racchiudono sia i
razionali che gli irrazionali.
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Quindi i numeri reali sono tutti questi.
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E 8 è chiaramente un elemento dei reali.
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È un elemento dei reali,
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e dentro i reali puoi avere
o razionale o irrazionale
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e 8 è razionale.
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È un intero relativo.
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È un numero intero.
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Ed è un numero naturale.
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Quindi è sicuramente
un elemento dei reali.
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Potresti dire:
"E allora cos'è irrazionale?"
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"Non si possono rappresentare
tutti i numeri in questo modo?"
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"Almeno tutti i numeri
che possiamo immaginare?"
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Un esempio, forse l'esempio più famoso
di numero irrazionale è pigreco.
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Pigreco è 3.14159... e ci sono persone che
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dedicano la propria vita
a memorizzare le cifre del pigreco.
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Ma ciò che lo rende irrazionale è che
non si può rappresentare come rapporto,
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o con un'espressione razionale di interi,
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come si può fare con i numeri razionali.
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E queste cifre non si ripetono.
Non è periodico.
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Se fosse un numero periodico,
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potresti esprimerlo come
rapporto di interi relativi,
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e lo faremo in altri video.
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Ma non è periodico ed è infinito,
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quindi le cifre dopo il punto
decimale non finiscono mai.
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Questo è un esempio di numero irrazionale.
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Quindi pigreco sta negli irrazionali.
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Spero che questo video ti sia stato utile.
