Защо резултатът от умножението на две отрицателни числа е положителен

Представи си, че си древен философ,
който създава основите на математиката.

Вече имаш представа какво е отрицателно число

и знаеш как да събираш и изваждаш
отрицателни числа.

Но сега имаш друг проблем.

Какво става, когато се умножават
отрицателни числа?

Когато умножаваш положително
с отрицателно

или когато умножаваш
две отрицателни числа?

Например:

Не знаеш какво ще стане ако умножиш...

просто ще избера едно положително
и едно отрицателно число...

Какво ще стане ако умножиш 5 по –3?

Не е много сигурно какво ще се получи.

Както и не знаеш какво ще се получи,
ако умножиш две отрицателни числа.

Да кажем –2 по –6.

Това също не знаеш.

Понеже си математик, знаеш обаче, че това
трябва да се дефинира така,

че да съответства на всички останали правила
в математиката, които вече знаем.

И по-точно с всички други правила
за умножение.

Ще се почувстваш добре, че си на прав път,

и по-късно може да помислим
и за други начини за решаване

от тези, които ще разбереш най-добре,

но за да го обвържеш с останалите
правила на математиката,

които знаеш, ще трябва да направиш
един мисловен експеримент.

И казваш: На колко ще бъде равно
5 пъти по (3 плюс -3)?

Вече знаеш как се събират отрицателни числа

или събиране на положителни с
отрицателни, и знаеш, че

–3 е обратното на 3,
но като събереш 3 и – 3

ще получиш 0 и това ще е равно на

5 х 0.

Ще получиш това, тъй като знаеш да събираш
отрицателни числа

с положителни и че всяко нещо, умножено по 0, е 0.

Така че това ето тук ще е 0.

Но можем и да умножим положителни
с отрицателни числа

чрез дистрибутивното свойство на умножението.

Мога да умножа това 5 по всяко от тези

и за да бъде последователно, а математиката трябва да е последователна, трябва

да получа абсолютно същия отговор, така че
умножавам 5 по двете числа

и получавам 5 х 3...

Ще го напиша като 5 х 3,

нека напиша знака за умножение, не тази точка.

5 по 3, умножих го тук,

+ 5 по –3...

Ще го направя в жълто, 5 по –3.

И това цялото нещо трябва да е равно на 0.

Трябва да е равно на 0 , ето 5 х 3,

тези тук са положителни числа
и знаем, че ще получим 15.

Имаме 15

плюс 5 по –3, което, независимо на колко е равно,

трябва да ни даде 0, за да съответства
на другият начин на пресмятане.

Както знаем, за да бъде 15 плюс
нещо равно на нула,

това нещо трябва да е обратното на 15.

И тогава това ще съответства на останалите
принципи на математиката, които знаем.

Това тук отдясно трябва да е равно на –15,

след като това е резултатът от 5 по –3.

Това е вярно според всички неща, които
знаеш дотук от математиката.

Ще бъде равно на –15.
Това също е вярно

и заради последователното
събиране 5 пъти на –3.

Нека сега да погледнем отгоре,
за да видим логиката за умножение

на две отрицателни числа, като ще направим
същия експеримент.

Ние искаме, независимо какъв е отговорът,

той да съответства на
принципите на математиката,

които знаем, така че можем

да направим същия експеримент.

Колко е –2 по (6 + (- 6))?

И така, 6 + – 6 = 0.

–2 по 0...
Всяко число по нула е равно на нула.

И отново може да приложим
разпределителното свойство.

Да умножим –2 по 6

и след това плюс –2 по –6.

–2 по 6 + –2 по –6.

Това пак трябва да ни даде 0.

На база предишния експеримент,

който направихме, отговаряме,
че това е –12.

Можем да видим и две по 6

отляво на числовата линия,
които ни водят до –12.

Или можем да кажем,

че 6 пъти събираме –2, което е –12.

Също така тук искаме да умножим
положително и отрицателно.

Имаш отрицателно, така че

както знаеш, това ще е равно на –12.

имаме –12 плюс

това тук, каквото и да е то,

и това трябва да бъде равно на 0.

За да бъде в съответствие с другите
принципи на математиката,

какво е това, което плюс –12 ще даде 0?

ами 12 плюс –12 е равно на 0.

Така че това тук е равно на 0

и така спазваме всички принципи
на математиката.

Вече знаем, че това е 12.

Ще те оставям и до скоро.

Ще опитам да направя още няколко клипчета,
за да разбереш

защо така се пресмята.