Prime Numbers

Dans cette vidéo, je vais vous parler un peu

des nombres premiers.

Avec cette vidéo, vous allez vous rendre compte

que c'est un concept vraiment simple.

Mais lors de votre parcours en mathématiques,

vous verrez qu'il y a des concepts assez sophistiqués

qui sont construits autour de l'idée des nombres premiers,

la cryptographie par exemple.

Une partie de l'encodage de votre ordinateur

utilise peut-être sur les nombres premiers.

Si vous ne savez pas ce qu'est un encodage,

ne vous en faites pas,

vous devez seulement retenir que les nombres premiers

sont assez importants.
Je vais vous donner la définition,

qui va peut-être un peu vous embrouiller,

mais lorsque nous verrons les exemples, tout va s'éclairer.

Un nombre premier est un entier naturel -

par exemple, 1 ; 2 ou 3 ;
(les chiffres que l'on compte à partir de 1),

et que l'on appelle aussi "les entiers positifs" -

un nombre naturel uniquement divisible
par deux nombres naturels: lui-même et 1.

Il n'est divisible que par ces deux nombres.

Si ça ne vous semble pas clair,
prenons quelques exemples.

Déterminons si des nombres sont premiers ou pas.

Commençons donc avec l'entier naturel le plus petit.

Le chiffre 1.
Vous vous dites que 1 est divisible par 1,

et qu'il est divisible par lui-même,
donc que c'est un nombre premier.

Mais, souvenez-vous, d'après la définition,
un nombre premier doit être divisible

par exactement deux entiers naturels.
1 est divisible par un seul entier naturel : 1.

Donc, malgré les apparences,
1 n'est pas un nombre premier.

Continuons avec 2.

2 est divisible par 1 et par 2, et par aucun autre entier naturel.

Il a l'air de remplir nos conditions.

Il est divisible par exactement deux entiers naturels.

Lui-même et 1. Donc le nombre 2 est premier.

Je vais entourer les nombres qui sont premiers.

Le chiffre 2 est intéressant parce que

c'est le seul nombre pair qui est premier.

Si vous y réfléchissez, tous les autres nombres pairs

sont aussi divisibles par 2, et ne sont donc pas premiers.

Nous y reviendrons dans d'autres vidéos.

Essayons avec 3. 3 est certainement divisible par 1 et par 3

et il n'est pas divisible par un autre chiffre entre ces deux-là :

il n'est pas divisible par 2.
Donc, 3 est un nombre premier.

Essayons 4.

4 est tout à fait divisible par 1 et par 4

mais il est aussi divisible par 2.
Donc, 4 est divisible

par trois entiers naturels : 1 ; 2 et 4.

Donc il ne remplit pas les conditions pour être premier.

Essayons 5.

5 est divisible par 1.

Il n'est pas divisible par 2 ; 3 ou 4 -

on peut diviser 5 par 4, mais on obtient un reste.

Et il est divisible par 5, évidemment.

Donc, 5 est divisible par exactement deux entiers naturels :
1 et 5.

Donc, 5 est un nombre premier.
Continuons,

pour voir si nous pouvons trouver un modèle

et ensuite, j'essaierai avec un nombre difficile,

sur lequel on se trompe souvent.
Continuons donc avec 6.

Il est divisible par 1 ; 2 ; 3 et 6.

Donc, il a quatre nombres naturels "facteurs",

je pense qu'on peut le dire de cette façon.

Il n'est pas uniquement divisible par deux nombres,

mais par quatre, donc il n'est pas premier.

Passons à 7.

7 est divisible par 1 ; mais pas par 2 ; 3 ; 4 ; 5 ou 6.

Il est par contre divisible par 7.

Donc, 7 est un nombre premier.
Je pense que vous avez saisi l'idée générale.

On considère les entiers naturels,
des chiffres comme 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;

ceux qu'on apprend à deux ans,

sans compter le 0, sans compter les nombres négatifs,

sans compter les fractions, ni les nombres irrationnels,

les nombres décimaux et tous les autres,

uniquement les entiers positifs que l'on compte.

Si un nombre n'est divisible que par deux d'entre eux,

s'il n'est divisible que par lui-même et par 1,

c'est un nombre entier.

D'une autre manière,

si on oublie le cas particulier qu'est le 1,

les nombres premiers sont
les blocs de construction des nombres :

on ne peut pas les casser en blocs plus petits.

Presque comme des atomes.

Si vous réfléchissez à ce qu'est un atome,

ou à ce que les gens pensaient
lorsqu'ils ont inventé le concept d'atomes...

ils pensaient que les atomes étaient ces choses

indivisibles.

Nous savons maintenant que nous pouvons
casser les atomes,

ce qui peut donner une explosion nucléaire.

Mais c'est la même idée derrière les nombres premiers :

on ne peut pas les décomposer

en produits de nombres naturels plus petits.

Pour 6, on sait que 6 = 3 x 2,

on peut le décomposer,

en produit de deux nombre premiers.

En quelque sorte, nous l'avons mis en pièces.

7 ne peut plus être décomposé.

Tout ce qu'on peut dire c'est que 7 = 1 x 7.

Et, dans ce cas, on ne l'a pas vraiment décomposé.

Le 7 est toujours là.

On peut décomposer 6.

4 se décompose en 2 x 2.

Maintenant que nous avons vu cela,

passons à des nombres plus grands,

et voyons si ce sont des nombres premiers.

Essayons avec 16.

De toute évidence, tous les entiers naturels
sont divisibles par 1 et par eux-mêmes.

Donc, 16 est divisible par 1 et 16.

On va voir s'il est divisible par 2.

Si on trouve un autre nombre pour le décomposer,

c'est qu'il n'est pas premier.

16 = 2 x 8.

16 = 4 x 4.

Il a beaucoup de facteurs,

en plus de 1 et 16.

Donc,16 n'est pas un nombre premier.
Et 17 ?

1 et 17 peuvent diviser 17,

mais pas 2, ni 3, ni 4... ni 11, ni rien jusqu'à 16.

Aucun de ces nombres. Rien, entre 1 et 17.

Pas d'autre facteurs, donc 17 est un nombre premier.

Et maintenant, un cas difficile.

Presque tout le monde se trompe.

Qu'en est-il de 51 ? Est-ce que 51 est nombre premier ?

Si vous voulez,
vous pouvez mettre la vidéo en pause,

et essayer de découvrir par vous-même

si 51 est un nombre premier.

Si vous trouvez un nombre autre que 1 et 51

par lequel 51 est divisible.

Ce nombre est bizarre.

On dirait que c'est un nombre premier,

mais je vais vous donner la solution :

il n'est pas premier car il est également divisible par 3 et 17.

3 x 17 = 51.

J'espère que cette vidéo vous a éclairé

sur ce que sont les nombres premiers.

Nous allons vous proposer de vous entraîner

dans d'autres vidéos et dans nos exercices.