复合不等式
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0:00 - 0:03让我们来做一些复合不等式的题，
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0:03 - 0:07这些不等式题目含有大于一组
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0:07 - 0:08条件约束。
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0:08 - 0:10你马上就会明白我在说什么了。
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0:10 - 0:15第一题是负5小于或
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0:15 - 0:22等于x减4，同时小于或等于13。
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0:22 - 0:26所以我们有两组条件约束x
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0:26 - 0:27来满足这些不等式。
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0:27 - 0:31x减4要大于或等于负5。
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0:31 - 0:36然后x减4要小于或等于13。
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0:36 - 0:40所以我们可以将这个复合不等式重写为
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0:40 - 0:49负4要小于或等于x减4，同时x
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0:49 - 0:58减4要小于或等于13。
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0:58 - 1:00然后我们分别求解，
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1:00 - 1:02我们要记住这个“同时”来思考
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1:02 - 1:05解集，因为这意味着它需要同时满足
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1:05 - 1:07这个不等式和这个不等式。
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1:07 - 1:10那让我们来逐个求解吧。
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1:10 - 1:12这里这个，
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1:12 - 1:14我们可以将不等式两边都加4。
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1:17 - 1:22左手边，负5加4，是负1。
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1:22 - 1:26负1小于或等于x，对吧？
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1:26 - 1:29这里的4相互抵消了，就剩下一个x
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1:29 - 1:31在右边。
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1:31 - 1:37所以左边，这里这部分，简化为x
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1:37 - 1:41大于或等于负1或者说负1
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1:41 - 1:42小于等于x。
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1:42 - 1:44所以我们可以这么写。
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1:44 - 1:46x大于或等于负1。
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1:46 - 1:47这俩意思是一样的。
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1:47 - 1:49我只是将两边互换位置了。
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1:49 - 1:52现在我们用绿色来求解另一个条件约束。
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1:56 - 1:58不等式两边都加4。
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2:02 - 2:04左边，就得到一个x。
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2:04 - 2:07然后右边，得到13加
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2:07 - 2:1014，也就是17。
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2:10 - 2:14所以得到x小于或等于17。
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2:14 - 2:18所以两个条件，x大于或等于
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2:18 - 2:22负1，同时小于或等于17。
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2:22 - 2:24所以我们可以再将这个重写为
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2:24 - 2:26一个复合不等式。
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2:26 - 2:29我们可以说这个解集，x要小于
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2:29 - 2:35或等于17，同时大于或等于
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2:35 - 2:36负1。
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2:36 - 2:39它需要同时满足这两个条件。
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2:39 - 2:44所以这在数轴上是怎样显示的呢？
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2:44 - 2:46我在这画一条数轴。
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2:46 - 2:49假设这是17。
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2:49 - 2:50或者18。
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2:50 - 2:51然后往下走。
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2:51 - 2:52假设这是0。
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2:52 - 2:56这里肯定跳过了很多了。
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2:56 - 2:59然后这是负1，也许
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2:59 - 3:00负2吧。
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3:00 - 3:04所以x大于或等于负1，所以我们
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3:04 - 3:05从负1开始。
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3:05 - 3:07我们要圈住它因为是大于
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3:07 - 3:09或等于。
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3:09 - 3:13然后x大于它，但要小于
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3:13 - 3:18或等于17。
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3:18 - 3:21所以等于17或小于17。
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3:21 - 3:24所以这就是解集，
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3:24 - 3:26用橙色涂满的部分。
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3:26 - 3:29如果我们要用区间符号来表示，
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3:29 - 3:35那就是x位于负1和17之间，它也可以等于
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3:35 - 3:37负1，所以我们用中括号，然后它
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3:37 - 3:40也可以等于17。
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3:40 - 3:43这就是这个不等式的区间表示。
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3:43 - 3:45这就是这个不等式的区间表示。
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3:45 - 3:47我们再做一题。
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3:50 - 3:52让我来找一个好的题目。
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3:52 - 3:57假设我们有负12。
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3:57 - 3:59我会将我找到的这题稍微改一下。
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3:59 - 4:00我会将我找到的这题稍微改一下。
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4:00 - 4:08负12小于2减5x，同时小于
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4:08 - 4:10或等于7。
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4:10 - 4:13我想要做一个只有小于和
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4:13 - 4:15小于或等于的题目。
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4:15 - 4:17我找的书上的这题有一个等于号
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4:17 - 4:19在这，但我特意去掉了
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4:19 - 4:20因为我想让你们看一下混合
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4:20 - 4:22的情况，两种都有的题目。
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4:22 - 4:28首先我们将它拆成两个普通的不等式。
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4:28 - 4:32就有这个不等式。
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4:32 - 4:38我们已知负12需要小于2减5x。
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4:38 - 4:43这是需要满足的条件，然后——我用另一个颜色
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4:43 - 4:47来做——需要满足这个不等式。
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4:47 - 4:512减5x要小于7，同时大于12，小于
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4:51 - 4:57或等于7，同时大于负12，所以2
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4:57 - 5:02减5x要小于或等于7。
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5:02 - 5:05所以我们这么做，就可以解出所有答案了。
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5:05 - 5:08我们把2移到左边。
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5:08 - 5:12所以不等式两边都减2。
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5:12 - 5:16所以如果不等式两边都减2，
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5:16 - 5:20左边就变成负14，小于——
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5:20 - 5:24这个相互抵消了——小于负5x。
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5:24 - 5:27现在两边都除以负5。
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5:27 - 5:29记住，当你乘以或除以
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5:29 - 5:32一个负数，不等号要改变方向。
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5:32 - 5:36所以两边都除以负5，就得到
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5:36 - 5:40负14除以负5，x在右手边，
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5:40 - 5:43再除以负5，
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5:43 - 5:48这个小于号变为大于号。
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5:48 - 5:54然后负号相互抵消，就得到14/5大于
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5:54 - 5:59x，或者说x小于14/5，那就是——是？
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5:59 - 6:01是2又4/5。
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6:01 - 6:04x小于2又4/5。
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6:04 - 6:08我只是把这个假分数写成了带分数。
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6:08 - 6:11现在解另一组红色的。
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6:11 - 6:13现在解另一组红色的。
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6:13 - 6:15不等式两边都减2，就像
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6:15 - 6:17我们刚才做的那样。
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6:17 - 6:20实际上，你可以同时做，但
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6:20 - 6:21可能会有些混乱。
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6:21 - 6:23为了避免粗心的错误，我希望你还是
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6:23 - 6:25像这样分开来解。
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6:25 - 6:27所以不等式两边都减2，
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6:27 - 6:31左边就是负5x。
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6:31 - 6:33右边，是小于或等于。
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6:33 - 6:38右边是7减2，是5。
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6:38 - 6:41现在，两边都除以负5。
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6:41 - 6:42左边得到一个x。
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6:42 - 6:46右边，5除以负5
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6:46 - 6:48是负1。
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6:48 - 6:50因为除以了一个负数，所以
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6:50 - 6:51不等号调换方向。
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6:51 - 6:53从小于或等于，变为大于
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6:53 - 6:55或等于。
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6:55 - 6:57所以两个条件约束都有了。
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6:57 - 7:02系小于2又4/5，同时大于
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7:02 - 7:04等于负1。
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7:04 - 7:06所以可以这么写。
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7:06 - 7:10x大于或等于负1，所以
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7:10 - 7:13这是区间的下界，同时它
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7:13 - 7:15要小于2又4/5。
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7:21 - 7:23注意，这不是小于或等于。
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7:23 - 7:25这就是为什么我想让你们看一下，这里用小括号
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7:25 - 7:27因为不能等于2又4/5。
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7:27 - 7:30x要小于2又4/5。
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7:30 - 7:32或者我们可以这样写。
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7:32 - 7:37x小于2又4/5，这只是
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7:37 - 7:41这个不等式，交换到另一边，它要
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7:41 - 7:45大于或等于负1。
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7:45 - 7:47所以这两个表达是一样的。
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7:47 - 7:52如果我要画一条数轴，
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7:52 - 7:53就会像这样。
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7:53 - 8:00这是负1，这里是2又4/5。
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8:00 - 8:02很显然，中间这段是包含在内的。
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8:02 - 8:04也许，你懂的，0在这。
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8:04 - 8:07需要大于或等于负1，所以
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8:07 - 8:08可以等于负1。
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8:08 - 8:10然后大于负1，但是又要同时
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8:10 - 8:13小于2又4/5。
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8:13 - 8:15所以这里不能包括2又4/5。
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8:15 - 8:18不能等于2又4/5，所以只能小于它，
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8:18 - 8:23这里画一个空心的圆在2又4/5上，然后
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8:23 - 8:25比它小的都包含在内，一直到
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8:25 - 8:28负1，然后将负1包括在内因为这里是小于
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8:28 - 8:29或等于号。
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8:29 - 8:32所以刚才的两题都是那种“同时”题目。
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8:32 - 8:34你需要同时满足两个条件约束才行。
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8:34 - 8:36现在，我们来做一个“或者”题目。
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8:39 - 8:43假设我有这两个不等式。
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8:43 - 8:50假设我已知——4x减1要
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8:50 - 8:59大于或等于7，或者9x除以2要
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8:59 - 9:00小于3。
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9:00 - 9:03所以现在我们在说“或者”，x只需要满足
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9:03 - 9:06这两个不等式的其中一组即可。
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9:06 - 9:09在之前的几个视频里或者说题目里，我们
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9:09 - 9:12都在求x必须同时满足这些不等式的要求。
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9:12 - 9:14这里，条件更宽松一些。
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9:14 - 9:17我们只需要满足两者其一即可。
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9:17 - 9:19那么让我们来求解这两个的解集
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9:19 - 9:22然后求出它们的联合，它们加在一起
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9:22 - 9:23的集合，满足其中任何一条的不等式的解的
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9:23 - 9:25集合。
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9:25 - 9:27在这一题，左手边，我们可以
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9:27 - 9:29两边同时加1。
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9:29 - 9:31两边同时加1。
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9:31 - 9:35左边就变为4x大于或
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9:35 - 9:40等于7加1是8。
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9:40 - 9:42两边都除以4。
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9:42 - 9:46得到x大于或等于2。
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9:46 - 9:49或者，我们来做这个。
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9:49 - 9:52我们看一下，不等式两边都乘以2/9。
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9:52 - 9:53得到什么呢？
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9:53 - 9:56两边都乘以2/9，一个正数。
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9:56 - 9:59所以不需要改变不等号的方向。
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9:59 - 10:07这个相互抵消，得到x小于3乘以2/9。
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10:07 - 10:113/9也就是1/3，所以x要
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10:11 - 10:12小于2/3。
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10:12 - 10:17所以，或者x小于2/3。
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10:17 - 10:19所以这是我们的解集。
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10:19 - 10:23x大于或等于2，或者小于2/3。
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10:23 - 10:24这就有意思了。
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10:24 - 10:28我把解集画在数轴上来表示。
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10:31 - 10:33这是数轴。
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10:33 - 10:42假设这是0，这是1，这是2，3，然后
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10:42 - 10:43这是负1。
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10:43 - 10:47所以x可以大于或等于2。
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10:47 - 10:50所以我们最开始从——我用另一个颜色来画。
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10:50 - 10:53我们从2这里开始，可以大于或等于
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10:53 - 10:592，所以包含所有大于或等于2的部分。
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10:59 - 11:02这是这一个条件。
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11:02 - 11:03或者x可以小于2/3。
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11:07 - 11:11所以2/3在这，对吧？
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11:11 - 11:14那是2/3。
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11:14 - 11:17x可以小于2/3。
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11:17 - 11:19这个有意思。
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11:19 - 11:21因为如果我们在这任意取一个数，它就可以满足
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11:21 - 11:23这个不等式。
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11:23 - 11:25如果我们在这任意取一个数，它就可以满足
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11:25 - 11:26那个不等式。
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11:26 - 11:28如果这里是“同时”，那么就没有一个数字
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11:28 - 11:32符合要求了，因为你不能同时大于2
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11:32 - 11:35又小于2/3。
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11:35 - 11:37所以这里唯一可行的解集就是
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11:37 - 11:41因为这是“或者”。你可以满足
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11:41 - 11:42两个不等式的其中一个即可。
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11:42 - 11:44无论如何，希望你从中找到乐趣吧。
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- 复合不等式
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关于可汗学院：可汗学院提供练习，教学视频和个性化的学习进度表，使学习者可以在教室内外按自己的步调学习。我们提供数学，科学，计算机编程，历史，艺术史，经济学等等学科的内容。我们的数学任务使用最先进的自适应技术来指导学生从幼儿园到微积分的学习. 这些技术可以识别学习中的优势和差距。我们还与NASA，现代艺术博物馆，加利福尼亚科学院和MIT等机构合作，提供专门的内容。
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