Compound Inequalities

복합부등식에 대한
문제들을 풀어 볼게요

복합부등식이란 여러 개의 부등식을
동시에 만족시키는 해를 구하는 것입니다

금방 무슨 뜻인지
이해하실 수 있을 거예요

첫 번째 부등식은
-5는 x - 4보다 작거나 같고

x - 4는 13보다 작거나 같다입니다

이 문제에서는 x가

두 개의 부등식을
동시에 만족해야 합니다

x - 4 는 -5보다 크거나 같고

x - 4 는 13보다 작거나 같습니다

이 복합부등식을
다른 방식으로 표현할 수 있어요

-5 ≤ x - 4 와

x - 4 ≤ 13으로 나누어볼게요

두 부등식의 해를 따로 구해볼게요

복합부등식을 두 개의 부등식으로
나눈 것을 생각한다면

해는 첫 번째 부등식과
두 번째 부등식을

동시에 만족시켜야 합니다

일단 부등식을 풀어볼게요

양변에 4를 더해줍니다

좌변은 -5 더하기 4는 -1이 나오죠

-1 은 x 보다 작습니다

우변에 있는 4는 소거되고
x 만 남아있습니다

첫 번째 부등식의 해는

-1 ≤ x라고 할 수 있어요

반대로 써도 됩니다

x ≥ -1라고 말이죠

두 식은 서로 같습니다

변을 서로 바꿔주기만 했죠

다음 부등식은 초록색으로 풀어볼게요

양변에 4를 더해주겠습니다

좌변은 x 만 남고

우변은 13 더하기 4의 결과인

17이 나옵니다

그러므로 x ≤ 17가 나옵니다

종합해보면 x는 -1 보다
크거나 같아야 하고

17보다 작거나 같아야 합니다

원한다면 이 해를 다시
합쳐서 쓸 수 있습니다

-1 ≤ x ≤ 17이라고 쓸 수 있겠네요

두 조건을 동시에 만족하는 해입니다

수직선으로 표현해 볼까요?

이곳에 수직선을 그릴께요

여기를 17이라 하고

여길 18이라 할게요

계속 내려가서

이 정도면 0이겠죠

숫자를 건너뛰면서 적고 있어요

여기에 -1이 있고
-2는 여기입니다

그렇다면 x는 -1보다 크거나 같으니까

-1부터 시작할 거예요

크거나 같으니까 경계에
색칠한 원을 그릴게요

x는 -1보다 크거나 같지만

17보다는 작거나 같습니다

17과 같을 수도 있고 작을 수도 있어요

여기 그린 선분 위의 수가
복합부등식의 해입니다

주황색으로 칠한 선이죠

해를 구간으로 쓰고 싶으면

x는 -1과 17사이에 있고

-1과 같을 수 있으니 대괄호를 쓰고

17과도 같을 수 있으니
똑같이 대괄호를 써 줍니다

이렇게 복합부등식의 해를

구간으로 나타내보았습니다

다른 문제를 풀어보죠

-12가 있다고 가정하겠습니다

제가 찾은 문제에서
조금 바꿔볼게요

-12 < 2 - 5x ≤ 7이라는
복합부등식이 있습니다

이하와 미만이 함께 있는 문제를
풀어보고 싶었습니다

제가 보고 있는 책에는
둘 다 이하로 나와 있지만

한 쪽은 미만으로 바꿔보았어요

왜냐하면 여러 가지
부등호가 같이 있는 문제를

푸는 것도 가능하다는 것을
보여주고 싶었거든요

먼저 이 복합부등식을
두 개의 부등식으로 나눠볼게요

첫 번째 부등식이 여기 있어요

-12 는 2 - 5x 보다 작아야 합니다

다른 색으로 표시할게요

이 부등식도 성립해야 해요

2 - 5x는 7보다 작거나 같아야 하고
-12보다 커야 합니다

2 - 5x는 7보다 작거나 같습니다

아까 풀었던 방법으로
해를 구해볼게요

좌변에 -5x 만 남기기 위해서

양변에서 2를 빼주겠습니다

양변에서 2를 빼주면

좌변은 -14가 되고

우변의 2는 소거되어
-14는 -5x 보다 작다는 식이 됩니다

이제 양변을 -5로 나누어줍니다

부등식에서는 음수를 곱하거나 나누면

부등호의 방향이 반대가 됩니다

양변을 -5로 나눠주면
좌변은 -14/-5가 되고

우변은 x 만 남습니다

그리고 부등호는 이제

작다에서 크다로 바뀌어요

음수 부호는 서로 소거되고

x < 14/5로 정리할 수 있습니다

14/5는 2와 4/5라고
표현할 수 있습니다

x는 2와 4/5 보다 작다 가 됩니다

가분수에서 대분수로만 바꿨어요

분홍색의 부등식도 풀어볼게요

방금 풀었던 것처럼

양변에서 2를 빼줄게요

사실 이 연산을 동시에
해줄 수 있긴 한데

혼란스러울 수 있습니다

실수를 피하기 위해 이렇게
따로 나누어 계산하는 것을

추천합니다

다시 -2를 양변에 빼준다면

좌변은 -5x 가 남고요

부등호는 작거나 같다이며

우변에는 7 빼기 2가 되어
5가 남습니다

이제 양변을 -5로 나누어주면

좌변은 x 만 남고요

우변엔 5 나누기 -5를 해서

-1 이 남습니다

음수로 나눴기 때문에
부등호의 방향을 바꿔야 합니다

이하에서 이상으로

바뀌겠지요

이렇게 두 부등식의 해를
각각 정리했습니다

x는 2와 4/5 보다 작아야 하고

-1보다 크거나 같아야 합니다

이렇게 쓸 수 있어요

x는 -1 보다 크거나 같으므로

아래쪽 경계의 시작이 됩니다

2와 4/5 보다 작습니다

여기서 주의해야 할 점은
이하가 아니란 점이에요

소괄호이기 때문에

2와 4/5와 같을 수 없죠

x는 2와 4/5 미만입니다

해를 이렇게도 나타낼 수 있습니다

x<2와 4/5로 나타내고

정리한 식에서 좌변과
우변의 위치만 바꾸었습니다

-1 ≤ x < 2와 4/5

두 표현은 같은 의미를 갖고 있습니다

수직선을 그리자면

이렇게 생겼겠죠

-1 과 2와 4/5는 여기 있고요

당연히 그 사이에 숫자들이 있겠죠
0도 이쯤에 있을 거예요

-1 보다 크거나 같아야 하니까

일단 -1과 같을 수 있겠지요

그리고 -1 보다 크면서 동시에

2와 4/5보다 작아야 합니다

2와 4/5를 포함시키면 안 됩니다

2와 4/5와 같을 수 없으니
그 수보다 작아야 하겠지요

2와 4/5에 빈 동그라미를 치고

두 경곗값 사이를 채울 수 있어요

-1 이하이기 때문에
꽉 찬 동그라미를 그려줍니다

지금까지 풀었던 두 문제들은
그리고 가 들어간 문제들이었어요

두 가지의 조건들의
공통적인 부분을 찾았죠

이젠 또는 이 들어간
문제들을 풀어볼게요

이런 부등식들이 있어요

4x - 1 은 7 보다 크거나 같다 또는

9x/2는 3보다 작다

또는이 들어간 문제란
부등식을 만족하는 x의 값은

둘 중 적어도 하나의
부등식을 만족시키는 값입니다

최근 풀어본 문제에서는 두 부등식을
동시에 만족시키는

x 값을 구했는데요

이 문제에서는 x의 조건이
훨씬 관대합니다

둘 중에 하나만 만족시키면 되니까요

먼저 두 부등식의
해를 각각 구하고

그 다음 두 해의
합집합을 찾아보겠습니다

적어도 한 개의 부등식을
만족시키는 값이

우리가 찾는 해가 되겠지요

첫 번째 부등식에서는

1을 더할 수 있겠지요

양변에 1을 더해주세요

좌변은 4x가 되고

우변은 7 더하기 1인
8이므로 8이 되겠네요

양변을 4로 나눠주면

x는 2보다 크거나 같다 가 되겠습니다

두 번째 부등식을 풀어볼게요

양변에 2/9를 곱해주면

어떻게 될까요?

양변에 2/9를 곱하면

일단 양수이니까
부등호의 방향을 바꿀 필요는 없겠죠

서로 소거되고 x는 3 곱하기 2/9를 한
값보다 작게 됩니다

3/9는 1/3 과 값이 같아서

x는 2/3 보다 작게 됩니다

그러므로 x는 2/3 미만입니다

이 값들이 복합부등식의 해입니다

x는 2 보다 크거나 같고
2/3 보다 작아요

흥미로운 답인데요

먼저 해를 수직선에 그려볼게요

이게 수직선이고요

여기가 0이면 여기가 1이고
2와 3을 나타낼게요

여기가 -1 정도겠네요

x는 2보다 크거나 같아야 하니까

여기서 시작해서
다른 색으로 표시할게요

2에서 시작해서 크거나 같으니까

2보다 크거나 같은 모든 수를
포함합니다

첫 번째 조건을 나타냈어요

또는 x는 2/3 보다
작을 수 있어요

2/3은 이 정도에 있을 거예요

2/3 은 여기에 있어요

x는 2/3보다 작지요

흥미롭지 않나요?

왜냐하면 여기 있는
수 중 하나를 고르면

이 부등식을 만족시키고

이곳에 있는 수들 중 하나를 고르면

이 부등식을 만족시킵니다

만약 그리고가 들어간 문제였다면

해가 없었을 거예요
2보다 크면서 동시에 2/3보다 작은 수는

없으니까요

그렇기 때문에 이 식의 해가
있을 수 있는 경우는

또는으로 연결될 때뿐입니다

해가 적어도 하나의 부등식을
만족시켜도 충분한 문제가

'또는' 이 들어간 문제뿐이기 때문이죠